【圓錐曲線】25定比點差法(含經(jīng)典題型+答案)

1、秒殺舉并/定比點差法原理定比分點：若病=九34則稱點M為A8的入定比分點，若4（網(wǎng),凹）,8a,%）則M:"+/2邛/上I 1 + A 1 + X /若AM = AMB且俞=-ANB，則稱M, N調(diào)和分割A(yù), B,根據(jù)定義，那么A, B也調(diào)和分割V, N .定理：在橢圓或雙曲線中，設(shè)工乃為橢圓或雙曲線上的兩點。若存在？。兩點，滿足 而量而，而一現(xiàn)一定有華士裝=1證明：若4（%,必）,8（工2，%）,而=大麗，則尸：，；："而=函則。:（七生心）有.土土工=1'：2-得：）土勺二萬 - r（司+網(wǎng)）（2-&2）土 （凹 +公2）（到一右2）=1_A2 即 J_

2、 1+也 % -a + J_ X + 也片-力2 = ab-cr 1 + A1丸b + A1 幾定比點差法及其應(yīng)用V-5/P A例1：己知橢圓一+上-=1,過定點P（o,3）的直線與橢圓交于兩點A,8 （可重合），求=的取值范同94PB PA解：設(shè)A（M，）,8（巧,刈），AP = APB 則=一丸 PBp.( +忒2,力+辦2=(0,3)內(nèi) + Ax2 = 0.y + 2y2 = 3(1 + X)即 ,A卜占+衛(wèi)=紀得：止 2_X_!- + ” 一 ,、2 1-A2 即 >'-4y2 = gQ -彳)注意：根據(jù)兩個調(diào)和定比分點的聯(lián)立，將坐標求出與比值的關(guān)系式。兩個分點式子齊上場

3、才能解決問題，這是定比點差 法的核心°例2：過異于原點的點尸（見，）'。）作橢圓 +二=i>b> 0）的割線PAB. 4, B在橢圓上一點,M是PAB異于P的一 cr b一點，且滿足昌=當，求證：點M在直線E + R = l上.MB PBa2 h2解：設(shè) AP = APB,則 AM = -XMB. 4（X, yx）B（x2, y2）M（xw, yMx。= 則有,>0 =X, + Ax21 + 2乃+儀1 + 4%）一生 “- 1-2 v .）1-2 , 寸+）'：一1由于A8在橢圓上，故，生+4尤I b-得：、+ M心川）+（x +長仆-僅）=1 _

4、同除以不得 ,+畢=1 crlrcr Zr例3: （2008安徽）設(shè)橢圓。：，+今=1,過點"（&1），左焦點為（JI。） （1）求橢圓。的方程.（2）當過點P（4,l）的有直線/與橢圓C相交于A 8 .在線段上取點Q,滿足|而卜|歷| = |而卜|麗| 證明：點。在某定直 線上.（2）竺=_"故令而=4而 AQ=-aQB故<PB QB .:內(nèi)+入21 + AM+儀 一%1 -Zv21-2X-儀.1 2=Xq=）'。由于A,8在橢圓工+工=1上，故<42五+且=1 42務(wù)i+叁1=月42一得：與普抖Y轆料即學(xué)+ $】即-2 =。例4:（201 8

5、全國一卷19）設(shè)橢圓C： + + V=i的右焦點為尸，過尸的直線/與c交于a,8兩點，點M的坐標為（2,0）.（1）當/與x軸垂直時，求直線AM的方程；（2 ）設(shè)O為坐標原點，證明：ZOMA = Z.OMB.解：（1）由已知得尸（1,0）, I的方程為x=l .由已知可得，點A的坐標為（1,二）或（1,一 所以AM的方程為，=一三+6或y = % 一.（2）當I與x軸重合時，/OMA = /OMB = 0。.當I與x軸垂直時，OM為AB的垂直平分線，所以ZOMA = NOMB.當I與x軸不重合也不垂直時，設(shè)為），點6關(guān)于x軸對稱的點e（&,一乃）根據(jù)幾何性質(zhì)可得：令ON為NAN3的角平

6、分線，A3與不軸交點為鳥，下面通過證明N與M重合來證明AF AN ANNQM4 = NOA/3,根據(jù)角平分線定理有：- =-=, F2B NB NB令麗 =2而，則N:f+ '乜,o 則,入穴=一入仄足=土>包=1 ,如圖 < 1 + A /1 %羨+>； = 1 ,一得:一十萬只=萬Xf、Xnr= 1=>N（2,O）也吆坐+（»+4心-"）= -口n 1 玉 + 玉 _ Ax. X _ Ay.即一一;- + 0«- = 121 + A1 A1 A即N與M重合，所以NQMA = NQW3 .綜上，/OMA = /OMB.例5： （2

