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文檔簡介
1、材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力5-1 純彎曲純彎曲5-2 純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力5-3 橫力彎曲時的正應力橫力彎曲時的正應力5-4 彎曲切應力彎曲切應力5-5 關于彎曲理論的基本假設關于彎曲理論的基本假設5-6 提高彎曲強度的措施提高彎曲強度的措施材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力5-1 純彎曲純彎曲 CD段剪力為零,彎矩為常段剪力為零,彎矩為常量,該段梁的變形稱為純量,該段梁的變形稱為純彎曲。彎曲。AC、BD段梁的內(nèi)力既有彎段梁的內(nèi)力既有彎矩又有剪力,該段梁的變矩又有剪力,該段梁的變形稱為橫力彎曲。形稱為橫力彎曲。材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲
2、應力彎曲應力梁的純彎曲實驗梁的純彎曲實驗實驗現(xiàn)象:橫向線實驗現(xiàn)象:橫向線( (a b)變形后仍為直線,但有轉(zhuǎn)動;縱向線)變形后仍為直線,但有轉(zhuǎn)動;縱向線變?yōu)榍€,且上縮下伸;橫向線與縱向線變形后仍正交。變?yōu)榍€,且上縮下伸;橫向線與縱向線變形后仍正交。平面假設:橫截面變形后仍為平面,只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動,平面假設:橫截面變形后仍為平面,只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動,仍垂直于變形后的梁軸線。仍垂直于變形后的梁軸線。材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力中性層:梁內(nèi)一層纖維既不伸中性層:梁內(nèi)一層纖維既不伸長也不縮短,因而纖維不受拉長也不縮短,因而纖維不受拉應力和壓應力,此層纖維稱中應力和壓應力,
3、此層纖維稱中性層。性層。中性軸:中性層與橫截面的交中性軸:中性層與橫截面的交線。線。假設假設平平面面假假設設縱縱向向纖纖維維間間無無正正應應力力材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力5-2 純彎曲時的正應力純彎曲時的正應力1.1.變形幾何關系變形幾何關系MMm2n2s sys sLyyEsO1O2 a2dxn2m2n1m1O曲率中心曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性層中性層z中性軸中性軸y對稱軸對稱軸oa2a1yd dq qd dl ld dq qxe2e1qqqlqlyddydxdydxdaaaaaaydd212121材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲
4、應力彎曲應力2.2.物理關系(胡克定律物理關系(胡克定律) )syEEMs smins smaxMs smins smax材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力AzAyANMdAyMdAzMdAFsss00dAyz(中性軸中性軸)xzyOs sdAM0AAydAEdAs中性軸通過截面形心中性軸通過截面形心MdAyEdAyMAAz2szEIM13.3.靜力關系靜力關系材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力梁的上、下邊緣處,彎曲正應力取得最大值梁的上、下邊緣處,彎曲正應力取得最大值,分別為:,分別為: zcztIMyIMy2max1maxss,zzWMyIM)/(|maxmax
5、smax/ yIWzz抗彎截面模量抗彎截面模量。 4.4.純彎曲梁橫截面上的應力純彎曲梁橫截面上的應力( (彎曲正應力彎曲正應力) ): 距中性層距中性層y處的應力處的應力zIMys材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力矩形截面:矩形截面:62/1223bhhIWbhIzzz5.5.三種典型截面對中性軸的慣性矩三種典型截面對中性軸的慣性矩實心圓截面實心圓截面642/6444ddIWdIzzz截面為外徑截面為外徑D、內(nèi)徑、內(nèi)徑d(a a=d/D)的空心圓的空心圓: )1 (322/)1 (644344aaDDIWDIzzz材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力5-3 橫力彎曲
6、時的正應力橫力彎曲時的正應力彎曲正應力分布彎曲正應力分布ZIMys彈性力學精確分析表明,當跨度彈性力學精確分析表明,當跨度 l 與橫截面高度與橫截面高度 h 之比之比 l / h 5 (細長梁)時,純彎曲正應力公(細長梁)時,純彎曲正應力公式對于橫力彎曲近似成立。式對于橫力彎曲近似成立。ZmaxmaxmaxIyMs橫力彎曲最大正應力橫力彎曲最大正應力材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力彎曲正應力公式適用范圍:彎曲正應力公式適用范圍: 線彈性范圍線彈性范圍正應力小于比例極限正應力小于比例極限s sp; 精確適用于純彎曲梁;精確適用于純彎曲梁; 對于橫力彎曲的細長梁對于橫力彎曲的細長梁
7、(跨度與截面高度比跨度與截面高度比L/h5),上述公式的誤差不大,但公式中的,上述公式的誤差不大,但公式中的M應為所研究截面上的彎矩,即為截面位置的應為所研究截面上的彎矩,即為截面位置的函數(shù)。函數(shù)。材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力彎曲正應力強度條件彎曲正應力強度條件 IyMzmaxmaxmax1.1.彎矩最大的截面上彎矩最大的截面上2.2.離中性軸最遠處離中性軸最遠處4.4.脆性材料抗拉和抗壓性能不同,二方面都要考慮脆性材料抗拉和抗壓性能不同,二方面都要考慮ttssmax,ccssmax,3.3.變截面梁要綜合考慮變截面梁要綜合考慮 與與MzI材料力學材料力學 第五章第五章 彎
