安徽省桐城八中函數(shù)性質(zhì)奧賽培訓(xùn)

1、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)n1，函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性n（1）函數(shù)的奇偶性的定義。函數(shù)的奇偶性的定義。n（2）函數(shù)的奇偶性的判斷與證明。函數(shù)的奇偶性的判斷與證明。n（3）奇、偶函數(shù)圖象的特征。奇、偶函數(shù)圖象的特征。n例1 已知 （a、b為實(shí)數(shù)）且 ，則 的值是 （ ）n（1993年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）n（A） -5 （B）-3 （C） 3 n（D） 隨a、b取不同值而取不同值4sin)(3xbxaxf5)10log(lg3f) 3lg(lgf奇函數(shù)奇函數(shù)解： 是奇函數(shù) 的 和 ， 為 奇 函 數(shù) ， 從而 即 ， 選（C）。3sin4)(xbxaxf4)(4)(xfxf8)()(xfxf

2、38)10log(lg) 3lg(lg3ffn2，函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性n（1）函數(shù)的單調(diào)性的定義。函數(shù)的單調(diào)性的定義。n（2）函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明。函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明。n復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性n（3）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。xalog21 0 ( ， 104121logaa數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)形結(jié)合的思想xalog21 0 ( ，xalog21 0 ( ，4121 0 ( ，21loga21 0 ( ，xalog21 log41a 21 log41a 4121a 1161 a例3、解不等式 5log423xxx 的一切實(shí)數(shù)的一切實(shí)數(shù)m都成立，都成立，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)

3、x的取值范圍的取值范圍.mxx) 1(12222m例例4設(shè)關(guān)于設(shè)關(guān)于x的一元二次不等式的一元二次不等式 對(duì)滿(mǎn)足對(duì)滿(mǎn)足12) 1()(2xmxmg令析解：析解：為為單調(diào)單調(diào)函數(shù)函數(shù)0)2(0)2(gg只需解得解得)231,217(x0122032222xxxx 3.函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性 (1)定義定義:設(shè)函數(shù)的定義域是設(shè)函數(shù)的定義域是D，若存在非零，若存在非零常數(shù)常數(shù)T，使得對(duì)任何，使得對(duì)任何xDD，都有，都有x+T DD且且f(x+T)=f(x)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，T為為f(x)的一個(gè)周期。的一個(gè)周期。定理定理:設(shè)函數(shù)的定義域是設(shè)函數(shù)的定義域是D，a,b為不相等

4、的常為不相等的常數(shù)，若對(duì)任何數(shù)，若對(duì)任何xDD，都有，都有x+aD,x+bD,D,x+bD,且且f(x+a)=f(x+b)，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，a-b為為f(x)的一個(gè)周期。的一個(gè)周期。n(2)最小正周期最小正周期:n(3)定理定理:若若T是函數(shù)是函數(shù)f(X)的一個(gè)周期的一個(gè)周期,則則nT也也是函數(shù)是函數(shù)f(x)的一個(gè)周期的一個(gè)周期.(n為非零整數(shù)為非零整數(shù).)n一一中心對(duì)稱(chēng)：中心對(duì)稱(chēng)：n(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；一般地，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；一般地，n如果方程如果方程f(x,y)=0滿(mǎn)足滿(mǎn)足f(x,y)=f(-x,-y)，則曲線(xiàn)，則曲線(xiàn)f(x,y)=0關(guān)于

5、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（2）函數(shù)）函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（的圖象關(guān)于點(diǎn)（a,b）對(duì)稱(chēng)的）對(duì)稱(chēng)的充要條件為：對(duì)函數(shù)定義域中的任意充要條件為：對(duì)函數(shù)定義域中的任意x均滿(mǎn)足均滿(mǎn)足2b-y=f(2a-x)(3)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱(chēng)的充要條件為對(duì)稱(chēng)的充要條件為:f(x)=-f(2a-x)f(a+x)=-f(a-x)(4)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)其定義域中的任意值對(duì)其定義域中的任意值x均滿(mǎn)足均滿(mǎn)足f(a+x)=-f(b-x),則則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a+b)/2,0)成中心對(duì)稱(chēng)成中心對(duì)稱(chēng).二二軸對(duì)稱(chēng)：軸對(duì)稱(chēng)： （1）偶函數(shù)的圖象關(guān)于）偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)；軸對(duì)

