電工技術(shù)第3章

1、跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 凡是隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流統(tǒng)稱為凡是隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓、電流統(tǒng)稱為正弦電量，或稱為交流電。表達式為：正弦電量，或稱為交流電。表達式為：)sin(umtUu)sin(imtIi跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 以正弦電流為例：以正弦電流為例：)sin(imtIi最大值或幅值最大值或幅值角頻率角頻率、和和稱為正弦量的的三要素。稱為正弦量的的三要素。相位相位初相位或初相初相位或初相波形波形跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交

2、流電路正弦交流電路 ：正弦量在每秒內(nèi)變化的弧度（正弦量在每秒內(nèi)變化的弧度（rad/s）角頻率與周期及頻率的關(guān)系：角頻率與周期及頻率的關(guān)系：fT22：正弦量完整變化一周所需要的時間（：正弦量完整變化一周所需要的時間（s）：正弦量在每秒內(nèi)變化的次數(shù)（正弦量在每秒內(nèi)變化的次數(shù)（Hz）周期與頻率的關(guān)系：周期與頻率的關(guān)系：Tf1跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 ：正弦量表達式中的（：正弦量表達式中的（t+i）值值：當：當t=0時的相位，即時的相位，即i：兩個同頻率正弦量的相位之差，其值等于它：兩個同頻率正弦量的相位之差，其值等于它 們的初相之差。如們的初相之差。如)sin(umtUu)s

3、in(imtIiiuiutt)()(相位差為：相位差為：跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 若若 ，稱，稱u與與i同相同相（如圖（如圖3-2b） 0若若 ，稱，稱u比比i超前超前 角，或者說角，或者說i比比u滯后滯后 角角 （如圖（如圖3-2a3-2a） 0若若 ，稱，稱u與與i反相反相（如圖（如圖3-2c） 若若 ，稱，稱u比比i滯后滯后 角，或者說角，或者說i比比u超前超前 角角 0若若 ，稱，稱u與與i正交正交（如圖（如圖3-2d） 2跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 圖圖3-2 兩個同頻率正弦量的相位關(guān)系兩個同頻率正弦量的相位關(guān)系跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正

4、弦交流電路正弦交流電路 ：瞬時值中最大的值稱為幅值或最大值，用帶下標瞬時值中最大的值稱為幅值或最大值，用帶下標m的的 大寫字母表示大寫字母表示 。：當某一交流電流：當某一交流電流i通過一個線性電阻通過一個線性電阻R時，在一個周時，在一個周 期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量，與某一直流電流期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量，與某一直流電流I通過同一電通過同一電 阻在相同時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等阻在相同時間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則這一直流電流則這一直流電流 的數(shù)值就稱為該交流電流的數(shù)值就稱為該交流電流i的有效值。的有效值。習(xí)慣上有效值與直流一樣，都用大寫字母表示。習(xí)慣上有效值與直流一樣，都用大寫字母表示。 交流電流的有效值為：交流電流的有

5、效值為：TdtTIi021根據(jù)有效值的定義有：根據(jù)有效值的定義有： TRdtiRTI022瞬時值瞬時值: :正弦量在任一瞬間的值，用小寫字母表示。正弦量在任一瞬間的值，用小寫字母表示。 跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 )sin()(imtIti對于正弦電流，設(shè)對于正弦電流，設(shè)IImmTimTIdttI707.02)(0221sin則則為：為：同理，對于同理，對于為：為：mmUUU707. 02mEEE707. 02m跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 相量法是求解正弦交流電路的簡單方法。相量法是求解正弦交流電路的簡單方法。 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A可用復(fù)平面上的有向可用復(fù)平面

6、上的有向線段來表示。如圖線段來表示。如圖3-4。該線段的。該線段的長度長度r稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)A的的，?？偸侨?，模總是取正值。該線段與實軸正方向的夾正值。該線段與實軸正方向的夾角角稱為復(fù)數(shù)稱為復(fù)數(shù)A的的。1.復(fù)數(shù)的表示方法復(fù)數(shù)的表示方法圖圖3-4 復(fù)數(shù)的相量表示復(fù)數(shù)的相量表示跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)A的實部的實部a及虛部及虛部b與模與模r及輻角及輻角的關(guān)系為：的關(guān)系為：osracsinrb 22barabarctanrrerraAjjjbsincos可將復(fù)數(shù)可將復(fù)數(shù)A表示成代數(shù)型、三角函數(shù)型、指數(shù)型和極坐表示成代數(shù)型、三角函數(shù)型、指數(shù)型和極坐標型標型4種形式。種

