專題6計數(shù)原理與概率統(tǒng)計

1、 .【考情報告】年份題型考點2011年2012年2013年小題第4題:排列、組合與概率的綜合第8題:二項展開式的常數(shù)項第2題:排列與組合第15題:正態(tài)分布、相互獨立事件的概率第3題:抽樣方法第9題:二項式系數(shù)大題第19題:與函數(shù)的綜合,隨機事件的頻率與概率、隨機變量的分布列、期望第18題:與函數(shù)的綜合,隨機變量的分布列、期望及方差第19題:相互獨立事件的概率、隨機變量分布列與期望值【考向預測】計數(shù)原理與概率統(tǒng)計是高中數(shù)學的一個重要學習內容,也是高考考查的必考重點內容之一.本部分考查的內容主要有:抽樣方法,統(tǒng)計圖表(樣本頻率分布表與直方圖、莖葉圖),統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字特征(平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)

2、),變量間的關系、回歸分析與獨立性檢驗;兩個計數(shù)原理、排列組合的應用;二項展開式通項及二項式系數(shù)的性質與計算;隨機事件的概率、古典概型、幾何概型;離散型隨機變量的分布列、二項分布、正態(tài)分布,離散型隨機變量的數(shù)學期望與方差.由于新課標的要求及計數(shù)原理與概率統(tǒng)計自身的特征,計數(shù)原理與概率統(tǒng)計試題的背景與日常生活最貼近,聯(lián)系也最為緊密,不管是從內容上,還是從思想方法上,都體現(xiàn)著應用的觀念與意識,考查學生處理數(shù)據(jù)的能力,考查學生對概率事件的識別及概率計算,以及分類與整合、化歸與轉化、或然與必然思想的運用,考查學生的閱讀與理解能力以及分析問題和解決問題的能力.從近三年新課標高考來看,該部分在高考試卷中一

3、般是兩個小題和一個解答題,對這一部分內容的考查注重考查基礎知識和基本方法.預測2014年高考計數(shù)原理與概率統(tǒng)計部分題型仍然保持平穩(wěn),以低中檔題目出現(xiàn),難度不大.在高考小題考查中,抽樣方法、幾何概型、二項式、排列組合仍將出現(xiàn),可能會有頻率分布直方圖、正態(tài)分布、回歸分析或獨立性檢驗的小題;在高考解答題的考查中,主要以基本事件(等可能事件、互斥事件、對立事件、相互獨立事件、獨立重復試驗)的概率為基礎進行考查,離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望,可能會出現(xiàn)與分層抽樣、樣本頻率分布表與直方圖、回歸分析、獨立性檢驗等知識綜合在一起的試題,或與函數(shù)、不等式、線性規(guī)劃等知識交匯的試題.【問題引領】1.(2013

4、新課標全國卷)為了解某地區(qū)的中小學生的視力情況,擬從該地區(qū)的中小學生中抽取部分學生進行調查,事先已了解到該地區(qū)小學、初中、高中三個學段學生的視力情況有較大差異,而男女生視力情況差異不大.在下面的抽樣方法中,最合理的抽樣方法是().A.簡單隨機抽樣B.按性別分層抽樣C.按學段分層抽樣D.系統(tǒng)抽樣2.某雷達測速區(qū)規(guī)定:凡車速大于或等于80 km/h的汽車視為“超速”,并將受到處罰.右圖是某路段的一個檢測點對200輛汽車的車速進行檢測所得結果的頻率分布直方圖,從圖中可以看出被處罰的汽車大約有().A.20輛B.40輛C.60輛D.80輛3.(2013新課標全國卷)設m為正整數(shù),(x+y)2m展開式的

5、二項式系數(shù)的最大值為a,(x+y)2m+1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a=7b,則m=().A.5B.6C.7D.84.若將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班,每個班至少分到一名學生,且甲、乙兩名學生不能分到同一個班,則不同分法的種數(shù)為.5.(2013新課標全國卷)一批產(chǎn)品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質品的件數(shù)記為n.如果n=3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗,若為優(yōu)質品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗.假設這批產(chǎn)品的優(yōu)質品率為50%,即