7、018北京文20壓軸）已知橢圓M:；y + * = im>>0）的離心率為手，焦距為2式.斜率為攵的直線/與橢圓M有兩個不同的交點A , 8.（1）求橢圓"的方程：（2）若女=1,求L48I的最大值；7 1（3）設(shè)尸（一2,0）,直線，4與橢圓M的另一個交點為C ,直線必與橢圓M的另一個交點為。.若C ,。和點。（一一,一） 4 4共線，求k.解：（1）由題意得2。= 2&,所以C = J5,又 = £ ="，所以。=6,所以 =2一。2=1,a 3所以橢圓"的標準方程為1+ V =1.y = x + m（2）設(shè)直線AB的方程為>

8、;，=x+?，由,犬消去可得4/ +9x + 3/ -3 = 0 ,+）廣=113則 A = 36m2 - 4x 4（3/ - 3） = 48 12m2 > 0,即/ < 4,設(shè) 4（內(nèi)，）, B（x2,y2）,則 玉+=-3，xixi =- »2則 I AB 1= Jl + k x-x21= Jl + 二 （X） +x2）2 -4x,x,=如-二一：,易得當,7=0時，IABIg=JS,故IA8I的最大值為卡.1 1秒卷簾將；有心曲線角平分線定理設(shè) A（X"）, 8*2,4），。（與，,3），。"4，、4），則有ABACBD三角形的內(nèi)角平分線定理：在

9、A48C中，若AO是a4的平分線,證明;作O£_LA3交A8于E,。E，AC交AC于尸，設(shè)3C邊上的高為力,易知DE=DF,S"d_ABDE _BDh=AB_BDSACD AC -DF DC Ji AC DC定理：已知A3交橢圓毛+工=1（。>/?>0）長軸（短軸）于點P, a b-仇皆是橢圓上關(guān)于長軸（短軸）對稱的兩點，直線A8'交長軸（短軸）于。,則斗或守a-b-）證明:連接8。，根據(jù)幾何性質(zhì)可得：PQ為NAQ8的角平分線,根據(jù)三角形內(nèi)角平分線定理可知竺=4& = 羋,PB BQ B©而=4麗，則0:（王華,0）有.（斗 + 川 L

10、 Ay? ） + （% + 辦2 X力一辦2 ） Y-b2w±*l J-得：j±4 = /2=1及即 -+"4±二 a2 1 + A 1-2 一/。（令而=%而，則而=九），A&,yJ8（右,） 則尸：（土*,06- , I i + AJ=坐=1設(shè)財=4正,P： "L生I 1 + 4修卜（-2,。），加一加、“,，借卜（-2,。）有,"=1一,-得:q5貢=萬（內(nèi)+3）（%-襖）+ （片+%）5-辦3）3。二）1-22=.即在g:電=1.3(1叫$ _ 2x3 _ 3T _一" = 西+/1七21 + A同時1 ,

11、7x, = x 44/1；，同理M 42 4x2 一 ”4 _3x2+/x4 _ 2、1 + 417&由于過定點01-47-4一 +% 占故* 71 - 497 - 4弘_乃=一丑_）：；，故為一為二一 X.=一一44 4結(jié)合可得二二& = 1,即攵=1.七一看1.已知橢圓C:二十二=1（。"0）經(jīng)過點且離心率為蟲.（1）求橢圓C的方程：（2）設(shè)點M在 a" lr22X軸上的射影為點N,過點N的直線L與橢圓R相交于A,8兩點，且而+ 3醇=0求直線L的方程.1. (1) + /=1； (2)設(shè)A&，m),B(孫、2), N(瘋0),而+ 3隔=0 =

12、麗=3麗.6=上+ 9i（32+x）（3再一X,）小 、/、3為一占 4:一得：一 +（3）”#（3y-必）=8即 七上=下一=142 V34 '-4 N12.已知橢圓。:+ = = 1（4力。）的離心率為，左、右焦點分別為圓耳、外，"是C上一點，|阿| = 2, 且忸胃|后同=2近碗.（1 ）求橢圓C的方程；當過點尸（4,1）的動直線L與橢圓。相交于不同 兩點4,8時，線段A3上取點。，且。滿足|而|班卜|而|而證明點Q總在某定直線上，并求出該定 直線的方程.“一辦2 _1-2v2 v2AP AO 2. (1) _ + 2_ = i. (2) = = 一故令A(yù)P = /IP

13、8 AQ = -AQB 故43PB QB ,:(% -八)(演 +襖)工()1 一辦3)(x + 辦2)_ 1 十1 4(l-A)(l + 2)3(1-2)(1 + A)2 2Afi 由于48在橢圓工+)» = 1上，? 3一得:4 3小+空=分43即2£ +”=1 即3x+y 3 = 0 。總在直線3x+y 3 = O上. 43'3.已知橢圓。：+今=1（"力0）的上下兩個焦點分別為5、尸2,過點"與）軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點,MNF,的面積為JJ,橢圓。的離心率為半（I ）求橢圓C的標準方程： -2（H）已知。為坐標原點，直線乙： =

