高考一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)的單調(diào)性與最值

1、.第2講函數(shù)的單調(diào)性與最值【2015年高考會(huì)這樣考】1考查求函數(shù)單調(diào)性和最值的基本方法2利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值和參數(shù)的取值X圍【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】本講復(fù)習(xí)首先回扣課本，從“數(shù)”與“形”兩個(gè)角度來把握函數(shù)的單調(diào)性和最值的概念，復(fù)習(xí)中重點(diǎn)掌握：(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用；(2)求函數(shù)最值的各種基本方法；對(duì)常見題型的解法要熟練掌握基礎(chǔ)梳理1函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1x2時(shí)，都有

2、f(x1)f(x2)，那么就說函數(shù)f (x )在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右圖象是上升的自左向右圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做f(x)的單調(diào)區(qū)間2函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件.對(duì)于任意xI，都有f(x)M；對(duì)于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M存在x0I，使得f(x0)M.結(jié)論M為最大值M為最小值一個(gè)防X函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制例如函數(shù)y分別在(，0)，(0，)內(nèi)都是單調(diào)遞減的，但不能說它在整個(gè)定義域即

3、(，0)(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，只能分開寫，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(，0)和(0，)，不能用“”連接兩種形式設(shè)任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函數(shù)；0f(x)在a，b上是減函數(shù)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是減函數(shù)兩條結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)取到(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值四種方法函數(shù)單調(diào)性的判斷(1)定義法：取值、作差、變形、定號(hào)、下結(jié)論(2)復(fù)合法：同增異減，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí)，為增函數(shù)，不同時(shí)為減

4、函數(shù)(3)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(4)圖象法：利用圖象研究函數(shù)的單調(diào)性雙基自測(cè)1設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且在(，0)內(nèi)是減函數(shù)，f(2)0，則xf(x)0的解集為()A(2,0)(2，) B(，2)(0,2)C(，2)(2，) D(2,0)(0,2)答案C2(2011XX)已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x24x3.若有f(a)g(b)，則b的取值X圍為()A2，2 B(2，2)C1,3 D(1,3)解析函數(shù)f(x)的值域是(1，)，要使得f(a)g(b)，必須使得x24x31.即x24x20，解得2x2.答案B3(2012XX一中質(zhì)檢)已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f1，不等式等價(jià)

5、于解得1x1，且x0.答案C4(2011XX)函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_解析要使ylog5(2x1)有意義，則2x10，即x，而ylog5u為(0，)上的增函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，u2x1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.答案5若x0，則x的最小值為_解析x0，則x2 2 當(dāng)且僅當(dāng)x，即x 時(shí)，等號(hào)成立，因此x的最小值為2 .答案2 考向一函數(shù)的單調(diào)性的判斷【例1】試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性審題視點(diǎn) 可采用定義法或?qū)?shù)法判斷解法一f(x)的定義域?yàn)镽，在定義域內(nèi)任取x1x2，都有f(x1)f(x2)，其中x1x20，x10，x10.當(dāng)x1，x2(1,1)時(shí)，即|x1|1，|x2|1

6、，|x1x2|1，則x1x21,1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)為增函數(shù)當(dāng)x1，x2(，1或1，)時(shí)，1x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)為減函數(shù)綜上所述，f(x)在1,1上是增函數(shù)，在(，1和1，)上是減函數(shù)法二f(x)，由f(x)0解得1x1.由f(x)0解得x1或x1，f(x)在1,1上是增函數(shù)，在(，1和1，)上是減函數(shù) 判斷(或證明)函數(shù)單調(diào)性的主要方法有：(1)函數(shù)單調(diào)性的定義；(2)觀察函數(shù)的圖象；(3)利用函數(shù)和、差、積、商和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則；(4)利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等【訓(xùn)練1】 討論函數(shù)f(x)(a0)在(1,1)上的單調(diào)性解設(shè)