6、取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質品相互獨立.(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學期望.6.電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查.下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖.將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.(1)根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關?非體育迷體育迷合計男女1055合計(2)將上述調查所得到

7、的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列,期望E(X)和方差D(X).附:2=,(注:此公式也可寫成K2=)P(2k)0.050.01k3.8416.635【知識整合】1.計數(shù)原理(1)分類計數(shù)原理(加法原理):做一件事,完成它可以有2類辦法,在第1類辦法中有m1種不同的方法,在第2類方法中有m2種不同的方法,那么完成這件事共有N=種不同的方法.(2)分步計數(shù)原理(乘法原理):做一件事,完成它需要2個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,那

8、么完成這件事共有N=種不同的方法.2.排列與組合排列定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素,按照一定的順序排成一列,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列數(shù)公式=或寫成=組合定義從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合組合數(shù)公式=或寫成=組合數(shù)性質=;=+3.二項式定理定理(a+b)n=(r=0,1,2,n)通項Tr+1=,r=0,1,2,n,其中叫作二項式系數(shù)二項式系數(shù)的性質對稱性與首末兩端“等距離”兩項的二項式系數(shù)相等,即=,=,=,最大值當n為偶數(shù)時,中間的一項的二項式系數(shù)取得最大值;當n為奇數(shù)時,中間的兩項的二項式系數(shù),相等,且

9、同時取得最大值各二項式系數(shù)的和+=;+=+=4.概率模型概型特點概率求法古典概型P(A)=幾何概型P(A)=互斥事件有一個發(fā)生的概率事件互斥P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)對立事件的概率若事件A與事件B互為對立事件,則為必然事件P(AB)=P(A)=相互獨立事件同時發(fā)生事件P(AB)=(A、B相互獨立)獨立重復試驗一次試驗重復n次P(X=k)= (p為每次試驗中,事件發(fā)生的概率)條件概率在事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生記作B|AP(B|A)=5.統(tǒng)計抽樣方法、用樣本頻率分布估計總體分布頻率分布表和頻率分布直方圖總體密度曲線莖葉圖用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征眾數(shù)、中位數(shù)平均數(shù)=方差

10、s2=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2標準差s=6.離散型隨機變量概率分布的兩個性質pi0,p1+p2+pn=1數(shù)學期望(均值)E(X)=x1p1+x2p2+xnpn方差D(X)=(x1-E(X)2p1+(x2-E(X)2p2+(xn-E(X)2pn常見分布超幾何分布一般地,在含有M件次品的N件產(chǎn)品中任意取n件,其中恰有X件次品,則P(X=k)=,k=0,1,2,m,其中m=minm,n二項分布P(X=k)=pkqn-k(其中k=0,1,2,n,q=1-p),兩點分布是一種特殊的二項分布正態(tài)分布f(x)=,xR,其中可用樣本的均值去估計,可用樣本的標準差去估計7.回歸分析和獨立性檢驗(

11、1)回歸直線方程:=bx+a(也可寫成y=a+bx或=x+)一定過.(2)獨立性檢驗:假設有兩個分類變量X和Y,它們的值域分別為x1,x2和y1,y2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為22列聯(lián)表)為y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d我們利用隨機變量K2=來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關系”,這種方法稱為兩個分類變量的.【考點聚焦】熱點一:對抽樣方法的理解與應用高考對隨機抽樣的考查常以實際應用為背景命題,考查對分層抽樣和系統(tǒng)抽樣的理解與計算,考查樣本的抽取,多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),有時也會在解答題中出現(xiàn),但難度不大.某市有A、B、C三所學校共有高三理科

