第八節(jié)直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)ppt課件

1、第八節(jié)第八節(jié) 直角坐標(biāo)系下二重積分的直角坐標(biāo)系下二重積分的 計(jì)算計(jì)算一、矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算一、矩形區(qū)域上二重積分的計(jì)算 badcbadcDf(x,y)dxdyf(x,y)dydxf(x,y)dxdyc,da,bDf(x,y)上上連連續(xù)續(xù)，則則在在若若即：矩形區(qū)域上的二重積分可以化為任何一種次序的累次積分此時(shí)，選擇哪種次序就看被積函數(shù)積分要簡(jiǎn)單） 0 0, ,1 1 0 0, ,1 1 其其中中D D例例1 1. .求求 ,dxdyxyxD1二、一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算二、一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算1.x-1.x-型區(qū)域與型區(qū)域與y-y-型區(qū)域型區(qū)域如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa

2、 ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,baX型型 區(qū)域區(qū)域)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy X X型區(qū)域的特點(diǎn)：型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域垂直于穿過區(qū)域垂直于x x軸軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). .如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc (y).x(y)21 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).(y)1(y)2,dcY型型 區(qū)域區(qū)域(y)x2 (y)x1 Dcdcd(y)x2 (y)x1 D Y Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且垂直于型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且垂

3、直于y y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn). .2.一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)閄-型區(qū)域型區(qū)域連續(xù)，則在、連續(xù)，其中上型區(qū)域在若,)()()()(,),(2121baxxxyxbxaxyxf.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 為為曲曲頂頂柱柱體體的的體體積積為為底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 分析：分析：應(yīng)用計(jì)算應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積的平行截面面積為已知的立體求體積的方法方法:xoabxdxx .)( badxxAVRR xyo x 已知平行截面面積已知

4、平行截面面積的立體的體積的立體的體積a0 xbzyx)A(x),( yxfz)(1xy)(2xy baDA(x)dxf(x,y)d先先y后后x的累次積分的累次積分.dydxf(x,y)ba(x)(x) 12 dy.yf(xdxba(x)(x)21 5） 假設(shè) (x,y)0 仍然適用。1上式說明: 二重積分可化為二次定積分計(jì)算;2積分次序: X-型域 先Y后X;3 3積分限確定法積分限確定法: : 域中一線插域中一線插, , 內(nèi)限定上下，內(nèi)限定上下， 域邊兩線夾，外限依靠它。域邊兩線夾，外限依靠它。4為方便，上式也常記為：注意注意: :積分區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域?yàn)閅-型區(qū)域型區(qū)域d d 連連續(xù)續(xù)，則則在

5、在 c c, ,連連續(xù)續(xù)，其其中中上上型型區(qū)區(qū)域域在在若若(y)(y)、(y)x(y)d,ycyf(x,y)2121 dc(y)(y)Ddc(y)(y)f(x,y)dx.dyyf(x,y)dxdf(x,y)d 2121 先先x后后y的累次積分的累次積分積分區(qū)域既非積分區(qū)域既非X -X -型也非型也非Y-Y-型型若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖， 則必須分割則必須分割.在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD3D2D1D積分區(qū)域既為積分區(qū)域既為X -X -型又為型又為Y-Y-型型 ba(x)(x)dyf(x,y)dxdyxf12D),( dc(y)(y)f

6、(x,y)dx.dy21 yxoabyxoabyxoabDDD axabyyxfxId),(d. abxabyyxfxId),(d aaxbyyxfxI)(d),(d1 byax.( (練習(xí)練習(xí))1.)1.將二重積分化成二次積分將二重積分化成二次積分. Dyxy,xfId)d(xaby yxoabDyxoabDyxoabD baybaxyxfyId),(d bybaxyxfyId),(d bbyaxyxfyI)(d),(d.1 byax. Dyxy,xfId)d(ybax 0 0y y x x111（1 1先對(duì)先對(duì) y y 積分積分xxyyxfI11d),( . .y =1xy =1xy =

7、x1y = x1 xd. . Dyxy,xfId)d(所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域0, 1, 1: xyxyxD111. .（2 2先對(duì)先對(duì) x x 積分積分 21DDI1010d),(dxyxfyy xyxfyyd),(d. .x =1 yx =1 yx = y +1x = y +1（不分塊行嗎？）（不分塊行嗎？）xoy1D2D注注）二重積分化累次積分的步驟）二重積分化累次積分的步驟畫域，選序，定限）累次積分中積分的上限不小于下限）二重積分化累次積分定限是關(guān)鍵，積分限要根據(jù)積分區(qū)域的形狀來確定，這首先要畫好區(qū)域的草圖，畫好圍成D的幾條邊界線， 例例1 計(jì)算計(jì)算 ，其中，其中D是由直線是由直線y=

