高等數(shù)學(xué)D85隱函數(shù)求導(dǎo)ppt課件

1、 第八章 第五節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、一個方程所確定的隱函數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 本節(jié)討論 :1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程02Cyx當(dāng) C 0 時, 不能確定隱函數(shù);2) 在方程能確定隱函數(shù)時, 研究其連續(xù)性、可微性 及求導(dǎo)方法問題 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1. 1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF則方程00),(xyxF在

2、點單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) , )(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足0),(00yxFy滿足條件機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 導(dǎo)數(shù)0)(,(xfxF兩邊對 x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)那么機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFF)(y

3、xFFy)(2yxyxyyyyxFFFFFFF二階導(dǎo)數(shù) :)(yxFFxxyxxydd則還有機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 驗證方程驗證方程01sinyxeyx在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù), )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令令, 1sin),(yxeyyxFx,0)0 , 0(F, yeFxx連續(xù) ,由 定理1 可知,1)0 , 0(yF0, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 那么xyFy cos在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 并求0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyex0, 0yx機動 目錄 上頁

4、下頁 返回 完畢 0dd22xxy)cos(ddxyyexx2)cos( xy 3100yyx)(yex)(cosxy )(yex) 1sin(yy1, 0, 0yyx0 xy30dd22xxy)(, 01sinxyyyxeyxyycos兩邊對 x 求導(dǎo)1兩邊再對 x 求導(dǎo)yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此時1,0yy0 yxyyexxey0 yx)0 , 0(cosxyyex導(dǎo)數(shù)的另一求法導(dǎo)數(shù)的另一求法 利用隱函數(shù)求導(dǎo)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理2 . 若函數(shù) ),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,則方程0

5、),(zyxF在點),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足0),(000zyxF0),(000zyxFz 在點滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)yxFyxfz那么zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例2. 設(shè)設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 2

6、2zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 再對 x 求導(dǎo)解法解法2 利用公式利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222那么,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zxFFxz xz例例3. 設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式利用偏導(dǎo)數(shù)公式.是由方程設(shè)),(yxfz 0),(zyzxF yz212FyFxFz211FyFxF

7、zyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 確定的隱函數(shù),)dd(2121yFxFFyFxz那么)()(2221zyzxFF 已知方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 故對方程兩邊求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 2 微分法微分法. .0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)二、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.0),(0),(vu

8、yxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(稱為F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 , 即雅可比 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在點的單值連續(xù)函數(shù)),(, ),(yxvvyxuu且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuy

9、xG導(dǎo)數(shù)；, ),(000yxuu 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(000yxvv ),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：vvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1(P34-P35)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xxGFyyGFxxGFyyGF0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGyxvyxuyxF,的線性方程組這是關(guān)于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隱函數(shù)組那么兩邊對 x 求導(dǎo)得

10、,),(),(yxvvyxuu設(shè)方程組,0vuvuGGFFJ在點P 的某鄰域內(nèi)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0公式 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 故得系數(shù)行列式同樣可得),(),(1vyGFJyu機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv例例4. 設(shè)設(shè), 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程組兩邊對 x 求導(dǎo)，并移項得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx練習(xí)練習(xí): 求求yvyu,uxvyxux022yx22yxvy

11、uxyv機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 答案答案:由題設(shè)故有例例5.5.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx1) 證明函數(shù)組),(),(vuyyvuxx( x, y) 的某一鄰域內(nèi). ),(, ),(yxvvyxuu2) 求),(, ),(yxvvyxuu解解: 1) 令令0),(),(vuxxvuyxF0),(),(vuyyvuyxG對 x , y 的偏導(dǎo)數(shù).在與點 (u, v) 對應(yīng)的點鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且 唯一確定一組單值、連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(),(),(),(yxvyxuyyy

12、xvyxuxx式兩邊對 x 求導(dǎo), 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 則有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理 3 可知結(jié)論 1) 成立.2) 求反函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù). , 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 從方程組解得同理, 式兩邊對 y 求導(dǎo), 可得,1vxJyuuxJyv1xuxv例例5

13、的應(yīng)用的應(yīng)用: 計算極坐標(biāo)變換計算極坐標(biāo)變換sin,cosryrx的反變換的導(dǎo)數(shù) .),(),(ryxJxrx同樣有22yxyyr22yxxy所以由于vyJ 1uyJ 1cos1rrsin1rcossinsincosrrryJ1cos22yxxryJ 122yxyrr機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè), ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 zx 提示提示:),(zy

14、xzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不變性同時求出各偏導(dǎo)數(shù).,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd121yfzxfd21作業(yè)作業(yè) P37 3 , 6， 7 , 9 , 10(1); (3)，11.zx第六節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由d y, d z 的系數(shù)即可得)()(xzzxy

15、y及,2 yxeyx備用題備用題.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)設(shè)解解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2019考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解得因而 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 設(shè)設(shè))(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求.ddxz解法解法1 分別在各方程兩端對分別在各方程兩端對 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 解法解法2 微分法微分法.0),(),(zyxFyxfxz對各方程兩邊分別求微分:化簡得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 可得222111cybxac