12、學生1500人,且A、B、C三所學校的高三理科學生人數(shù)成等差數(shù)列,在三月進行全市聯(lián)考后,準備用分層抽樣的方法從所有高三理科學生中抽取容量為120的樣本,進行成績分析,則應從B校學生中抽取人.【分析】分別用字母設出A、B、C三所學校的高三理科學生人數(shù),根據(jù)這三所學校的總人數(shù)以及等差數(shù)列的定義(或性質),列出方程求出B學校的高三理科學生人數(shù),然后由分層抽樣按比例抽取,可得應從B校學生中抽取的人數(shù).【解析】設A、B、C三所學校的高三理科學生人數(shù)分別為a、b、c,因為A、B、C三所學校的高三理科學生人數(shù)成等差數(shù)列,所以a+c=2b,又因為A、B、C三所學校共有高三理科學生1500人,所以a+b+c=1

13、500,得3b=1500,則b=500.故根據(jù)分層抽樣,應從B校學生中抽取500=40(人).【答案】40【歸納拓展】1.分層抽樣是等比例抽樣,在分層抽樣中,如果各層的容量分別是a1,a2,an,抽取的樣本容量為b,則第i層抽取的樣本數(shù)目是ai.分層抽樣中常涉及的問題有:求ai、求b、求總體數(shù)N、求各層中抽取的個體數(shù)等.2.在系統(tǒng)抽樣中,若總體數(shù)為N,樣本容量為n,且為整數(shù)(若不為整數(shù),則需先剔除),則將總體分為n組,然后按照一定的規(guī)律在每組中取一個,相鄰兩個個體的編號相隔.變式訓練1某公司研發(fā)了一款新游戲,為了測試該游戲的受歡迎程度,該公司對某高校大學一年級840名學生,采用系統(tǒng)抽樣方法,抽

14、取42人做問卷調查,將840人按1,2,840隨機編號,則抽取的42人中,編號落入?yún)^(qū)間481,720的人數(shù)為().A.11B.12C.13D.14熱點二:數(shù)字特征與統(tǒng)計圖表統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學科,它可以幫我們從數(shù)據(jù)中提取有用信息,并為制定決策提供依據(jù).所以,這就決定了數(shù)字特征與統(tǒng)計圖表在統(tǒng)計高考題中的地位,即數(shù)字特征與統(tǒng)計圖表就是高考試題中的熱點之一.某中學高三年級從甲、乙兩個班級各選取7名同學參加數(shù)學競賽,他們取得的成績的莖葉圖如圖所示,其中甲班同學的平均分是85分,乙班同學成績的中位數(shù)是83,則x+y的值為.【分析】利用平均數(shù)求出x的值,利用中位數(shù)求出y的值.【解析】

15、由莖葉圖可知甲班同學的總分為702+803+902+(8+9+5+x+0+6+2)=590+x,又甲班同學的平均分是85,則857=590+x,所以x=5.乙班同學成績的中位數(shù)是80+y=83,得y=3.故x+y=8.【答案】8【歸納拓展】1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是描述數(shù)據(jù)的“集中趨勢”的特征數(shù),而標準差與方差都是用來描述一組數(shù)據(jù)波動情況的特征數(shù),常用來比較兩組數(shù)據(jù)的波動大小.方差、標準差越大,數(shù)據(jù)波動越大;方差、標準差越小,數(shù)據(jù)波動越小.2.用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點:統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失,所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到;莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄,隨時添加,方便記錄和表示.變

16、式訓練2為備戰(zhàn)2013年南京亞青會,對甲、乙兩名運動員的成績統(tǒng)計用莖葉圖表示如下,若甲、乙兩人的平均成績分別是X甲、X乙,則下列結論正確的是().A.X甲X乙,甲比乙成績穩(wěn)定B.X甲X乙,乙比甲成績穩(wěn)定C.X甲X乙,甲比乙成績穩(wěn)定D.X甲3.841,所以斷定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關系,這種判斷出錯的可能性最高為. 專業(yè)性別 非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男1310女720P(K2k)0.0500.0250.0100.001k3.8415.0246.63510.828【分析】根據(jù)獨立性檢驗的方法,將計算的結果與有關臨界值表相比較.【解析】因為K24.843.841,所以從臨界值表中可以看出判斷出錯的可能性最高