7、1x1x20時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函數(shù)f(x)在(1,1)上遞減；當(dāng)a0時(shí)，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(2，)上遞增，XX數(shù)a的取值X圍審題視點(diǎn) 求參數(shù)的X圍轉(zhuǎn)化為不等式恒成時(shí)要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性解法一設(shè)2x1x2，由已知條件f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)0恒成立即當(dāng)2x1a恒成立又x1x24，則0a4.法二f(x)x，f(x)10得f(x)的遞增區(qū)間是(，)，(，)，根據(jù)已知條件2，解得0a4. 已知函數(shù)的解析式，能夠判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，反之已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可確定函數(shù)解析式中參數(shù)的值或X圍，可通過列不等式或解決不

8、等式恒成立問題進(jìn)行求解【訓(xùn)練2】 函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞增，則a的取值X圍是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析y1，需即a3.答案C考向三利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例3】已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值審題視點(diǎn) 抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷，仍須緊扣定義，結(jié)合題目作適當(dāng)變形(1)證明法一函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，yR總有f(x)f(y)f(xy)，令xy0，得f(0)0.再令yx，得f(x)f(x)在R上任取x1x2，則x1x20，f(x1)f(x2)f(

9、x1)f(x2)f(x1x2)又x0時(shí)，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是減函數(shù)法二設(shè)x1x2，則f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0時(shí)，f(x)0，而x1x20，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在R上為減函數(shù)(2)解f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)在3,3上也是減函數(shù)，f(x)在3,3上的最大值和最小值分別為f(3)與f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值為2，最小值為2. 對(duì)于抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷仍然要緊扣單調(diào)性的

10、定義，結(jié)合題目所給性質(zhì)和相應(yīng)的條件，對(duì)任意x1，x2在所給區(qū)間內(nèi)比較f(x1)f(x2)與0的大小，或與1的大小有時(shí)根據(jù)需要，需作適當(dāng)?shù)淖冃危喝鐇1x2或x1x2x1x2等【訓(xùn)練3】 已知定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)f(x)滿足ff(x1)f(x2)，且當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值解(1)令x1x20，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，則1，由于當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函數(shù)f(x)在

11、區(qū)間(0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)(3)f(x)在0，)上是單調(diào)遞減函數(shù)f(x)在2,9上的最小值為f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.f(x)在2,9上的最小值為2.規(guī)X解答2如何解不等式恒成立問題【問題研究】在恒成立的條件下，如何確定參數(shù)的X圍是歷年來高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，近年來在新課標(biāo)地區(qū)的高考命題中，由于三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)知識(shí)的滲透，使原來的分離參數(shù)法、根的分布法增添了思維難度，因而含參數(shù)不等式的恒成立問題常出現(xiàn)在綜合題的位置.【解決方案】解決這類問題的關(guān)鍵是將恒成立問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，或者區(qū)間根的分布問題，進(jìn)而運(yùn)用最

12、值原理或者區(qū)間根原理使問題獲解，常用方法還有函數(shù)性質(zhì)法，分離參數(shù)法等.【示例】(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x22ax2，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)a恒成立，求a的取值X圍利用函數(shù)性質(zhì)求f(x)的最值，從而解不等式f(x)mina，得a的取值X圍解題過程中要注意a的X圍的討論解答示Xf(x)(xa)22a2，此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為xa(1分)(1)當(dāng)a(，1)時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)2a3.(3分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a3a，解得a3，即3a1.(6分)(2)當(dāng)a1，)時(shí)，f(x)minf(a)2a2.(8分)要使f(x)a恒成立，只需f(x)mina，即2a2a(10分)解得2a1，即1a1.(11分)綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值X圍為3,1(12分)本題是利用函數(shù)的性質(zhì)求解恒成立問題，主要的解題步驟是研究函數(shù)的性質(zhì)，由于導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，拓展了這類問題深度和思維的廣度，因此，解答問題