模型組合講解——追及、相遇模型doc

1、模型組合講解追及、相遇模型文 /孫立剛一、追及、相遇模型（同一直線上）【模型概述】追及和相遇問題是一類常見的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，從時(shí)間和空間的角度來講，相遇是指同一時(shí)刻到達(dá)同一位置。 可見， 相遇的物體必然存在以下兩個(gè)關(guān)系： 一是相遇位置與各物體的初始位置之間存在一定的位移關(guān)系。 若同地出發(fā)， 相遇時(shí)位移相等為空間條件。 二是相遇物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間也存在一定的關(guān)系。若物體同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等；若甲比乙早出發(fā) t，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為t甲t乙t 。要使物體相遇就必須同時(shí)滿足位移關(guān)系和運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系?！灸Ｐ椭v解】1. 利用不等式求解例 1：甲、乙兩物體相距s，在同一直線上同方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，速度減為零后就保持靜止

2、不動(dòng)。甲物體在前，初速度為 v1，加速度大小為 a1。乙物體在后，初速度為 v2，加速度大小為 a2 且知 v1<v 2，但兩物體一直沒有相遇，求甲、乙兩物體在運(yùn)動(dòng)過程中相距的最小距離為多少？解析：若是v1v2 ，說明甲物體先停止運(yùn)動(dòng)或甲、乙同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)。在運(yùn)動(dòng)過程中，a1a2乙的速度一直大于甲的速度，只有兩物體都停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，才相距最近，可得最近距離為s sv12v222a12a2若是 v1v2，說明乙物體先停止運(yùn)動(dòng)那么兩物體在運(yùn)動(dòng)過程中總存在速度相等的時(shí)a2a2刻，此時(shí)兩物體相距最近，根據(jù)v共v1 a1t v2 a2t ，求得v2v1ta1a2在 t 時(shí)間內(nèi)甲的位移 s1v共v1 t2

3、乙的位移 s2v共v2 t2代入表達(dá)式s ss1s2求得 ss(v2v1 )2(a2a1 )評(píng)點(diǎn)：本題是一個(gè)比較特殊的追及問題 （減速追減速） 。求解時(shí)要對(duì)各種可能的情況進(jìn)行全面分析， 先要建立清晰的物理圖景。 本題的特殊點(diǎn)在于巧妙地通過比較兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間的長(zhǎng)短尋找兩物體相距最近的臨界條件。2. 巧用圖象法求解例 2：如圖 1 所示，聲源 S 和觀察者 A 都沿 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)， 相對(duì)于地面的速率分別為 vS 和 vA 。空氣中聲音傳播的速率為 vP ，設(shè) vS vP， vA vP ，空氣相對(duì)于地面沒有流動(dòng)。圖 1（ 1）若聲源相繼發(fā)出兩個(gè)聲信號(hào)。時(shí)間間隔為t ，請(qǐng)根據(jù)發(fā)出的這兩個(gè)聲信號(hào)從聲

4、源傳播到觀察者的過程。確定觀察者接收到這兩個(gè)聲信號(hào)的時(shí)間間隔t' 。（ 2）請(qǐng)利用（ 1）的結(jié)果，推導(dǎo)此情形下觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出的聲波頻率間的關(guān)系式。解析：作聲源 S、觀察者 A 、聲信號(hào) P（ P1 為首發(fā)聲信號(hào)， P2 為再發(fā)聲信號(hào)）的位移時(shí)間圖象如圖 2 所示圖線的斜率即為它們的速度 vS、 v A、vP 則有：圖 2s vStvP ( t t 0 )s' vAt' vP ( t' t 0 )兩式相減可得：v At ' vSt vP ( t ' t)解得t 'vPvStvPvA（ 2）設(shè)聲源發(fā)出聲波的振動(dòng)周期為 T ，

5、這樣，由以上結(jié)論，觀察者接收到的聲波振動(dòng)的周期為T 'vP vS TvPv A由此可得，觀察者接收到的聲波頻率與聲源發(fā)出聲波頻率間的關(guān)系為f 'vPvAfvPvS評(píng)點(diǎn)：圖象分速度圖象和位移圖象， 位移圖線的斜率為速度， 速度圖線的斜率為加速度，速度圖線與時(shí)間軸所圍的“面積”值，等于該段時(shí)間內(nèi)的位移大小。3. 妙取參照物求解例 3：火車甲正以速度 v1 向前行駛，司機(jī)突然發(fā)現(xiàn)前方距甲 d 處有火車乙正以較小速度 v2 同向勻速行駛，于是他立即剎車，使火車做勻減速運(yùn)動(dòng)而停下。為了使兩車不相撞，加速度 a 應(yīng)滿足什么條件？解析：設(shè)以火車乙為參照物， 則甲相對(duì)乙做初速為 (v1 v2

6、) 、加速度為 a 的勻減速運(yùn)動(dòng)。若甲相對(duì)乙的速度為零時(shí)兩車不相撞，則此后就不會(huì)相撞。因此，不相撞的臨界條件是：甲車減速到與乙車車速相同時(shí)，甲相對(duì)乙的位移為d。2(v1v2 )2即： 0 ( v1 v2 )2ad， a，2d故不相撞的條件為(v1 v2 ) 2a2d【模型要點(diǎn)】追及、相遇問題特點(diǎn)：討論追及、相遇的問題，其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問題。 一定要抓住兩個(gè)關(guān)系： 即時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。 一個(gè)條件：即兩者速度相等， 它往往是物體間能否追上、 追不上或 （兩者） 距離最大、 最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點(diǎn)?！咎貏e說明】1. 勻減速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速