17、為0.050.【答案】5%(或0.05)【歸納拓展】獨立性檢驗僅限于22的列聯(lián)表,收集數(shù)據(jù)是解題的關鍵.在利用統(tǒng)計變量K2進行獨立性檢驗時,應該注意數(shù)值的準確代入和正確計算,最后把計算的結果與有關臨界值相比較.注意認定可能性的百分率是1-P(K2k)的大小.變式訓練3某高中地處縣城,學校規(guī)定家到學校的路程在10里以內的學生可以走讀,因交通便利,所以走讀生人數(shù)很多.該校學生會先后5次對走讀生的午休情況進行了統(tǒng)計,得到如下資料:若把家到學校的距離分為五個區(qū)間:0,2),2,4),4,6),6,8),8,10,則調查數(shù)據(jù)表明午休的走讀生分布在各個區(qū)間內的頻率相對穩(wěn)定,得到了如圖所示的頻率分布直方圖;

18、走讀生是否午休與下午開始上課的時間有著密切的關系.下表是根據(jù)5次調查數(shù)據(jù)得到的下午開始上課時間與平均每天午休的走讀生人數(shù)的統(tǒng)計表.下午開始上課時間1:301:401:502:002:10平均每天午休人數(shù)250350500650750(1)若隨機地調查一位午休的走讀生,其家到學校的路程(單位:里)在2,6)的概率是多少?(2)如果把下午開始上課時間1:30作為橫坐標0,然后上課時間每推遲10分鐘,橫坐標x增加1,并以平均每天午休人數(shù)作為縱坐標y,試根據(jù)表中的5列數(shù)據(jù)求平均每天午休人數(shù)與上課時間x之間的線性回歸方程=bx+a;(3)預測下午上課時間推遲到2:20時,家距學校的路程在6里路以上的走讀

19、生中約有多少人午休.熱點四:兩個計數(shù)原理與排列組合高考中對于計數(shù)問題試題的考查形式不一,可以單獨考查,也可以與排列、組合問題綜合考查,還可以與概率問題綜合考查,求解此類試題的關鍵是理順計數(shù)應用問題的思路:排組分清,加乘明確;有序組合;分類相加,分步相乘.主要題型有選數(shù)字、選樣品、選代表、人或物的排列或組合問題、幾何計數(shù)問題等.(2013山東卷)用0,1,9十個數(shù)字,可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為().A.243B.252C.261D.279【分析】由于三位數(shù)的首位不能為零,因此可以運用分步計數(shù)原理,先排首位,然后再排十位與個位.但是這里要求的三位數(shù)是“有重復數(shù)字”,可以重復兩位數(shù)字,也可以

20、重復三位數(shù)字,故可間接考慮,先求出所有的三位數(shù)的個數(shù),減去沒有重復數(shù)字的三位數(shù)字的個數(shù)即可.【解析】由0,1,9這十個數(shù)字共能組成91010=900個不同的三位數(shù),其中無重復數(shù)字的三位數(shù)有-=648個,故由這十個數(shù)字能組成的有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900-648=252.【答案】B【歸納拓展】1.求解計數(shù)問題要從“分析”“分辨”“分類”“分步”的角度入手.“分析”就是找出題目中的條件、結論,哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨別是排列還是組合,對某些元素的位置有無限制等;“分類”就是對于較復雜的應用題中的元素往往分成互相排斥的幾類,然后逐類解決;“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的

