專題提升5與垂徑定理有關(guān)的輔助線

1、專題現(xiàn)升5 號善捶定理開央的輔助線1.如圖所示為一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，若水面AB寬為8 cm,輸 水管底部到水面的距離為2 cm,則該輸水管的半徑為(C)(第1題)A. 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm【解】連結(jié)OA,過點。作OC_LAB交AB于點D設(shè)該輸水管的半徑為r(cm).丁AB 寬為 8 cm, AAD =4 cm=DC = 2 cm, AOD = (r-2)cm r2 = (r - 2)2 + 43*.r = 5(cm).2 .如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m,橋拱半徑OC為5m,則水面寬AB為)A. 4mB. 5 m【解】連結(jié)0A;C

2、D = 8, 0C = 5, A0D = 3.由已知，ft CDAB,則 AD? = 5132,解得AD = 4 AB = 8.3 .已知。O的直徑CD = 10 cm, AB是。O的弦，AB_LCD,垂足為M,且AB=8cm,則 AC的長為(C)A. 2y5 cm B. 4小 cmC. 25 cm 或 4小 cm D. 2yj3 cm 或 44 cm【解】 連結(jié)AO當(dāng)點C的位五如解圖所示時，易得AC =+ CM?=小? +宣=4小 (cm);當(dāng)點C的位置如解圖所示時，易得AC = y/22 + 4,= 2小(cm). -一飛飛 (第3題解)4.如圖，。的直徑為10 cm,弦AB為8 cm,

3、P是弦AB上一點.若OP的長是整數(shù)，則 滿足條件的點P有)（第4題）A. 2個B. 3個C. 4個D. 5個【解】過點0作OC_LAB于點C,連結(jié)0A*.* 0A = 5 AC=AB = 4, 0C = 33WOPW5,.OP 的長為 3 或 4 或 5.當(dāng)0P = 3時，點P只能與點C重合；當(dāng)0P =4時，點P可以在AC上，也可以在BC上，有2個點P；當(dāng)0P = 5時，點P與點A或點B重合.綜上所述，滿足條件的點P有5個.5 .如圖，在以點。為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C, D, AB=2CD,弦AB 的弦心距OP=gcD,小圓和大圓的半徑分別為r, R,則（=華.（第5題）【解

4、】連結(jié)OC, OA,/AB = 2CD, OP=|cD. OP1AB,1AOP = CP=AP 1VR2 = OP2 + AP2 = 50P2,戶=op2 + cp2 = ?op2,，R = pOP, r=/OP, ,-g= 56 .如圖，。的半徑OP = 10cm,弦AB過OP的中點Q,且NOQB=45 ,則弦AB的弦 心距為坐cm弦AB的長為54cm（第6題）【解】過點。作OC_LAB于點C,連結(jié)0A的半徑OP = 10cm,弦AB過OP的中點Q,t0Q = 5 cmVZOCQ = 90 , ZOQB = 45 , OCQ為等腰直用三用形，AOCcmcm,在RtAAOC中，根據(jù)勾股定理，得

5、AC =4OA?- OC?=絆 .AB = 2AC = 5V14 cm.7.已知。的半徑為2,弦BC = 2小，A是。上一點，且晶=R,直線A0與BC交于 點D,則AD的長為【解】:。0的半徑為2,弦BC = 24,A是。上一點，且AB = AC, AD1BC,ABD = BC=V5分兩種情況討論：如解圖所示，連結(jié)0B 在 Rt OBD 中，BD2 + 0D3 = 0B2, 即（下）2 +?？? =3，解得。d=1 AAD = 0A-0D = 2- 1 = 1.如解圖所示，連結(jié)OB同理于, 8.如圖，在 RtZkAOB 中,ZO=90 交AB于點C,求BC的長.（第7題解）得 AD = OA+

6、OD = 2+ 1 = 3.，OA=6, OB=8以點。為圓心，OA長為半徑作圓【解】過點。作AB的垂線，垂足為E,連結(jié)0CVAB = /0A2 + 0B2 = -76J + 8：!= 10,0e=F0A OB 6X86=48,（第8題）AAE=-/AO2-OE2=-/62-4.82=3.6AAC = 2AE=7.2,ABC=AB-AC = 10-7.2=2.8.（第9題）9 .如圖，AB為。的直徑，弦CDAB,弦DELAB求證：AC=BE【解】 過圓心0作OGLCD交。于點G,交CD于點HOGJLCD, /.CG = DG.又CDAB, A0G1AB= /.AC = BDV DEI AB,且

7、AB是00的直徑,10 .如圖，半徑為5的。P與y軸交于點M(0, 4), N(0, 10),函數(shù)y=1(x0)的圖象過 點P，求k的值.(第10題) 【解】 過點P作PAMN于點A,連結(jié)PM, PN.點 M(0, -4), N(0, -10), AW =6 PAIMN,= 3. OA=|-4| + 3=7.在 RtAMPA 中，PA = /PM2-MA2 = yj52 - 32 = 4, 二點 P(-4, -7).將點P(-4, - 7)的坐標(biāo)代入y =，得1在 RtAABD 中，AD = OA+OD = 6 + 2 = 8(cm), BD = 4pcm,AB = / + BD? = a/?

8、+(4V2P = 4 觀(cm).(第11題解)當(dāng)aABC是鈍角三角形時，如解圖所示，連結(jié)OB、OA，OA與BC交于點D,易知OA_LBC 在RSOBD中，; OB = 6 cm, OD = 2 cm, BD = yjOB2 - OD- =- 2- = 4 *(cm).在 RtAABD 中，; AD = OA - OD = 6 - 2 = 4(cm), BD = 4小 cm./.AB = y/BD? + AD- = yj ( 45/2 ) 2 + 43 = 4 小(cm).綜上所述，AB的長為44cm或4小cm12.如圖所示為一座橋，橋拱是弧形(水面上的部分)，測量時，只測得橋拱卜水面寬AB為

9、 16m,橋拱最高處C離水面4nl(1)求橋拱所在圓的半徑.(2)若大雨過后，橋下水面寬為12m,問：水面上漲了多少？B (第12題)【解】(1)如解困，設(shè)點0為AB的圓心，連結(jié)OA, OC, 0C交AB于點D根據(jù)題意，可得C是屆的中點，0C1AB, AD = 7AB = X 16 = 8(m).設(shè)00的半徑為x(m),則在RtAOAD中, OA2 = AD2 + OD2,即/二 + 也一與?， 解得x= 10橋拱所在圓的半徑為10m(第12題解)(2)設(shè)河水上漲到EF的位宜.，如解圖，這時EF = 12m, EF II AB,則OC_LEF(垂足為M),EM = ：EF = 6 m連結(jié)。E,

10、則有。E= 10m OM = a/0E2 - EM2 =02 - 62 = 8(m).VOD = OC - CD = 10 - 4 = 6(m), /.DM=OM-OD = 8-6 = 2(m), 即水面上漲了 2m 13.工人師傅為檢測該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計了一個尺寸（單位：cm） 如圖所示的工件槽，其中工件槽的兩個底角均為90將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時，若 同時具有如圖所示的A, B, E二個接觸點，則該球的大小就符合要求.如圖是過球心 。及A, B, E三點的截面示意圖，已知。的直徑就是鐵球的直徑，AB是。O的弦，CD 與。交于點E, ACCD, BD_LCD請你結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，計算這種符合要求的鐵球的 直徑.（第13題解）【解】 由題圖可