7、形式。根據(jù)以上關(guān)系式及歐拉公式根據(jù)以上關(guān)系式及歐拉公式sincosjje代數(shù)型代數(shù)型三角函數(shù)型三角函數(shù)型指數(shù)型指數(shù)型極坐標型極坐標型跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 2.復(fù)數(shù)的運算復(fù)數(shù)的運算1111j1ejbraA2222j2ejrbaA設(shè)兩復(fù)數(shù)為：設(shè)兩復(fù)數(shù)為：(1)加減運算：加減運算：規(guī)則是實部和虛部分別相加減。因此，宜用規(guī)則是實部和虛部分別相加減。因此，宜用代數(shù)形式或三角函數(shù)形式進行運算。也可以在復(fù)平面內(nèi)用代數(shù)形式或三角函數(shù)形式進行運算。也可以在復(fù)平面內(nèi)用平行四邊形法則作圖完成。平行四邊形法則作圖完成。 )()(212121bbaaAAj(2)乘除運算：乘除運算：宜用指數(shù)形

8、式或極坐標形式進行。宜用指數(shù)形式或極坐標形式進行。 )(2121)(212212121rrrrrrAAjjj1eee)(2121)(2121212121rrrrrrAAjjjeee跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 )sin(itIimiIImm)sin(utUumuUUmm)sin(2itIiII)sin(2utUuUU 為了區(qū)別于一般的復(fù)數(shù)，正弦量的相量用大寫字母上加為了區(qū)別于一般的復(fù)數(shù)，正弦量的相量用大寫字母上加點符號點符號“”“”表示。用正弦量幅值定義的相量稱為表示。用正弦量幅值定義的相量稱為幅值相量幅值相量，也可以定義有效值相量。，也可以定義有效值相量。 相量是一個復(fù)數(shù)

9、，它在復(fù)平面上的相量是一個復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面上的圖形稱為相量圖。同一頻率的相量可以圖形稱為相量圖。同一頻率的相量可以在同一復(fù)平面內(nèi)表示。畫相量圖時要注在同一復(fù)平面內(nèi)表示。畫相量圖時要注意各正弦量之間的相位差。如圖意各正弦量之間的相位差。如圖3-63-6。 圖圖3-6 相量圖相量圖跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 需要指出的是，正弦量是時間的函數(shù)，而正弦量的相量需要指出的是，正弦量是時間的函數(shù)，而正弦量的相量并非時間的函數(shù)，所以只能說用相量表示正弦量，而不能說并非時間的函數(shù)，所以只能說用相量表示正弦量，而不能說相量就等于正弦量。相量就等于正弦量。 【例【例3-5】 已知兩個正弦電流

10、已知兩個正弦電流 A， A，求電流求電流 。 )70sin(251ti)60sin(2102ti21iii 解：解：1）用相量解析法。其有效值相量分別為：）用相量解析法。其有效值相量分別為： A7051IA60102I5 .3079. 721III由此可得由此可得 2 2）用相量圖法。在復(fù)平面內(nèi)做出）用相量圖法。在復(fù)平面內(nèi)做出 和和 的相量圖，的相量圖，利用平行四邊形法則做利用平行四邊形法則做出相量出相量 ，由相量圖可求得，由相量圖可求得 1I2IIA5 .3079. 7I跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 利用相量分析正弦交流電路時，應(yīng)注意以下幾點：利用相量分析正弦交流電路時，

11、應(yīng)注意以下幾點： 1 1）只有對同頻率的正弦量，才能應(yīng)用對應(yīng)的相量來進行運）只有對同頻率的正弦量，才能應(yīng)用對應(yīng)的相量來進行運算。算。2 2）在應(yīng)用相量分析時，先將正弦量變換為對應(yīng)的相量，通）在應(yīng)用相量分析時，先將正弦量變換為對應(yīng)的相量，通過復(fù)數(shù)的代數(shù)運算求得所求正弦量對應(yīng)的相量，再由該相過復(fù)數(shù)的代數(shù)運算求得所求正弦量對應(yīng)的相量，再由該相量寫出對應(yīng)的正弦量的瞬時表達式。量寫出對應(yīng)的正弦量的瞬時表達式。3 3）可以推廣到多個同頻率的正弦量運算，轉(zhuǎn)換成對應(yīng)相量）可以推廣到多個同頻率的正弦量運算，轉(zhuǎn)換成對應(yīng)相量的代數(shù)運算。如基爾霍夫定律的相量表達形式應(yīng)為：的代數(shù)運算。如基爾霍夫定律的相量表達形式應(yīng)為：