8、曲應力彎曲應力 根據(jù)強度條件可進行:根據(jù)強度條件可進行:強度校核強度校核:maxss截面設計截面設計:maxsMWz確定梁的許可荷載確定梁的許可荷載:zWMmaxs材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM1. 1. 求支反力求支反力kN90AyFkN90ByF4733Z10832. 51218012012mmbhI解:解:例例5-3-15-3-1:求圖示梁(:求圖示梁(1 1)C C 截面上截面上K K點正應力;(點正應力;(2 2)C
9、 C 截面上最大正應力;(截面上最大正應力;(3 3)全梁上最大正應力;()全梁上最大正應力;(4 4)已知已知E=200GPaE=200GPa,C C 截面的曲率半徑截面的曲率半徑材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力2. 2. C C 截面最大正應力截面最大正應力C C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC C 截面慣性矩截面慣性矩47Z10832. 5mmIMPa55.9210832. 52180106073ZmaxmaxIyMCCsMPa7 .6110832. 5)302180(106073ZKCKIyMs(壓應力)(壓應力)材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力3.
10、3. 全梁最大正應力全梁最大正應力最大彎矩最大彎矩mkN5 .67maxMMPa17.10410832. 52180105 .6773ZmaxmaxmaxIyMs材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力4. 4. C C 截面曲率半徑截面曲率半徑C C 截面彎矩截面彎矩mkN60CMC C 截面慣性矩截面慣性矩47Z10832. 5mmImmMEI4 .194106010832. 510200673CZC材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力例例5-3-25-3-2:某車間欲安裝簡易吊車,大梁選用工字鋼。:某車間欲安裝簡易吊車,大梁選用工字鋼。已知電葫蘆自重已知電葫蘆自重 ,
11、起重量,起重量 ,跨,跨度度 ,材料的許用應力,材料的許用應力 。試選擇。試選擇工字鋼的型號。工字鋼的型號。MPa140skN7 . 61FkN502Fm5 . 9l材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力(4 4)選擇工字鋼型號)選擇工字鋼型號(5 5)討論)討論(3 3)根據(jù))根據(jù) sszWMmaxmax計算計算 33663maxcm962m109621014045 . 910)507 . 6(sMWz (1 1)計算簡圖)計算簡圖(2 2)繪彎矩圖)繪彎矩圖解:解:36c36c工字鋼工字鋼3cm962zWkg/m6 .67q材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力例例5-
12、3-3:已知已知16號工字鋼號工字鋼Wz=141cm3,l=1.5m,a=1m,s s=160MPa,E=210GPa,在梁的下邊緣,在梁的下邊緣C點沿軸點沿軸向貼一應變片,測得向貼一應變片,測得C點軸向線應變點軸向線應變 ,求求F并校核梁正應力強度。并校核梁正應力強度。6c10400 CNO.16FABa2/ llz材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力MPa841040010210) 163CCEs解:kN4 .47N104 .471014125. 025. 025. 0)(36FFWFWMFalFMzzCCBCsMPa126Pa1012610141108 .17mkN8 .17
13、41)2663maxmaxmaxsszWMFLMCFABa2/ ll材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力例例5-3-45-3-4:T T型截面鑄鐵梁,截面尺寸如圖型截面鑄鐵梁,截面尺寸如圖, , , ,試校核梁的強度。試校核梁的強度。 MPa30tsMPa60cs材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力mm522012020808020120102080cy(2 2)求截面對中性軸)求截面對中性軸z z的慣性矩的慣性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zI (1 1)求截面形心)求截面形心z1yz52解:解:材料力學材料力學 第
14、五章第五章 彎曲應力彎曲應力(4 4)B B截面校核截面校核 ttssMPa2 .27Pa102 .271064. 710521046633max,ccssMPa1 .46Pa101 .461064. 710881046633max,(3 3)作彎矩圖)作彎矩圖kN.m5 .2kN.m4材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力(5 5)C C截面要不要校核?截面要不要校核? ttssMPa8 .28Pa108 .281064. 71088105 . 26633max,(4 4)B B截面校核截面校核(3 3)作彎矩圖)作彎矩圖 ttssMPa2 .27max,ccssMPa1 .46m