21、步驟,而每一步都是簡單的排列組合問題,然后逐步解決.2.求計數(shù)問題,還要注意以下途徑:(1)以元素為主體,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素;(2)以位置為主體,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置;(3)先不考慮附加條件,計算出所有的個數(shù),再減去不符合要求的個數(shù).變式訓練4設“a1,a2,an”是1,2,n的一個排列,把排在ai(i=1,2,n)的左邊且比ai小的數(shù)的個數(shù)稱為ai的“順序數(shù)”.如在排列“6,4,5,3,2,1”中,5的順序數(shù)為1,3的順序數(shù)為0,則在1至8這八個數(shù)字構成的全排列中,同時滿足8的順序數(shù)為2,7的順序數(shù)為3,5的順序數(shù)為3的不同排列種數(shù)為.熱點五:二項式定理

22、及應用高考對二項式的考查重點是二項式定理的展開式及通項公式、二項式系數(shù)及特定項的系數(shù)、二項式性質、二項式定理的應用,題型多為選擇題、填空題,難度為中低檔.若二項式(x3+)n的展開式中含有非零常數(shù)項,則正整數(shù)n的最小值為().A.3B.5C.7D.10【分析】展開式中含有常數(shù)項即x的次數(shù)為零這一項,先由通項公式Tr+1列出等式,找到n與r的關系式,再利用r為自然數(shù)且rn,確定n的最小值.【解析】展開式的通項公式是Tr+1=x3n-3rx-2r=x3n-5r,若二項式(x3+)n的展開式中含有非零常數(shù)項,則3n-5r=0,即n=(r=0,1,2,n),故當r=3時,n取最小值,最小值為5.【答案

23、】B【歸納拓展】1.在應用二項式(a+b)n的展開式的通項公式Tr+1=an-rbr(r=0,1,2,n)時,要注意以下幾點:(1)它表示二項展開式的任意項,只要n與r確定了,該項就隨之確定;(2)Tr+1是展開中的第r+1項,而不是第r項;(3)公式中a,b的指數(shù)和為n,且a,b不能隨便顛倒位置;(4)要將通項中的系數(shù)和字母分離開,以便于解決問題;(5)對二項式展開式(a-b)n的通項公式還要注意符號.2.在二項式定理的應用中,“賦值法”是一種重要的思想方法,是處理組合數(shù)問題、系數(shù)問題的經(jīng)典方法.變式訓練5已知(x+)n的展開式中第五項為常數(shù)項,則展開式中各項的二項式系數(shù)之和為().A.12

24、8B.64C.32D.16熱點六:幾何概型幾何概型是一個新增的考點,它與古典概型一樣,也是高考考查的重點內容之一.從近幾年高考試題來看,主要以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn),多為單獨考查,有時會與線性規(guī)劃、定積分等知識綜合考查,難度較低.利用幾何概型求概率時,關鍵是對試驗的全部結果構成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找,有時需要設出變量,在坐標系中表示所需要的區(qū)域.(2013陜西卷)如圖,在矩形區(qū)域ABCD的A、C兩點處各有一個通信基站,假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內無其他信號來源,基站工作正常).若在該矩形區(qū)域內隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是().A.1-

25、B.-1C.2-D.【分析】由于是在所給矩形區(qū)域內隨機地選一地點,所以它符合幾何概型的兩個基本特征.解答時,可先計算出矩形區(qū)域ABCD的面積,然后再計算出無信號地點的面積.從所給的幾何圖形中,可知直接計算出無信號地點的面積較為困難,因此可以求出有信號地點(扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF)的面積,然后再解之.【解析】矩形ABCD的面積為12=2,兩個扇形都是半徑為1的四分之一個圓,兩個扇形面積的和為2=,則該地點無信號的概率為=1-,故選A.【答案】A【歸納拓展】長度、面積和體積是幾何概型中的三種基本度量,在解題時要準確把握,要把問題向它們作合理轉化,要注意古典概型與幾何概型的區(qū)別(基本事件的有