12、00Ii00Uu4 4）電工計算中遇到復(fù)數(shù)算子）電工計算中遇到復(fù)數(shù)算子j稱為旋轉(zhuǎn)稱為旋轉(zhuǎn)9090的算子。因為的算子。因為 90je90sinj90cosj因此任意一個相量乘以因此任意一個相量乘以j就使這個相量在相量圖上逆時針旋就使這個相量在相量圖上逆時針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)9090, ,除以除以j, ,相當于乘以相當于乘以- -j，就使該相量順時針旋轉(zhuǎn)就使該相量順時針旋轉(zhuǎn)9090 跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 圖圖3-103-10a是一個線性電阻元件的交流電路。假定在一瞬時施是一個線性電阻元件的交流電路。假定在一瞬時施加的正弦電壓為加的正弦電壓為 )sin(2utUu根據(jù)歐姆定律，則通過

13、電阻的電流為根據(jù)歐姆定律，則通過電阻的電流為 )sin(2)sin(2iutIRtURui 因此，在電阻元件的交流電路中，通過電阻的電流因此，在電阻元件的交流電路中，通過電阻的電流i與與它的端電壓它的端電壓u是同頻率、同相位的兩個正弦量。是同頻率、同相位的兩個正弦量。 式中式中 iuRUI,圖圖3-10 電阻電路電阻電路跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 ，產(chǎn)生的，產(chǎn)生的 用相量來分析，外加電壓用相量來分析，外加電壓u的相量為的相量為 uUUje電流電流i的相量為的相量為iIRUIje/, ,即即 或或 IRURUI 這就是電阻電路中歐姆定這就是電阻電路中歐姆定律的相量形式。它既

14、表示電阻律的相量形式。它既表示電阻兩端的電壓兩端的電壓u與通過電阻的電流與通過電阻的電流i的有效值之間的關(guān)系為的有效值之間的關(guān)系為U=RI ，又表示了電壓又表示了電壓u與電流與電流i同相位。同相位。電阻電路的相量模型如圖電阻電路的相量模型如圖3-11a所示，它們的相量圖如圖所示，它們的相量圖如圖3-11b所示。所示。 圖圖3-11 電阻元件的相量形式電阻元件的相量形式跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 電路在任一瞬間消耗的功率稱為電路在任一瞬間消耗的功率稱為瞬時功率瞬時功率，用小寫字母，用小寫字母p表示，它等于瞬時電壓表示，它等于瞬時電壓u與瞬時電流與瞬時電流i的乘積的乘積 。)

15、sin(2utUu)sin(2itIi設(shè)設(shè) ， 則則 )sin()sin(2iuttUIuip由于電阻元件的電壓由于電阻元件的電壓u和電流和電流i同相，即同相，即 iu所以所以 )(2cos)(sin22uutUIUItUIp 瞬時功率隨時間變化的波形如圖瞬時功率隨時間變化的波形如圖3-12所示。所示。 通常所說的功率是指瞬時功率在一個通常所說的功率是指瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值，稱為周期內(nèi)的平均值，稱為平均功率或有功平均功率或有功功率功率，簡稱，簡稱功率功率，用，用大寫字母大寫字母P表示表示。 TuttUITP 0 d)(2cos1 (1UIRI2圖圖3-12 瞬時功率瞬時功率波形圖波形圖

16、跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 電感元件伏安關(guān)系：電感元件伏安關(guān)系：tiLuLLdd設(shè)設(shè) tIiLLsin2則則 tLItiLuLLLcos2dd)90sin(2tUL 當正弦電流通過電感當正弦電流通過電感元件時，在電感元件上產(chǎn)元件時，在電感元件上產(chǎn)生一個同頻率的正弦電壓生一個同頻率的正弦電壓，且在相位上超前于電流，且在相位上超前于電流90，它們的波形圖如圖，它們的波形圖如圖3-133-13b所示。所示。 圖圖3-13 電感元件電感元件跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 由于由于 ，可有，可有 LLLIULLLXfLLIU2 用相量來分析，在圖用相量來分析，在圖

