拋物線焦點(diǎn)弦的一組性質(zhì)與高考題

1、拋物線焦點(diǎn)弦的一組性質(zhì)與高考題過拋物線焦點(diǎn)的直線被拋物線所截得的線段叫拋物線的焦點(diǎn)弦.與此相關(guān)的問題在普通高中教科書（實(shí)驗(yàn)修訂本·必修）第二冊（上）（以下簡稱教科書）中較為頻繁，高考中也經(jīng)?？疾?，經(jīng)歸納總結(jié)得：性質(zhì)XY 過拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A（x1，y1）、 B（x2，y2）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線AA1垂直于準(zhǔn)線L于點(diǎn)A1，過點(diǎn)B作直線BB1垂直于準(zhǔn)線L于點(diǎn)B1，則1. x1·x2=；2. y1·y2= - p2；（教科書P119習(xí)題8.5第7題）3. kOA·kOB= - 4；4. 焦點(diǎn)弦：|AB|=x1+x2

2、+p；（教科書P118例3）5. 最短焦點(diǎn)弦：特別地，當(dāng)AB垂直于x軸時，|AB|=2p，即為通徑；（教科書P121）6. ；7. 以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線L相切于線段A1B1的中點(diǎn)M，即AMB=90°；8. 以線段A1B1為直徑的圓與直線AB相切于焦點(diǎn)F，即 A1FB1=90°； （教科書P133復(fù)習(xí)參考題八（B組）第2題）9. 設(shè)直線OA交準(zhǔn)線L于點(diǎn)C，則BCx軸；（教科書P123習(xí)題8.6第6題）10. 設(shè)直線AB的傾斜角為，則SAOB = ；11. 當(dāng)AB垂直于x軸時，過拋物線上任一點(diǎn)P作PQ垂直于x軸于點(diǎn)Q，則 |PQ|2=|OQ|·|AB|； （教科書

3、P133復(fù)習(xí)參考題八（A組）第15題）與上述性質(zhì)類似或相關(guān)的高考題1. （1995年全國高考試題）直線L過拋物線y2=a（x+1）（a0）的焦點(diǎn)，并且與x軸垂直，若L被拋物線截得的線段長為4，則a=；略解：由性質(zhì)4知 a=4.2. （2000年全國高考試題）過拋物線y=ax2（a0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）A2a B. C. 4a D. 略解：由性質(zhì)5知，選（C）.3. （2001年全國高考試題）設(shè)拋物線y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸. 證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.注:

4、本題是性質(zhì)8的逆命題.解題思路：本題的解法很多，采用坐標(biāo)方法進(jìn)行代數(shù)推理，可以證明直線OA與直線OC的斜率相等，證明|AO|+|OC|=|AC|，證明直線OC與直線BF的交點(diǎn)A在拋物線上，證明直線AC的方程形如y=（p）x，等等.每種證明又有不同的表述形式，甚至可以用極坐標(biāo)法或參數(shù)方程法,采用平面幾何方法進(jìn)行推理,主要是運(yùn)用拋物線的幾何性質(zhì),可以有同一法、對頂角法、面積法等等.選用什么樣的解題途徑,體現(xiàn)出考生的知識基礎(chǔ)、思維水平和表現(xiàn)技巧.證法1 如上圖所示, 因?yàn)閽佄锞€y2=2px（p0）的焦點(diǎn)為F（，0），所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程可設(shè)為 x=my+，代入拋物線方程得 y2-2pmy-p

5、2=0，若記A（x1，y1）、B（x2，y2），則y1，y2是該方程的兩個根，所以 y1y2=-p2 . 因?yàn)锽Cx軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，y2 ），故直線CO的斜率為 .即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.證法2 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）,因?yàn)锽Cx軸，所以C（-，y2 ）.因?yàn)锳、B在拋物線上，所以 y12=2px1 ,y22=2px2 .又因?yàn)橹本€AB過焦點(diǎn)F，所以 kAF=kBF , 即 , 所以 即 y1y2（y2-y1）=p2（y1-y2） .因?yàn)閥1y2，所以 y1y2=-p2 .因?yàn)?kOC= 所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.證法3 同證

6、法1 得 y1y2=-p2.因?yàn)锳（，y1），C（-，y2），即C（-，），所以直線AC方程為 , 化簡得 y=.顯然，原點(diǎn)O(0,0)適合此方程，所以原點(diǎn)O在直線AC上.4. （1987年廣東省高考題）直線L過拋物線y2=2px（p0） 的焦點(diǎn)，且與這拋物線相交于A（x1，y1）和B（x2，y2）兩點(diǎn)， 求證：4x1x2=p2； 求證：對于這拋物線的任何給定的一條弦CD，直線L不是CD的垂直平分線. 證明：拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F （，0），若過點(diǎn)F的直線Lx軸，則直線L的方程為x=， x1=x2=，4x1x2=p2.若過點(diǎn)F的直線不垂直于x軸，則可設(shè)L的方程為y=k（x-），代入拋物線

7、方程y2=2px得 x2-p（1+）x+ =0 , 由韋達(dá)定理得 x1x2= , 即4xx=p2. 證法（一） 分兩種情況討論：（）當(dāng)直線Lx軸時，由于C和D在拋物線y2=2px上，所以直線CD與x軸既不平行也不重合，從而CD的垂直平分線不垂直于x軸，所以L不是CD的垂直平分線.（）當(dāng)直線L不垂直于x軸時，L的方程為y=k（x-）（k0）,如果L與CD不垂直，則L不是CD的垂直平分線.如果直線LCD，依題意可知C（，c）、D（ ，d），且有cd，這時有k= , 因?yàn)閗0，所以c+d0 . 又線段CD的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）,由于這是因?yàn)閏+d0, , 所以CD的中點(diǎn)不在直線L上，從而直線L不是CD的垂直平分線.證法（二） 反證法設(shè)C、D的坐標(biāo)分別為（x3，y3），（x4，y4），則有y3y4，若L是CD的垂直平分線，則L與CD的方程分別為 ， CD的中點(diǎn)為Q , y3+y4=k（x3+x4-p）,由于C（x3，y3），D（x4，y4）的坐標(biāo)是方程組 y2=2px 的解，則方程y2+2pky-2pq=0的判別式大于0，即 =4p2k2+8pq0 又由于y3+y4=-2pk ,從而x3+x4=（-ky3+q）+（-ky4+q）=2q