15、ax,kN.m5 .2kN.m4材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力例例5-3-5:圖:圖a所示為橫截面如圖所示為橫截面如圖b所示的槽形截面鑄鐵梁,該所示的槽形截面鑄鐵梁,該截面對于中性軸截面對于中性軸z 的慣性矩的慣性矩Iz=5493104 mm4。已知圖。已知圖a中,中,b=2 m。鑄鐵的許用拉應力。鑄鐵的許用拉應力s st=30 MPa,許用壓應力,許用壓應力s s c=90 MPa 。試求梁的許可荷載。試求梁的許可荷載F。(a)(b)材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力 解:最大負彎矩所在B截面處,若截面的上邊緣處最大拉應力st,max達到st,則下邊緣處最大壓
16、應力sc,max為 根據(jù) 可知此sc,max并未達到許用壓應力sc,也就是說,就B截面而言,梁的強度由最大拉應力控制。tt56. 186134ss31ctss材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力顯然,B截面上的最大拉應力控制了梁的強度。B截面:zzBIFIMm1086m22m108633maxt,sC截面:zzCIFIMm10134m24m1013433maxt,s第四章第四章 彎曲應力彎曲應力材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力Pa1030m105493m1086m226483F 當然,這個許可荷載是在未考慮梁的自重的情況下得出的,但即使考慮自重,許可荷載也不會減少很
17、多。 于是由B截面上最大拉應力不得超過鑄鐵的許用拉應力st的條件來求該梁的許可荷載F:由此得F19200 N,亦即該梁的許可荷載為F=19.2 kN。第四章第四章 彎曲應力彎曲應力材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力討論:我國營造法中,對矩形截面梁給出的尺寸比例是討論:我國營造法中,對矩形截面梁給出的尺寸比例是 h:b=3:2h:b=3:2。試用彎曲正應力強度證明:從圓木鋸出的矩形截面梁,。試用彎曲正應力強度證明:從圓木鋸出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值。上述尺寸比例接近最佳比值。bhd解:解:bhd222Wbhz26b db()226Wbdbz22620由此得由此得bd3
18、hdbd2223hd2材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力5-4 彎曲切應力彎曲切應力一一、矩形梁橫截面上的切應力、矩形梁橫截面上的切應力 1、公式推導:、公式推導: n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxbAyyx xdxxM+dMMFSFSs ss s+ds st ty t t t tmnmmdx xt tyt tA材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力Fs(x)+dFs(x)M(x)M(x)+d M(x)Fs(x)dxs s1xyzs s2 2t tt tbzzAzANIMSAyIMAFdd1szzNISMMF)d(2zzszzbISFbISxMddt
19、由剪應力互等由剪應力互等zzbIQSy*)(tt)4(2)2(2222yhbyhbyhAySczdxbFFNNt12材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力tt5 . 123maxAFs)4(222yhIFzs矩tFst t方向:與橫截面上剪力方向相同;方向:與橫截面上剪力方向相同;t t大小:沿截面寬度均勻分布,沿高度大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植迹馗叨萮分布為拋物線。分布為拋物線。最大剪應力為平均剪應力的最大剪應力為平均剪應力的1.51.5倍。倍。材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力二、其它截面梁橫截面上的剪應力二、其它截面梁橫截面上的剪應力其中其中Fs為截面剪力;為截面剪
20、力;Sz 為為y點以下的面積對中性軸之靜矩;點以下的面積對中性軸之靜矩;Iz為整個截面對為整個截面對z軸之慣性矩;軸之慣性矩;b 為為y點處截面寬度。點處截面寬度。1 1、研究方法與矩形截面同;剪應力的計算公式亦為:、研究方法與矩形截面同;剪應力的計算公式亦為:zzbIQS*t材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力2 2、工字形截面梁的剪應力、工字形截面梁的剪應力腹板腹板翼緣翼緣在腹板上:在腹板上:bISFZZs*t8)(822maxhbBBHbIFZst8822minhBBHbIFZstminmaxttssFF)97. 095. 0(1bhFstbBhHy材料力學材料力學 第五章第
21、五章 彎曲應力彎曲應力 在翼緣上,有平行于在翼緣上,有平行于Fs的剪應力分量,分布情況的剪應力分量,分布情況較復雜,但數(shù)量很小,并無實際意義,可忽略不計。較復雜,但數(shù)量很小,并無實際意義,可忽略不計。 在翼緣上,還有垂直于在翼緣上,還有垂直于Fs方向的剪應力分量,它方向的剪應力分量,它與腹板上的剪應力比較,一般來說也是次要的。與腹板上的剪應力比較,一般來說也是次要的。 腹板負擔了截面上的絕大部分剪力,翼緣負擔了腹板負擔了截面上的絕大部分剪力,翼緣負擔了截面上的大部分彎矩。截面上的大部分彎矩。材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力3 3、圓截面梁的剪應力、圓截面梁的剪應力AFs34ma