26、限性與無限性),并正確選用幾何概型解題.變式訓練6設矩形區(qū)域由直線x=和y=1所圍成的平面圖形,區(qū)域D是由余弦函數(shù)y=cos x、x=及y=-1所圍成的平面圖形.在區(qū)域內隨機地拋擲一粒豆子,則該豆子落在區(qū)域D中的概率是.熱點七:條件概率條件概率雖然在高考中考查得比較少,但從近幾年開始有增多的趨勢,復習中注意抓住對實際問題的分析,關鍵在于識別概率類型.從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù),事件A=“取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)”,事件B=“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”,則P(B|A)=().A.B.C.D.【分析】根據(jù)條件概率公式,先求出事件A的概率,然后求出事件AB的概率,代入公式即可.【解析】P(A)

27、=,P(AB)=,P(B|A)=.【答案】B【歸納拓展】條件概率公式揭示了條件概率P(A|B)與事件概率P(B)、P(AB)之間的關系.下列兩種情況可利用條件概率公式:一種情況是已知P(B)和P(AB)時要求出P(A|B);另一種情況是已知P(B)和P(A|B)時要求出P(AB).對于后一種情況,為了方便也常將條件概率公式改寫為如下的乘法公式:若P(A)0,有P(AB)=P(A)P(B|A).變式訓練7如圖,EFGH是以O為圓心,1為半徑的圓的內接正方形.將一顆豆子隨機地扔到該圓內,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內”,則(1)P(A)=;(

28、2)P(B|A)=.熱點八:隨機變量的分布列、期望與方差隨機變量的分布列、期望與方差是高考中的重點,年年必考,以考生比較熟悉的實際應用問題為背景,綜合排列組合、概率公式、互斥事件、獨立事件以及統(tǒng)計等基礎知識,考查對隨機變量的識別及概率計算的能力,考查運用概率知識解決實際問題的能力,解答時要注意分類與整合、轉化與化歸思想的運用.題型主要以解答題的形式呈現(xiàn),但有時也會以小題的形式出現(xiàn),難度中等.(2013天津卷)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同).(1)求取出的4張卡片中

29、,含有編號為3的卡片的概率;(2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.【分析】(1)根據(jù)題意任取的4張卡片與順序無關,是一個組合計數(shù)問題,也是一個古典概型的概率計算問題.由于編號為3的卡片可以為紅色的,也可以為白色的,因此在計算基本事件數(shù)時要分類討論.(2)根據(jù)題意,在取出的4張卡片中,至少有一張有紅色的,紅色卡片中的編號有1、2、3、4,所以紅色卡片編號的最大值設為X,可能取值也為1、2、3、4,然后根據(jù)卡片的最大值分別求出各自的概率,列出分布列,再根據(jù)數(shù)學期望的公式計算隨機變量X的數(shù)學期望值.【解析】(1)設“取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片

30、”為事件A,則P(A)=.所以取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以隨機變量X的分布列是X1234P隨機變量X的數(shù)學期望E(X)=1+2+3+4=.【歸納拓展】1.求離散型隨機變量的分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件,然后綜合應用各類求概率的公式,求出概率.2.求隨機變量的數(shù)學期望和方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列,若隨機變量服從二項分布或兩點分布,則可直接使用公式求解.變式訓練8在某大學自主招生考試中,所有選報類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯

31、”和“閱讀與表達”兩個科目的考試,成績分為A,B,C,D,E五個等級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示,其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人.(1)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù).(2)若等級A,B,C,D,E分別對應5分,4分,3分,2分,1分.求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分.若該考場共有10人得分大于7分,其中有2人10分,2人9分,6人8分.從這10人中隨機抽取兩人,求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望.熱點九:事件的獨立性、獨立重復試驗與二項分布二項分布是一種重要的概率分布,在實際生活中應用廣泛.對事件的獨立性、獨立重復試驗與二項分布的考查是

32、高考的熱點之一,考查的題型既有小題也有解答題.在小題中,側重于考查事件相互獨立性的概率;在解答題中,一般會綜合事件的相互獨立、互斥或對立、二項分布等知識進行考查.(2013福建卷)某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結束后憑分數(shù)兌換獎品.(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學期望較大?【分析