6、稱(chēng)；一般地，如果方程一般地，如果方程f(x,y)=0滿(mǎn)足滿(mǎn)足f(x,y)=f(-x,y)，則，則曲線(xiàn)曲線(xiàn)f(x,y)=0關(guān)于關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)n（2）設(shè)）設(shè)a是非零常數(shù)，如果對(duì)函數(shù)定義域中是非零常數(shù)，如果對(duì)函數(shù)定義域中的任意值的任意值x均滿(mǎn)足均滿(mǎn)足f(x)=f(2a-x)f(a+x)=f(a-x)n則函數(shù)則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)。n（）設(shè)函數(shù)（）設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)其定義域中的任意值對(duì)其定義域中的任意值x均均滿(mǎn)足滿(mǎn)足f(a+x)=f(b-x),則則f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x（a+b)/2對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).一般地，如果方程一般地，如果方程f(x,y)=0滿(mǎn)足滿(mǎn)

7、足f(x,y)= f(2a-x,y)， 則曲線(xiàn)則曲線(xiàn)f(x,y)=0關(guān)于直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)x=a對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)的周期性有著密切函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性與函數(shù)的周期性有著密切的內(nèi)在聯(lián)系，我們有下面的結(jié)論：的內(nèi)在聯(lián)系，我們有下面的結(jié)論：n命題命題1：如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)如果函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=a和直線(xiàn)和直線(xiàn)x=b(ab)對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)是以對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)是以2(a-b)為周期的周為周期的周期函數(shù)。期函數(shù)。n命題命題2：如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和直線(xiàn)和直線(xiàn)x=b(ab)對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)是周期函數(shù)，對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)是周期函數(shù)，4(a-b)為函數(shù)的為函數(shù)的一個(gè)周期。一個(gè)周期。n

8、命題：命題：如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,m)和直線(xiàn)和直線(xiàn)x=b對(duì)對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)是周期函數(shù)，稱(chēng)，那么函數(shù)是周期函數(shù)，4(a-b)為函數(shù)的一個(gè)為函數(shù)的一個(gè)周期。周期。命題命題3：如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)和點(diǎn)和點(diǎn)(b,0)對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)對(duì)稱(chēng)，那么函數(shù)y=f(x)是周期函是周期函數(shù)，數(shù)，2(a-b)為函數(shù)的一個(gè)周期。為函數(shù)的一個(gè)周期。(ab)命題：命題：如果函數(shù)如果函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)的圖象關(guān)于兩點(diǎn)(a,b)和和(c,d)對(duì)稱(chēng)，那么：當(dāng)對(duì)稱(chēng)，那么：當(dāng)a c，b=d時(shí)，時(shí)，f(x)是周期函數(shù)，是周期函數(shù)，2(a-c)為函數(shù)的一個(gè)周為函數(shù)的一個(gè)

9、周期。當(dāng)期。當(dāng)a c，bd時(shí)，時(shí)，f(x)不是周期函數(shù)。不是周期函數(shù)。2ax 例例6 6設(shè)設(shè)f(x)f(x)是是R R上的奇函數(shù)，且上的奇函數(shù)，且f(xf(x3)3)f(x)f(x)，當(dāng)，當(dāng)0 x 0 x 時(shí)，時(shí)，f(x)f(x)x x，則則f(2003)f(2003)( )( )A.A.1 1B.0B.0 C.1 C.1 D.2003 D.200323解：f(x6)f(x33)f(x3)f(x) f(x)的周期為6f(2003)f(63351)f(1)f1選AA小結(jié)小結(jié):n關(guān)于函數(shù)關(guān)系式關(guān)于函數(shù)關(guān)系式f(a+x)=f(bx)所表所表示的函數(shù)性質(zhì)示的函數(shù)性質(zhì),我們用下面的歌謠來(lái)幫我們用下面的歌