17、3-143-14a所示的電感元件相量模型電路所示的電感元件相量模型電路中，若設(shè)電流為參考相量中，若設(shè)電流為參考相量 0LLII XL稱為電感的電抗，簡稱感抗。當頻率單位是稱為電感的電抗，簡稱感抗。當頻率單位是Hz，電感單電感單位是位是H時，感抗的單位是時，感抗的單位是。在電感在電感L一定的情況下，感抗一定的情況下，感抗XL與頻率與頻率f成正比，頻率愈高，它的感抗也愈大。直流電流的頻成正比，頻率愈高，它的感抗也愈大。直流電流的頻率可看成率可看成f=0，故而故而XL=0，這相當于短路。這相當于短路。 ，則電感上的電壓為，則電感上的電壓為 90LLILULLIXj 這就是電感電路中歐姆定律的相這就是

18、電感電路中歐姆定律的相量形式，它既表達了電壓與電流有量形式，它既表達了電壓與電流有效值之間的關(guān)系為效值之間的關(guān)系為U=XLI，又表達又表達了電壓超前于電流了電壓超前于電流90，其相量圖，其相量圖如圖如圖3-143-14b所示。所示。 圖圖3-14 電感元件的相量形式電感元件的相量形式跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 電感電路中的瞬時功率為電感電路中的瞬時功率為 )90sin(sin2ttIUiupLLLLLtIULL2sintIXLL2sin2 電感元件的瞬時功率以兩倍于電流的頻率交變著，幅值電感元件的瞬時功率以兩倍于電流的頻率交變著，幅值 為為ULIL，其平均功率（有功功率）

19、為其平均功率（有功功率）為 TTLLLLttIXTtpTP 0 0 20d2sin1d1 電感元件的平均功率為電感元件的平均功率為0，說明電感元件是不消耗電能的，說明電感元件是不消耗電能的， 但是在電感與電源之間存在著能量的交換。其儲存的能量為但是在電感與電源之間存在著能量的交換。其儲存的能量為 4 0 2m224 0 21d2sindTLLLLTLLLILIttIXtpW 電感的無功功率電感的無功功率QL，表示磁場能與電能相互轉(zhuǎn)換的最大，表示磁場能與電能相互轉(zhuǎn)換的最大 速率，單位是乏（速率，單位是乏（var）。）。 LLLLLLLXUIXIUQ22跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流

20、電路 【例【例3-7】 設(shè)有一電感線圈，其電感設(shè)有一電感線圈，其電感L=0.5H，接于接于f=50Hz，U=50V，初相角初相角 的正弦電源上，試求：（的正弦電源上，試求：（1）線）線圈感抗圈感抗XL；（2）電路中的電流電路中的電流i；（；（3）畫出電壓、電流的畫出電壓、電流的相量圖；（相量圖；（3）線圈的無功功率）線圈的無功功率QL。 0u解：（解：（1） 1575 . 05014. 322fLXL（2）由已知得）由已知得 Vej 050U所以所以AeAjejjj90032. 015750LXUIA)90314sin(232. 0ti（3）電感元件中的電壓、電流相量圖如圖）電感元件中的電壓、

21、電流相量圖如圖3-163-16所示。所示。 （4）無功功率）無功功率Var16UIQL圖圖3-16 例例3-7相量圖相量圖跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 通過電容的電流通過電容的電流iC與與它的端電壓它的端電壓uC是同頻率的是同頻率的正弦量，且電流超前電壓正弦量，且電流超前電壓90，波形圖如圖，波形圖如圖3-17b所所示。示。電容元件的伏安關(guān)系電容元件的伏安關(guān)系tuCiCCdd設(shè)電壓為參考正弦量，即設(shè)電壓為參考正弦量，即tUuCCsin2則則 tCUtuCiCCCcos2dd)90sin(2tCUC)90sin(2tIC圖圖3-17 電容電路電容電路跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正