33、】(1)因為“每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響”,所以計算概率時用相互獨立事件的概率公式求解.X表示小明、小紅各抽獎一次得分的和,根據(jù)題意事件“E(X)=”的情況較多,從反面入手即先求事件X3的概率,再用對立事件的概率公式求解;(2)因為小明、小紅抽獎時,要么中獎,要么不中獎,所以它們符合二項分布的特征,可以應用二項分布的期望公式及性質計算.【解析】(1)由已知得,小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響.記“這2人的累計得分X3”的事件為A,則事件A的對立事件為“X=5”.因為P(X=5)=,所以P(A)=1-P(X=5)=,即這2人的累計得分X3的概率為

34、.(2)設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X1,都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X2).由已知可得,X1B(2,),X2B(2,),所以E(X1)=2=,E(X2)=2=,從而E(2X1)=2E(X1)=,E(3X2)=3E(X2)=.因為E(2X1)E(3X2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學期望較大.【歸納拓展】在計算二項分布的概率分布列時,要注意以下幾點:(1)分清楚在獨立重復試驗中,總共進行了多少次重復試驗,即先確定n的值,然后確定在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是多少,即

35、確定p的值,最后再確定某事件A發(fā)生了多少次,即確定k的值;(2)準確算出每一種情況下,某事件A發(fā)生的概率;(3)算出的結果要驗證是否符合離散型概率分布列的兩個基本性質.變式訓練9甲、乙兩名教師進行乒乓球比賽,采用七局四勝制(先勝四局者獲勝).若每一局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,現(xiàn)已賽完兩局,乙暫時以20領先.(1)求甲獲得這次比賽勝利的概率;(2)設比賽結束時比賽的局數(shù)為隨機變量X,求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望E(X).熱點十:正態(tài)分布正態(tài)分布是自然界中最常見的一種分布,許多現(xiàn)象都近似地服從正態(tài)分布(如長度測量誤差、正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質量指標等),也是高中階段唯一連續(xù)型隨機變

36、量的分布,這個考點雖然不是高考的重點,但在近幾年新課標高考中多次出現(xiàn),其中數(shù)值計算是考查的一個熱點.已知隨機變量服從正態(tài)分布N(2,2),且P(4)=0.8,則P(02)=.【分析】若隨機變量服從正態(tài)分布N(,2),則正態(tài)曲線關于x=對稱;結合曲線的對稱性和頻率之和為1來求相應的概率即可.【解析】P(4)=0.2,又分布圖象關于直線x=2對稱,P(4)=0.2,則P(04)=0.6,P(02)=0.3.【答案】0.3【歸納拓展】正態(tài)曲線是“鐘形曲線”,具有很好的對稱性.正態(tài)分布問題求解的切入點是充分利用正態(tài)分布曲線的圖象特征和相關量的統(tǒng)計意義分析思考,把待求區(qū)間內的概率向已知區(qū)間內的概率進行轉

37、化,在此過程中注意數(shù)形結合思想的運用,記住正態(tài)分布的3法則.變式訓練10假設每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N(800,502)的隨機變量.記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0,則p0的值為.(參考數(shù)據(jù):若XN(,2),有P(-X+)=0.6826,P(-2X+2)=0.9544,P(-34)=p,則P(2X2)=0.023,則P(-22)等于().A.0.477B.0.625C.0.954D.0.9778.投擲一枚正方體骰子(六個面上分別標有1,2,3,4,5,6),向上的面上的數(shù)字記為a,又n(A)表示集合的元素個數(shù),A=x|x2+ax+3|=1,xR,則n(A

38、)=4的概率為().A.B.C.D.9.如圖所示,在邊長為1的正方形OABC中任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為().A.B.C.D.二、填空題10.某課題組進行城市空氣質量調查,按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組,對應城市數(shù)分別為4、12、8.若用分層抽樣抽取6個城市,則甲組中應抽取的城市個數(shù)為.11.一個盒子中有6只好晶體管、4只壞晶體管,任取兩次,每次取一只,第一次取后不放回,若已知第一只是好的,則第二只也是好的的概率是.12.若(x-)7展開式中含x的項的系數(shù)為280,則a=.三、解答題13.在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡

39、迎歌手.各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率;(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學期望.一、選擇題1.下列關于由最小二乘法求出的回歸直線方程=2-x的說法中,不正確的是().A.變量x與y正相關B.該回歸直線必過樣本點中心(,)C.當x=1時,y的預報值為1D.當殘差平方和(yi-)2越小時,模型擬合的效果越好2.某班級有50名學生,其中有30名男生和20名女生,

40、隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學測驗中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93.下列說法一定正確的是().A.這種抽樣方法是一種分層抽樣B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差D.該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)3.某公司對下屬員工在蛇年春節(jié)期間收到的祝福短信數(shù)量進行了統(tǒng)計,得到了如圖所示的頻率分布直方圖,如果該公司共有員工200人,則收到125條以上的大約有().A.6人B.7人C.8人D.9人4.甲、乙兩名運動員在某項測試中的6次成績如莖葉圖所示,、分別表示甲、乙兩

41、名運動員這項測試成績的平均數(shù),s1、s2分別表示甲、乙兩名運動員這項測試成績的標準差,則有().A.,s1s2B.=,s1=s2C.=,s1s2D.,s1c)=a,則P(4-c)等于().A.aB.1-aC.2aD.1-2a6.2013年第12屆全國運動會在沈陽舉行,某校有4名大學生申請當A,B,C三個比賽項目的志愿者,組委會接受了他們的申請,每個比賽項目至少分配一人,每人只能服務一個比賽項目,若甲要求不去服務A比賽項目,則不同的安排方案共有().A.20種B.24種C.30種D.36種7.在(-)n的展開式中,只有第5項的二項式系數(shù)最大,則展開式中常數(shù)項是().A.-7B.7C.-28D.2

42、88.甲和乙等五名志愿者被隨機地分到A、B、C、D四個不同的崗位服務,每個崗位至少有一名志愿者,則甲和乙不在同一崗位服務的概率為().A.B.C.D.9.設aZ,且0a13,若512014+a能被13整除,則a等于().A.0B.1C.11D.1210.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c,其中a,b,c(0,1).已知他投籃一次得分的期望是2,則+的最小值為().A.B.C.D.11.節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在接通電后的4秒內任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后,

43、它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是().A.B.C.D.12.甲袋內裝有2個紅球和3個白球,乙袋內裝有1個紅球和n(nN*)個白球.現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各取1個球,若將事件“取出的2個球恰為同色”發(fā)生的概率記為f(n).則以下關于函數(shù)f(n)(nN*)的判斷正確的是().A.f(n)有最小值,且最小值為B.f(n)有最大值,且最大值為C.f(n)有最小值,且最小值為D.f(n)有最大值,且最大值為二、填空題13.一個頻率分布表(樣本容量為50)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在20,60)上的頻率為0.6,則估計樣本在40,50),50,60)內的數(shù)據(jù)個數(shù)之和是.14.已知=(x

44、,y)|x|1,|y|1,A是曲線y=x2與y=圍成的區(qū)域,若向區(qū)域上隨機投一點P,則點P落入?yún)^(qū)域A的概率為.15.將A、B、C、D、E、F六個字母排成一排,且A、B均在C的同側,則不同的排法種數(shù)共有種(用數(shù)字作答).16.若(x2-)n的展開式中含x的項為第6項,設(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+anxn,則a1+a2+an的值為.三、解答題17.“中國式過馬路”存在很大的交通安全隱患.某調查機構為了解路人對“中國式過馬路”的態(tài)度是否與性別有關,從馬路旁隨機抽取30名路人進行了問卷調查,得到了如下列聯(lián)表:男性女性合計反感10不反感8合計30已知在這30人中隨機抽取1人抽到反感“中國式過馬路”的路人的概率