10、謠來(lái)幫助記憶助記憶:(f可念虎可念虎,X可念司可念司)nf,x同號(hào)呈周期同號(hào)呈周期,周期恰是周期恰是a,b差差;nf同同x異軸對(duì)稱(chēng)異軸對(duì)稱(chēng),f異異x異有中心異有中心.n方程坐標(biāo)和折半方程坐標(biāo)和折半,符號(hào)一定要小心符號(hào)一定要小心.n雙重對(duì)稱(chēng)周期現(xiàn)雙重對(duì)稱(chēng)周期現(xiàn);2倍倍4倍要分清倍要分清.中心對(duì)稱(chēng)異號(hào)軸對(duì)稱(chēng)同號(hào)對(duì)稱(chēng)性異號(hào)周期性同號(hào)ffxxf(a+x)=f(bx)高考題例高考題例例例7. 已知已知y=loga(2-ax)在在0,1上是上是x的減的減函數(shù)，則函數(shù)，則a的取值范圍是（的取值范圍是（ ） (A)(0,1)(B)(1,2)(C)(0,2)(D)2,+)B2-ax0恒成立恒成立例8、設(shè)0a0)

11、 于是 因此 )(1) 1() 1()(222ttttaaaaaaaatfRxaaaaxfxx)(1)(2（2） f(x)為奇函數(shù) )()(1)(1)(22xfaaaaaaaaxfxxxx（3）設(shè)x1x2+ 則 0a1； x1-x2 又a2-10 f(x2)-f(x1)0即f(x2)f(x1) 因此f(x)在R上為增函數(shù) )()(1)()(1)()(211211222212xxxxxxxxaaaaaaaaaaaaxfxf0, 0,21122112xxxxxxxxaaaaaaaa即n例例9、定義在定義在R的奇函數(shù)的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)；偶函數(shù)為增函數(shù)；偶函數(shù)g(x)在區(qū)間在區(qū)間0,+)的圖象與

12、的圖象與f(x)的圖象重合。的圖象重合。設(shè)設(shè)ab0，給出下列不等式：，給出下列不等式：nf(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(b)-f(-a)g(b)-g(-a)f(a)-f(-b)0時(shí)，f(x)2時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.0)2log(logft)f(klog2222tt【思路分析】因?yàn)椤舅悸贩治觥恳驗(yàn)閤R，由區(qū)間的，由區(qū)間的特殊點(diǎn)，即特殊點(diǎn)，即x=0入手，是解題的出入手，是解題的出發(fā)點(diǎn)發(fā)點(diǎn).n【略解】n（1）令x=y=0,則有 f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0.n再令y=x，得f(0)=f(x)+f(x),nf(0)=0, f(x)=f(x), nf(x)是奇

13、函數(shù).n（2）設(shè)x1, x2R，且x1 x1, x2 x1 0.n由已知得 f(x2 x1)0,nf(x2)f(x1).故f(x)在R上是減函數(shù).nf(x)在3，3上的最大值f(x)最大值=f(3),最小值f(x)最小值=f(3).n又f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=6, f(3)=f(3)=6.n故f(x)在3，3上的最大值為6，最小值為6.n（3）f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù).又f(x)是奇函數(shù).由 n得n即, 恒成立)2log(logft)f(klog2222tt)2log(logft)f(klog2222tt02log) 1(log222tkt