8、1,x=2,及及y=x所圍區(qū)域。所圍區(qū)域。Dxyd解法解法 1 把把D看成看成X型域，那么型域，那么21123221114221()2229848xDxxydxydy dxyxxxdxdxxx DxyOyx1y x12:1,12,Dyxx解法解法 2 把把D看成看成Y型域，那么型域，那么221222132142212(2)2988yyxydx dyxydyyydyyy DxydDOyx12y2x xy解：解：兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1(,)0 ,0(22 yxxy2xy 2yx 2xy 2yx X型型 xyxx210 Ddxdyyx)(2dxdyyxxx)( 1022dxxxxxx

9、)(21)(42102 .14033 2xy 2yx Y型型 yxyy210 Ddxdyyx)(2dydxyxyy 1022 )(.14033 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域。及及是是由由拋拋物物線線其其中中計(jì)計(jì)算算2,2 xyxyDxydD 例例2解：解： （如圖將（如圖將D作作Y型型 2212yyDxydxdyxyd dyyyydyyxyy 21522212)2(21228556234421216234 yyyy 2 , 4-122yx 2 yx 1, 1 xy把把D看作看作X型域型域 由于在0，1和1，4上下邊界的表達(dá)式不同，所以要用直線x=1將D分成兩個(gè)區(qū)域 和 2D1D2:2,Dxyx

10、14x01x1:,DxyxyOx12DDx1(1, 1)(4,2)yx yx42yxx14012xxxxxydy dxxydy dx Dxyd12DDxydxyd它們分別用以下不等式表示：它們分別用以下不等式表示： 由以上例子可見，為了使二重積分的計(jì)算較為方便，由以上例子可見，為了使二重積分的計(jì)算較為方便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點(diǎn)來確定，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點(diǎn)來確定，看被積函數(shù)對(duì)哪一個(gè)變量較容易積分?？幢环e函數(shù)對(duì)哪一個(gè)變量較容易積分。 上例表明，若先上例表明，若先 y 后后 x 由于由于D的下邊界曲線在的下邊界曲線在 x 的不同范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式，的不同

11、范圍內(nèi)有不同的表達(dá)式， 須分片積分，計(jì)算須分片積分，計(jì)算較麻煩。較麻煩。例例3 3解：解：圍圍成成由由其其中中計(jì)計(jì)算算2,1,.22 xxyxyDdyxD X-型型 xxDdyyxdxdyx1222122 2112dxyxxx 213)(dxxx.49 . 21,1: xxyxD），左左邊邊交交點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為（11Dxy1 xy 例例4 4解：解：. 10, 11:.2 yxDdxyD其其中中計(jì)計(jì)算算 先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖 dxydyxdxyDDDD 321)()(222 1211021122)()(xxdyxydxdyyxdx.1511 1D2D3D2xy Yxy先

12、 后 積分，解型:0,01Dxyy22221100001120011122yyyyyyIdye dxex dyye dye dye11yx0D2,:,1,0yDIe dD yx yx例例5 求求 所圍成。所圍成。2110yxIdxe dyyx分析分析 若先若先 后后 積分，那么積分，那么 無法積分。無法積分。xy dyey2無無法法用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示解解 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e xy 例例6 交換二次積分的順序交換二次積分的順序 1110001,;2,xyyd

13、xfx y dydyfx y dx分析分析 要將按要將按X X或或Y Y型域確定積分限改為按型域確定積分限改為按Y Y或或X X型域確定積分限。為此，應(yīng)根據(jù)定限的方型域確定積分限。為此，應(yīng)根據(jù)定限的方法先將題中所給的積分限還原成平面區(qū)域法先將題中所給的積分限還原成平面區(qū)域D D，然后，然后再按再按Y Y （或（或X X型域重新確立積分限，得到二次積型域重新確立積分限，得到二次積分。分。三、交換二次積分的次序三、交換二次積分的次序例例6 交換二次積分的順序交換二次積分的順序 1110001,;2,xyydxfx y dydyfx y dx故D是由 所圍成的， 于是0,1,0,1xxyyx Y:0

14、1,01,Dxyy 型11110000,xydxf x y dydyf x y dxx110y1xy 1:01,01,Dyxx 由二次積分限，有X型解解2:,01,D xyxx21100,yxyxdyfx y dxdxfx y dyx11,10y2yxyx0,1,yyxy xy故D是由 所圍成的， 于是:,01,D yxyyY型 102,yydyf x y dx由的積分限，有例例7 交換二次積分的順序交換二次積分的順序1220010( , )( , )xxdxf x y dydxf x y dy1220010120( , )( , )( , )xxyydxf x y dydxf x y dyd

15、yf x y dx解解 將所給積分限還原成將所給積分限還原成D的圖形，由的圖形，由12DDD知知D是由是由y=x，y=2x，y=0三條直線所圍成，三條直線所圍成，:2,01D yxyy于是按于是按Y型域定限型域定限1:0,01Dyxx ，2:02,12Dyxx其中其中2012DD11xyxy xy 2xy 222xxy 原式原式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a證證 由等式