22、弦交流電路正弦交流電路 CCCCCXUCUCUI1式中式中X XC C具有電阻的量綱，單位是具有電阻的量綱，單位是，把它稱為電容的電抗，簡稱容抗。把它稱為電容的電抗，簡稱容抗。當當f=0時，時， XC=，此時電路此時電路可視可視用相量來分析，設(shè)電容上的電壓為參考相量，即用相量來分析，設(shè)電容上的電壓為參考相量，即 0CCUU則通過電容的電流則通過電容的電流iC相量為相量為 CCCXUCUUCIj1jj它既表達了電壓與電流有它既表達了電壓與電流有效值之間的關(guān)系效值之間的關(guān)系UC=XCIC，又表達了電流在相位上超又表達了電流在相位上超前于電壓前于電壓90，其相量圖，其相量圖如圖如圖3-183-18b

23、所示。所示。 為開路，也就是說電容不允許直流通過，起為開路，也就是說電容不允許直流通過，起“隔直隔直”作用。作用。 圖圖3-18 電容元件的相量形式電容元件的相量形式跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 電容電路中的瞬時功率為電容電路中的瞬時功率為 )90sin(sin2ttIUiupCCCCCtIUCC2sintIXCC2sin2與電感電路中的情況相似，瞬時功率與電感電路中的情況相似，瞬時功率pC也以兩倍于電壓的頻率也以兩倍于電壓的頻率交變著，其平均功率（有功功率）為交變著，其平均功率（有功功率）為 T TCCCCttIXTtpTP 0 0 20d2sin1d1電容元件的平均功率

24、為電容元件的平均功率為0，說明電容元件是不消耗電能的，但，說明電容元件是不消耗電能的，但是在電容與電源之間存在著能量的交換。儲存的能量為是在電容與電源之間存在著能量的交換。儲存的能量為 4 0 2m22 0 21d2sindTCLCC4TCCCULIttIXtpW電容與電源功率交換的最大值，稱為無功功率，用電容與電源功率交換的最大值，稱為無功功率，用QC表示，表示，即即 CCCCCCCXUIXIUQ22跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 解：（解：（1） K201CXC（2 2）已知）已知 mA9010I所以所以 Vj0200.IXUC)100sin(2200tu （3）電壓、電

25、流的相量圖如圖）電壓、電流的相量圖如圖3-203-20所示。所示。 【例【例3-8】設(shè)有一電容器】設(shè)有一電容器 F5 . 0C，流過它的電流，流過它的電流有效有效 90irad/s100，抗；抗； （2）電容器兩端的電壓）電容器兩端的電壓u；，試，試求：求：值值I=10mA，初相位角初相位角 （1）該電容的容）該電容的容（3）畫出電壓、電流的相量圖。畫出電壓、電流的相量圖。 圖圖3-20 例例3-8相量圖相量圖跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 設(shè)電流為設(shè)電流為 0II根據(jù)基爾霍夫電壓定律，有根據(jù)基爾霍夫電壓定律，有 CLRUUUUIXIXIRCLjjIXXRCL)( jIXR)

26、j(IZ但是要注意：復(fù)阻抗雖然是復(fù)數(shù)，但它不與但是要注意：復(fù)阻抗雖然是復(fù)數(shù)，但它不與 式中，式中， ，稱為電抗；，稱為電抗；CLXXXXRZj稱為復(fù)阻抗，稱為復(fù)阻抗，簡稱阻抗。簡稱阻抗。正弦量相對應(yīng)，故不是相量。正弦量相對應(yīng)，故不是相量。 跳轉(zhuǎn)到第一頁第第3章章 正弦交流電路正弦交流電路 復(fù)阻抗可通過阻抗三角形來表示復(fù)阻抗可通過阻抗三角形來表示 。圖中圖中 ,| ZZ22)(|CLXXRZRXXRXCLarctanarctan其中其中|Z|稱為復(fù)阻抗的模，稱為復(fù)阻抗的模，稱為復(fù)阻抗的輻角，簡稱為阻稱為復(fù)阻抗的輻角，簡稱為阻抗角。抗角。 IZIZU|此式為正弦交流電路歐姆定律的相量形式。它既表達了電路此式為正弦交流電路歐姆定律的相量形式。它既表達了電路中電壓與電流有效值之間的關(guān)系為中電壓與電流有效值之間的關(guān)系為U=|Z|I，又表達了