7、運(yùn)動(dòng)物體若二者速度相等時(shí)，追趕者仍沒有追上被追趕者，則追趕者永遠(yuǎn)追不上被追趕者，此時(shí)二者有最小距離；若二者相遇時(shí)，追趕者的速度等于被追趕者的速度，則剛好追上，也是二者避免碰撞的臨界條件； 若二者相遇時(shí)， 追趕者的速度仍大于被追趕者的速度， 則還有一次被被追趕者追上追趕者的機(jī)會(huì)，其間速度相等時(shí)二者的距離有一個(gè)最大值。2. 初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)的物體追同向勻速運(yùn)動(dòng)的物體只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，追趕者一定能追上被追趕者發(fā)生碰撞。當(dāng)二者速度相等時(shí)有最大距離。若位移相等即追上（同一地點(diǎn)出發(fā)）。在相遇問題中，同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追到即相遇，解決方法同上；相向運(yùn)動(dòng)的物體，各自發(fā)生的位移絕對(duì)值之和為開始時(shí)兩物體間的距離

8、時(shí)即相遇。【模型演練】（ 2005 年徐州?？迹┰谝粭l平直的公路上，乙車以10m/s 的速度勻速行駛，甲車在乙車2么條件時(shí)可以使（1）兩車不相遇； （ 2）兩車只相遇一次； （ 3）兩車能相遇兩次（設(shè)兩車相遇時(shí)互不影響各自的運(yùn)動(dòng)）。答案：設(shè)兩車速度相等經(jīng)歷的時(shí)間為t，則甲車恰能追及乙車時(shí)，應(yīng)有a t 2v甲t甲v乙 t L2其中 tv甲v乙，解得 L 25ma甲若 L 25m ，則兩車等速時(shí)也未追及，以后間距會(huì)逐漸增大，及兩車不相遇。若 L 25m ，則兩車等速時(shí)恰好追及，兩車只相遇一次，以后間距會(huì)逐漸增大。若 L 25m，則兩車等速時(shí)，甲車已運(yùn)動(dòng)至乙車前面，以后還能再次相遇，即能相遇兩次。（

9、文 /孫晉善）二、追及、相遇模型（不在一條直線上）【模型概述】不在一條直線上的相遇問題在近年高考中也較為常見，如 2000 年的上海高考中的“估算出飛機(jī)速度” ，2004 年廣西高考“觀察者看衛(wèi)星”等，該類問題其實(shí)是兩種不在一條直線上的運(yùn)動(dòng)或不同運(yùn)動(dòng)的組合體，在空間上在某一時(shí)刻到達(dá)同一位置。【模型講解】例 . 有一個(gè)很大的湖，岸邊（可視湖岸為直線）停放著一艘小船，纜繩突然斷開，小船被風(fēng)刮跑，其方向與湖岸成 15°角，速度為 2.5km/h 。同時(shí)岸上一人從停放點(diǎn)起追趕小船，已知他在岸上跑的速度為 4.0km/h ，在水中游的速度為 2.0km/h ，問此人能否追及小船？解析：費(fèi)馬原理

10、指出：光總是沿著光程為極小值的路徑傳播。據(jù)此就將一個(gè)運(yùn)動(dòng)問題通過類比法可轉(zhuǎn)化為光的折射問題。如圖 3 所示，船沿 OP 方向被刮跑，設(shè)人從 O 點(diǎn)出發(fā)先沿湖岸跑，在 A 點(diǎn)入水游到 OP 方向的 B 點(diǎn)，如果符合光的折射定律，則所用時(shí)間最短。圖 3根據(jù)折射定律：sin 90v14.0sinv22.0解得30 ，18015(90) 45在這最短時(shí)間內(nèi)，若船還未到達(dá)B 點(diǎn)，則人能追上小船，若船已經(jīng)通過了B 點(diǎn)，則人不能追上小船，所以船剛好能到達(dá)B 點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的船速就是小船能被追及的最大船速vm 。根據(jù)正弦定理vm tv1 t1v2 t2sin 45sin 15sin 120又 tt1 t 2由以上兩

11、式可解得：vmv1v2 sin12022km / hv1 sin 15v2 sin 45此即小船能被人追上的最大速度，而小船實(shí)際速度只有2.5km/h ，小于 22km / h ，所以人能追上小船。【模型要點(diǎn)】從空間的角度來講，兩物體經(jīng)過一段時(shí)間到達(dá)同一位置。必然存在兩種關(guān)系：一是空間關(guān)系，不在一條直線的相遇問題要做好幾何圖形，利用三角形知識(shí)解題。二是時(shí)間關(guān)系。這是解決該類問題的切入點(diǎn)?！咎貏e說明】圓周運(yùn)動(dòng)中的相遇、追及：同一圓、同方向追擊的物體轉(zhuǎn)過的角度|12| 2n(n、) 時(shí)表明兩物體相遇或相距最近；反方向轉(zhuǎn)動(dòng)的物體轉(zhuǎn)過的0 1 2角度 |12 |2n（ n=0 、1、 2、）時(shí)表明兩物體相遇或相距最近。不同一圓、同方向追擊的物體轉(zhuǎn)過的角度 | 12 | 2n （ n=0、 1、 2、）時(shí)表明兩物體相距最近?！灸Ｐ脱菥殹?. 如圖 4 所示，有 A、 B 兩顆行星