§6.2-分式線性映射

1、6.2 分式線性映射分式線性映射 一、分式線性映射一、分式線性映射分式線性映射定義為分式線性映射定義為azbczd0abcd、均為常數(shù)。、均為常數(shù)。abcd其中其中條件是為了使條件是為了使0adbc2d0d()adbczczd因此分式線性映射是保角映射。因此分式線性映射是保角映射。在擴(kuò)充復(fù)平面上補(bǔ)充定義如下：在擴(kuò)充復(fù)平面上補(bǔ)充定義如下：dzc 映射為映射為 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0c z 映射為映射為acz 映射為映射為 當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)0c 對(duì)于分式線性映射對(duì)于分式線性映射azbczd容易求出該映射的逆映射容易求出該映射的逆映射dbzca由于由于0dbadbcca因此分式線性映射的逆映射仍是分式線性因此分式線性映

2、射的逆映射仍是分式線性容易驗(yàn)證分式線性映射的復(fù)合仍是分式容易驗(yàn)證分式線性映射的復(fù)合仍是分式線性映射。線性映射。映射映射, , 且為擴(kuò)充復(fù)平面上的一一映射。且為擴(kuò)充復(fù)平面上的一一映射。二、分式線性映射的分解二、分式線性映射的分解當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，0c azbczd可化為：可化為：21abcaddcczc記記i2bcadrec則上式可分解為以下映射的有限次復(fù)合則上式可分解為以下映射的有限次復(fù)合,zi,e z,rz1z下面分別討論這四類映射：下面分別討論這四類映射：（1）z設(shè)設(shè)i ,uvi ,zxy12i,bb則映射化為則映射化為12uxbvyb平移公式平移公式（2）ie z由由,zArgArg z則該映

3、射保持的模不變，輻角旋轉(zhuǎn)。則該映射保持的模不變，輻角旋轉(zhuǎn)。z為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)（3）kz(0)k 則則,k zArgArgArgkzz該映射保持的方向不變，模放大倍。該映射保持的方向不變，模放大倍。zk（4）1z（稱為反演變換）（稱為反演變換）該映射可分解為：該映射可分解為：111,z為了討論反演變換的幾何意義，下面為了討論反演變換的幾何意義，下面先給出關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)的定義：先給出關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)的定義：設(shè)為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周。設(shè)為以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓周。COr在以圓心為起點(diǎn)的射線上，在以圓心為起點(diǎn)的射線上，COr若有兩點(diǎn)與，若有兩點(diǎn)與，PPPP2OP OPr則稱與關(guān)于則稱與關(guān)于PP圓

4、周對(duì)稱。圓周對(duì)稱。C滿足滿足COrP如圖，從作圓周的切線，如圖，從作圓周的切線，PCPTT由作的垂線與交于，由作的垂線與交于，TPOPTPOPP則與關(guān)于圓周對(duì)稱。則與關(guān)于圓周對(duì)稱。PPC規(guī)定：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)規(guī)定：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于圓周的對(duì)稱點(diǎn)為圓心。為圓心。O因此，因此，11zxyOC若設(shè)，則，若設(shè)，則，izrei111erz則與是關(guān)于單位圓周則與是關(guān)于單位圓周z1的對(duì)稱點(diǎn)（如圖）。的對(duì)稱點(diǎn)（如圖）。1z z1又，又，1軸的對(duì)稱點(diǎn)（如圖）。軸的對(duì)稱點(diǎn)（如圖）。則與是關(guān)于實(shí)則與是關(guān)于實(shí)1xyOCz1這樣可得出反演變換的幾何意義。這樣可得出反演變換的幾何意義。1z先求關(guān)于單位圓周的對(duì)稱點(diǎn)，先求

5、關(guān)于單位圓周的對(duì)稱點(diǎn)，z1z 1再求關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)，再求關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)，1即得。即得。三、分式線性映射的性質(zhì)三、分式線性映射的性質(zhì)1、保角性、保角性z、對(duì)于映射對(duì)于映射ie z、kz顯然在時(shí)導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。顯然在時(shí)導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。z 對(duì)于反演映射，對(duì)于反演映射，1z顯然在，顯然在，0z 時(shí)，導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。時(shí)，導(dǎo)數(shù)非零，是保角的。z 下面定義兩條曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的夾角：下面定義兩條曲線在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的夾角：規(guī)定其等于它們?cè)谟成湎滤吵傻囊?guī)定其等于它們?cè)谟成湎滤吵傻?z通過(guò)原點(diǎn)的兩條像曲線的夾角。通過(guò)原點(diǎn)的兩條像曲線的夾角。0下面以為例說(shuō)明處的下面以為例說(shuō)明處的 zz 保角性：保角性

6、： 令令11,z則成為則成為z1該映射在處解析，且導(dǎo)數(shù)不為零，該映射在處解析，且導(dǎo)數(shù)不為零，0因此，在處，因此，在處，0即在即在z處是保角的。處是保角的。z 同理其它幾個(gè)映射在處也是保角的。同理其它幾個(gè)映射在處也是保角的。z 類似地可以證明反演變換在處是保類似地可以證明反演變換在處是保0z 角的。角的。綜上可得下面定理。綜上可得下面定理。定理定理6.6分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的保角映射。一一對(duì)應(yīng)的保角映射。2、保圓性、保圓性在擴(kuò)充復(fù)平面上直線可看作是半徑無(wú)窮在擴(kuò)充復(fù)平面上直線可看作是半徑無(wú)窮大的圓周，大的圓周，以下提到圓周時(shí)均包括直線。以下提到圓周時(shí)均包

7、括直線。z為平移變換為平移變換ie z為旋轉(zhuǎn)變換為旋轉(zhuǎn)變換kz為將模放大倍為將模放大倍k這三個(gè)映射在擴(kuò)充復(fù)平面將圓周映成圓周，這三個(gè)映射在擴(kuò)充復(fù)平面將圓周映成圓周，該性質(zhì)稱為保圓性。該性質(zhì)稱為保圓性。下面討論反演變換是否具有保圓性。下面討論反演變換是否具有保圓性。1z22()0A xyBxCyD平面上的圓方程為：平面上的圓方程為：z令令izxy、iuv則變形為：則變形為：1z1iiuvxy整理得：整理得：22uxuv22vyuv、時(shí)為直線時(shí)為直線0A 代入圓方程為：代入圓方程為：2222220ABuCvDuvuvuv即：即：22()0D uvBuCvA時(shí)為直線時(shí)為直線0D 說(shuō)明反演變換將復(fù)平面上的圓周映成圓周。說(shuō)明反演變換將復(fù)平面上的圓周映成圓周。定理定理6.7分式線性映射將擴(kuò)充平面上的分式線性映射將擴(kuò)充平面上的z圓周映射成擴(kuò)充平面上的圓周。圓周映射成擴(kuò)充平面上的圓周。( (保圓性保圓性) )3、保對(duì)稱性、保對(duì)稱性引理引理6.1必要條件是，必要條件是，點(diǎn)與關(guān)于圓周對(duì)稱的充分點(diǎn)與關(guān)于圓周對(duì)稱的充分1z2zC經(jīng)過(guò)與的所有圓周都與經(jīng)過(guò)與的所有圓周都與1z2z圓周正交。圓周正交