14、(k+1)280,2k+12,12 k1+2 .故使不等式恒成立的實(shí)數(shù)k的范圍是（12 ，2 1）.2222n競(jìng)賽試題競(jìng)賽試題n例例11（第九屆希望杯）（第九屆希望杯）f(x)是定義域?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的的奇函數(shù)，方程奇函數(shù)，方程f(x)=0的解集為的解集為M，且，且M中有有限中有有限個(gè)元素，則個(gè)元素，則M（）n(A)可能是可能是(B)元素的個(gè)數(shù)是偶數(shù)元素的個(gè)數(shù)是偶數(shù)n(C)元素的個(gè)數(shù)是奇數(shù)元素的個(gè)數(shù)是奇數(shù)n(D)元素的個(gè)數(shù)可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)元素的個(gè)數(shù)可以是奇數(shù)，也可以是偶數(shù)n5.（第十屆希望杯）已知（第十屆希望杯）已知f(x)=2x-2-x-2，f(a)=0，則則f(-a)的值為（的值為（

15、）n(A)-a-4(B)-2(C)-4(D)-2aCC例例12（92全國(guó)聯(lián)賽）設(shè)全國(guó)聯(lián)賽）設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系：上的函數(shù)，且滿(mǎn)足下列關(guān)系：f(10+x)=f(10-x),f(20-x)=-f(20+x)。則則f(x)是（是（ ） (A)偶函數(shù)，又是周期函數(shù)偶函數(shù)，又是周期函數(shù) (B)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) (C)奇函數(shù)，又是周期函數(shù)奇函數(shù)，又是周期函數(shù) (D)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)C故故f(-x)=f(40-x)=f20+(20-x)=-f20-(20-x)=-f(x)由由f(10+x)=f(10-x),f(

16、x)有對(duì)稱(chēng)軸有對(duì)稱(chēng)軸x=10由由f(20-x)=-f(20+x),f(x)有對(duì)稱(chēng)中心有對(duì)稱(chēng)中心(20,0)故函數(shù)的周期為故函數(shù)的周期為4(20-10).例例13.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镹，且對(duì)任意，且對(duì)任意正整數(shù)正整數(shù)x，都有，都有f(x)f(x1)f(x1)若若f(0)2004，求，求f(2004)解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)閒(x)f(x1)f(x1)所以所以f(x1)f(x)f(x2)兩式相加得兩式相加得0f(x1)f(x2)即：即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以是以6為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)20046334 f(2004)f(0)2004例例14.

17、14.定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)f(x)，對(duì)一切實(shí)數(shù)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x x都都有有f f( (x x1)1)f f(2(2x x) )成立，若成立，若f f( (x x) )0 0僅有僅有101101個(gè)不個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為同的實(shí)數(shù)根，那么所有實(shí)數(shù)根的和為( )( )A.150A.150 B. B. C.152 D. C.152 D. 23052303解：由已知，函數(shù)解：由已知，函數(shù)f f( (x x) )的圖象有對(duì)稱(chēng)軸的圖象有對(duì)稱(chēng)軸x x于是這于是這101101個(gè)根的分布也關(guān)于該對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)個(gè)根的分布也關(guān)于該對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng). .即有一個(gè)根就是即有一個(gè)根就是3/2

18、3/2 ，其余，其余100100個(gè)根可分為個(gè)根可分為5050對(duì)，對(duì)，每一對(duì)的兩根關(guān)于每一對(duì)的兩根關(guān)于x x3/2 3/2 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng)利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，這100100個(gè)根的和等于個(gè)根的和等于 1001001501502323B例15設(shè) )10011000()10013()10012()10011(,244)(ffffxfxx求n略解：n由其對(duì)稱(chēng)性，f(x)+f(1-x）=1n采用倒序相加法n可知原式=500例16(山東15) 已知 ，則 的值等于 2(3 )4 log 3233xfx8(2)(4)(8)(2 )ffff233log42333loglog4)(log2233tttftx代入可得，把故原式故原式=（41+233）+（42+233）+(48+233)=2008例例17.已知已知(3xy)2001x20014xy0，求求4xy的值的值.所以所以 3xyx