14、h+，與y軸交于點P,與橢圓C交于A,5兩個不同的點，若存在實數(shù)力,使 得3+ X麗=4而，求機的取值范圍.3.（I ） x2+ = 1. （II）當? = 0時，2 = -1 ,顯然成立：當7工0時，。乂+ /109=40戶=。戶+二O分,A,P.8 三點共線，/.2 = 3 : /. AP = 3PB ,設(shè) A(xpy,)(x2,y2),p.（，+ 3方+3），2.y +3y2 =4m ,A； +j-= 19君 + 組=9(2)4一得：（演+3）（8一3）+8-8 ,即兇3%=一一，如圖，由于8更m24,、2加靠近橢圓邊界，故取其作為參照點，.%= ， + £（一2,2） .，

15、+ «-3,3）解 3 3mmo得 me(2DU(L2)綜上，m的取值范圍為（一2, 1）U（1,2）U。4.已知橢圓的中心在原點，焦點在X軸上，"、鳥分別為左、右焦點，橢圓的一個頂點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形，且 |版卜（1）求橢圓方程：（2）對于x軸上的某一點T,過丁作不與坐標軸平行的直線L交橢圓于P,。兩點，若存在 X軸上的點S,使得對符合條件的L恒有NPST = NQST成立，我們稱S為T的一個配對點，當T為左焦點時，求T的 配對點的坐標：（3）在（2）條件下討論當T在何處時，存在有配對點？,4（1） C:+ = 1 （2）.a = T （3） a = 43%5 .。：

16、二十二=1（"0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點分別為R、F2,離心率為£,點A是橢圓上任一點， cr2AF】F2的周長為4 + 26.（I）求橢圓C的方程；（H）過點Q（-4, 0）任作一動直線I交橢圓C于M, N兩點, 記，而=%麗若在線段MN上取一點R,使得證=-/1版，則當直線I轉(zhuǎn)動時，點R在某一定直線上運動，求該 定直線的方程.6 .平面直角坐標系xOy中，己知橢圓C：二+二=1(。人0)的左焦點為F,離心率為上，過點F且垂直于長軸的 1廠2弦長為6. (I)求橢圓C的標準方程；(口)設(shè)點A, B分別是橢圓的左、右頂點，若過點P ( -2, 0)的直線與橢 圓相交

17、于不同兩點M, N. (i)求證：ZAFM=ZBFN： (ii)求4MNF面積的最大值.(1) l-+y2 = l： (II) (i)參考例4題18年新課標講解：(ii)設(shè)NNF8 = a,根據(jù)焦長公式可得, 2NF = - = -JMF = - = -，AMFN = 180。-2口,a-ccosa j2-cosea + ccosa yj2 + cos a-".Li- sine?cosSyfn =-MFNFsin2a = -22 cos asin er cos a _ tana _12sin2 a + cos2 a 2tan2 a+ 1 9 tan a + Jtana7.若橢圓日：2

18、22二+ 二 = 1與橢圓E2： 工 +>) 工=1滿足= (加0),則稱這兩個橢圓相似，m叫相似比.若 «2 b2-TV；匚I占+九% 設(shè) A/5 * 7 尸：1 131=。，°)爭"i一一得:早±42y；=萬a+九一4石)土(由+幾丁3)(乃一辦3)_ 1即20-22)-73'1一方玉一4七一？1-2V 21 ，= % =d+a ，同理 <內(nèi) +2 2X吟 一2=公"一與十 ，故玉+=3_:(/+ )人)!" 八4.乙 乙乙=111+A 4" /= 62(n2 + ' 1 =(2攵2+1*+8

19、攵一2 = 0,/0=一立Z孚,y = k(x+2)22QA-2芭 +x2 =-=e(-2,0), ./ + / = 6-2(%1 +x2)e(6,10)2K+1 2 + k28 .已知人、F?分別是橢圓+的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，。為坐標原點，N(2,0),并且滿足m =2人五，前而：=3 ( I )求此橢圓的方程：(II)若過點N的直線L與橢圓交于不同的兩點E、F(E 在M尸之間)，屜=義而，試求實數(shù)人的取值范圍.(I ) -+y2 =1； (II)人的取值范圍是(3 2a/Z1).9 .己知雙曲線。：±-)，= 1的左右兩個頂點是4,4，曲線。上的動點尸，。關(guān)于了軸對稱，直線4尸與4。交于 4點/，(1)求動點M的軌跡。的方程；(2)點E(0,2),軌跡。上的點A,8滿足麗=%而，求實數(shù);I的取值范圍.(1) + y2=1： (2).10 .如圖，已知橢圓C:二十二=1(。>