16、左邊，得由等式左邊，得:0,0Dxyyc改變積分順序，得:,0D xycxc左邊 右邊00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，左邊 右邊00( )() ( )cccxdxf x dycx f x dx所以，000( )() ( )cycdyf x dxcx f x dx 0,7fxc 設(shè)在上連例續(xù)，證明例10*解解原原式式 xxxydyedxI22112xy xy 121)(dxeexx.2183ee 1.化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的重要性，化二重積分為累次積分時(shí)選擇積分次序的重要性，有些題目?jī)煞N積分次序在計(jì)算上難易程度差別不大，有些有些題目?jī)煞N積分次序在

17、計(jì)算上難易程度差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大例題目在計(jì)算上差別很大例2），甚至有些題目對(duì)一種次），甚至有些題目對(duì)一種次序能積出來，而對(duì)另一種次序卻積不出來例序能積出來，而對(duì)另一種次序卻積不出來例5）；）；以上各例說明以上各例說明2.把一個(gè)區(qū)域是看作X型區(qū)域還是Y型區(qū)域：(1) 首先注意被積函數(shù)的特點(diǎn), 一定要避開無法計(jì)算的積分出現(xiàn), 如babaxdxedxxx2 ,sin等, 或者說盡可能使積分易“積出來 (2) 在被積函數(shù)沒有特殊要求時(shí)，要盡量避免某側(cè)邊界是分段函數(shù)，即盡可能避免某側(cè)邊界是n條曲線相銜接而成的分段光滑曲線，實(shí)在避免不開的，應(yīng)采用例2所給的“切塊法” (3) 求積分區(qū)域在坐

18、標(biāo)軸上的投影，一般往往通過解相鄰兩邊的方程所組成的方程組求區(qū)域的頂點(diǎn)來確定練習(xí)練習(xí) 計(jì)算計(jì)算 DxyxyyxxDdxdyye1, 2, 2, 1:,解解D是是X型區(qū)域型區(qū)域 2121xxydyyedxI要分部積分，不易計(jì)算要分部積分，不易計(jì)算若先若先 x 后后 y 則須分片則須分片 21211021dxyedydxyedyIxyyxy易見盡管須分片積分，但易見盡管須分片積分，但由于被積函數(shù)的特點(diǎn)，積由于被積函數(shù)的特點(diǎn)，積分相對(duì)而言也較方便。分相對(duì)而言也較方便。Dyox考慮考慮設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，并并設(shè)設(shè)Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx. 1)(

19、xdyyf不不能能直直接接積積出出,改改變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,則則原原式式 ydxyfxfdy010)()( ,)()(010 xdyyfdxxf)()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 思考題解答：思考題解答：四、四、 利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化重幾分的計(jì)算利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化重幾分的計(jì)算 利用對(duì)稱性來簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，利用對(duì)稱性來簡(jiǎn)化重積分的計(jì)算是十分有效的，它與利用奇偶性來簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不它與利用奇偶性來簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算是一樣的，不過重積分的情況比較復(fù)雜，在運(yùn)用對(duì)稱性時(shí)要兼顧過重積分的情況比較復(fù)雜，

20、在運(yùn)用對(duì)稱性時(shí)要兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個(gè)方面，不可誤用對(duì)對(duì) DdxdyyxfI),(1.若若D關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱軸對(duì)稱,),(),() 1 (時(shí)時(shí)yxfyxf 0 I,),(),()2(時(shí)時(shí)yxfyxf 2),(2DdxdyyxfI 0,),(2 yDyxDzxyoozxy2.若若D關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()1(yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(yxfyxf 32Df(x,y)dxdyI . 9510,),(),(3例例，PxDyxyxD 1),(4DdxdyyxfI .1052,0, 0,),(1例例如如PyxDyxD

21、 3.當(dāng)積分區(qū)域當(dāng)積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸均對(duì)稱，軸均對(duì)稱， 時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng)),(),(),(),() 1(yxfyxfyxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),(),()2(yxfyxfyxf 4.*若若D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()1(yxfyxf 0 I時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)),(),()2(yxfyxf 3),(2DdxdyyxfI .0,),(3 yDyxD DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(稱為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱性稱為關(guān)于積分變量的輪換對(duì)稱性是多元積分所獨(dú)有的性質(zhì)是多元積分所獨(dú)有的性質(zhì) 奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于奇函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于0，偶函數(shù)關(guān)，偶函數(shù)關(guān)于對(duì)稱域的積分等于對(duì)稱的部分區(qū)域上積分的兩于對(duì)稱域的積分等于對(duì)稱的部分區(qū)域上積分的兩倍，完全類似于倍，完全類似于 對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的對(duì)稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的定積分的性質(zhì)性質(zhì)簡(jiǎn)述為簡(jiǎn)述為“你對(duì)稱，我奇偶你對(duì)稱，我奇偶”1、2、3、4簡(jiǎn)單地說就是簡(jiǎn)單地說就