22、xtbISFZZsy*t下面求最大剪應力:下面求最大剪應力:sFzy材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力三、彎曲剪應力強度條件三、彎曲剪應力強度條件*maxmaxmaxttbISFZZs材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力解:解:畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力畫內(nèi)力圖求危面內(nèi)力例例5-4-1:矩形矩形(b h=120 180mm2)截面木梁如圖,截面木梁如圖,s s=7MPa,t t=0. 9 M Pa,試求最大,試求最大正應力正應力和最大剪應力之比和最大剪應力之比,并校核梁的強并校核梁的強度。度。N54002336002maxqLFsNm4050833600822maxqLMxM
23、+82qLFs2qL2qL+xq=3.6kN/mABL=3m材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力求最大應力并校核強度求最大應力并校核強度應力之比應力之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMzts7MPa6.25MPa 18012010405066232maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa. 15 . 1maxmaxttAQ材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力例例5-4-2: T形梁尺寸及所受荷載如圖所示形梁尺寸及所受荷載如圖所示, 已知已知s sc=100MPa,s st=50MPa,t t=40MPa,yc=
24、17.5mm,Iz=18.2104mm4。求:。求:1)C左側(cè)截面左側(cè)截面E點的正應力、點的正應力、切應力;切應力;2)校核梁的正應力、切應力強度條件。校核梁的正應力、切應力強度條件。CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力CABm1kN1kN/m1m1m140401010yczE1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m)0.250.5+_kN75. 1kN25. 0CAFF,mkN25. 0mkN5 . 0kN1kN75. 0,BCCSCSMMFF,右左2)作梁的)作梁的Fs和和M圖圖1)求支座反力:)求支座反力:材料力
25、學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力MPa1 . 210102 .18)5 .12400(1075. 0)(MPa6 .20102 .185 . 7105 . 0)343*,46bISFIyMzzCSEzECE左拉ts該梁滿足強度要求該梁滿足強度要求yzcCCyLzcCCLyzcBByLzcBBLMPaIyMMPaIyMMPaIyMMPaIyM2 .89)05. 0(0 .480 .246 .44)05. 0()4ssssssss材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力MPa9 . 21010102 .18102/)50(1010154923*maxmaxmaxttczzS,yb
26、ISF5 5) )切切應應力力強強度度校校核核:該梁滿足強度要求該梁滿足強度要求材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力例例5-4-3:懸臂梁由三塊木板粘接而成。跨度為懸臂梁由三塊木板粘接而成??缍葹?m1m。膠合面的許可切應力為膠合面的許可切應力為 t t膠膠=0.34MPa=0.34MPa,木材的,木材的 s s =10MPa=10MPa, t t =1MPa=1MPa,求許可載荷。,求許可載荷。Fl100505050z材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力 ss21maxmax6bhlFWMz1.1.畫梁的剪力圖和彎矩圖畫梁的剪力圖和彎矩圖2.2.按正應力強度條件計算許
27、可載荷按正應力強度條件計算許可載荷 SF FM Fl 3.75kNN375010006150100106221lbhFs ttbhFAFS2/32/32max3.3.按切應力強度條件計算許可載荷按切應力強度條件計算許可載荷 kN01N100003/15010023/22bhFtFl解:解:材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力 gZZSbhFbbhhbFbISFtt341233323*g4.4.按膠合面強度條件計按膠合面強度條件計算許可載荷算許可載荷 3.825kNN3825434. 01501003433gbhFt5.5.梁的許可載荷為梁的許可載荷為 3.75kNkN825. 3k
28、N10kN75. 3minminiFFFl100505050z材料力學材料力學 第五章第五章 彎曲應力彎曲應力5-5 關于彎曲理論的基本假設關于彎曲理論的基本假設 在導出純彎曲正應力的計算公式時,引用了兩個假在導出純彎曲正應力的計算公式時,引用了兩個假設:(設:(1)平面假設;()平面假設;(2)縱向纖維間無正應力假)縱向纖維間無正應力假設設 。假設材料仍是線彈性的,對于橫力彎曲問題,。假設材料仍是線彈性的,對于橫力彎曲問題,按純彎曲正應力的計算公式將會導致計算誤差。按純彎曲正應力的計算公式將會導致計算誤差。)4(222yhIFzs矩t)4(222yhGIFGzs矩t可見上、下表面無切應變,中性層最大。切應可見上、下表面無切應變,中性層最大。切應變沿高度方向呈拋物線變化,可見這勢必使橫變沿高度方向呈拋物線變化,可見這勢必使橫截面不能保持平面,而引起翹曲。截面不能保持平面,而引起翹曲。材料力學材料力學 第五
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