第六章氣體動(dòng)理論(4)

1、麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布函數(shù)平均速率平均速率方均根速率方均根速率最概然速率最概然速率881.60molmolkTRTRTmMM2331.73molmolkTRTRTmMM221.41PmolmolkTRTRTmMM23 222( )4()e2mktmfkT（5）三種速率統(tǒng)計(jì)值有不同的應(yīng)用：）三種速率統(tǒng)計(jì)值有不同的應(yīng)用：v最概然速率最概然速率用于討論速率分布用于討論速率分布v平均速率平均速率用于計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)的平均距離，用于計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)的平均距離，討論分子碰撞。討論分子碰撞。用于計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能用于計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能例題：例題： 試計(jì)算，氣體分子熱運(yùn)動(dòng)其速率介于試計(jì)算，氣體分

2、子熱運(yùn)動(dòng)其速率介于和和 之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。100ppvv 100ppvv 解：根據(jù)麥?zhǔn)纤俾史植?，在區(qū)間解：根據(jù)麥?zhǔn)纤俾史植?，在區(qū)間 范圍內(nèi)的分范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：vvv NN100ppvvv )100()100(ppppvvvvvmkTvp2代入上式得：代入上式得：%661 NNvvekTmkTmv 22223)2(410099pv 50pv 解：根據(jù)歸一化條件有：解：根據(jù)歸一化條件有：例例：金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，與金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中

3、共有容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有N 個(gè)電子，其個(gè)電子，其中電子的最大速率為中電子的最大速率為vm，設(shè)電子速率在，設(shè)電子速率在vv+dv 之間的幾之間的幾率為率為式中式中A 為常數(shù)。為常數(shù)。求該電子氣的平均速率求該電子氣的平均速率2d0d0ANNmmvvvvvv2000( )( )( )d1mmmvvvf v dvf v dvf v dvAvv所以：速率的平均值為：所以：速率的平均值為：33mAv233d0d0mNNmmvvvvvvv2330( )0mf vmmvvvvvv003( )( )4mvmvf v dvvf v dvvv-速度空間速度表示速度空間速度表示)vvv(vz,y,x麥

4、克斯韋最早得出的是分子麥克斯韋最早得出的是分子速度分布速度分布規(guī)律：規(guī)律：xvzvyv0vzyxvvvddd麥克斯韋速度分布律麥克斯韋速度分布律 6kTmvzyxvkTmvvvNNvF22/32e2dddd)( 平衡態(tài)，理想氣體分子的速度分量在平衡態(tài)，理想氣體分子的速度分量在 vx vx+dvx , vy vy+dvy, vz vz+dvz區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率 zyxkTvvvmvvvvkTmNNzyxddde2d22/3222 kTmvzyxvkTmvvvNNvF22/32e2dddd)( 意義：在速度空間中，分布在意義：在速度空間中，分布在 附近附近

5、單單 位速度空位速度空間體積內(nèi)間體積內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率v7分子速度的大小被限制，速率分子速度的大小被限制，速率 在在v v + dv 內(nèi)，方向可以任意，內(nèi)，方向可以任意，這些分子的速度矢量端點(diǎn)都在這些分子的速度矢量端點(diǎn)都在半徑為半徑為 v,厚度為厚度為dv 的球殼內(nèi)的球殼內(nèi)。由于在平衡態(tài)時(shí)分子速度的方向是均勻分布的，由于在平衡態(tài)時(shí)分子速度的方向是均勻分布的，取球殼的體積取球殼的體積 4 v2dv作為體積元作為體積元,有有討論：討論：)()(vfvF由由可得可得23/222de4d2mvvkTNmvvNkT23/222de4( )d2mvvkTNmvf vNvkT

6、有有yvvdxvzv0v8kTmzyxekTmF2)(23222)2()(vvvv 麥麥克斯韋速度分布律克斯韋速度分布律9其中其中e 指數(shù)項(xiàng)指數(shù)項(xiàng) 22m vkTe kTke 玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律1. 玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律pk dvvv drrr dddxxxyyyzzzvvvvvvvvv dddxxxyyyzzz 32/02kpEEKTxyzmdNnedv dv dv dxdydzkT其中其中 n0 表示表示Ep=0 處單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總處單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)數(shù)（分子數(shù)密度）（分子數(shù)密度）。kTe玻爾茲曼因子玻爾茲曼因子- 玻爾茲曼分布律玻爾茲曼分布律

7、12表明：分子能量表明：分子能量E越大，越大，dN/越小，即分子處于能量較越小，即分子處于能量較高的狀態(tài)的概率較??；即：分子將優(yōu)先占據(jù)能量較低高的狀態(tài)的概率較?。患矗悍肿訉?yōu)先占據(jù)能量較低的狀態(tài)。的狀態(tài)。32/02kpEEKTymNnev vv x y zkTxzdd d d d d d320()2KPEEkTkTxyzmdNnedv dv dv edxdydzkT對(duì)速度積分就得到對(duì)速度積分就得到氣體分子數(shù)按位置的分布。氣體分子數(shù)按位置的分布。0dd d dpEKTNn ex y z dN表示在空間某一微小表示在空間某一微小區(qū)域區(qū)域 x-x+dx，y-y+dy，z-z+dz 的分子數(shù)。的分子數(shù)

8、。130dd d dpEKTNn ex y z 玻爾茲曼分布律對(duì)實(shí)物微粒在不同力場(chǎng)玻爾茲曼分布律對(duì)實(shí)物微粒在不同力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情形都是成立的。中的運(yùn)動(dòng)情形都是成立的。表明：表明：對(duì)于相同的體積元對(duì)于相同的體積元 dxdydz 來說，勢(shì)能大的區(qū)來說，勢(shì)能大的區(qū)域分子數(shù)少，勢(shì)能小的區(qū)域分子數(shù)多?；蛘哒f域分子數(shù)少，勢(shì)能小的區(qū)域分子數(shù)多。或者說分子處在高勢(shì)能狀態(tài)的概率小，處在低勢(shì)能狀分子處在高勢(shì)能狀態(tài)的概率小，處在低勢(shì)能狀態(tài)的概率大。態(tài)的概率大。142. 重力場(chǎng)中氣體分子按高度分布重力場(chǎng)中氣體分子按高度分布zO在在 Z 處分子數(shù)密度為：處分子數(shù)密度為：以豎直向上為以豎直向上為Z Z 軸正方向建立坐標(biāo)軸正

9、方向建立坐標(biāo)系；設(shè)系；設(shè) z z=0=0處處E EP P=0,=0,分子數(shù)密度為分子數(shù)密度為n n0 0；高度高度 z z 處的分子重力勢(shì)能處的分子重力勢(shì)能 E EP P= =mgz.mgz.當(dāng)大氣溫度均勻時(shí)，分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律當(dāng)大氣溫度均勻時(shí)，分子數(shù)密度隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小。減小。z0mgzKTzdNn edxdydz0mgzKTdNnn edxdydz150mgzkTnn e討論：討論：zOpnkT又據(jù)000MgzmgzmgzmolkTkTRTpn kTep ep e得得:即：在重力場(chǎng)中，氣體的壓強(qiáng)隨高度的增加按指數(shù)規(guī)即：在重力場(chǎng)中，氣體的壓強(qiáng)隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減小。律

10、減小。稱為氣壓公式稱為氣壓公式其中：其中： ，為，為Z=0處的壓強(qiáng)。處的壓強(qiáng)。00pn kT16可得：可得：0lnmolpRTzgMp00MgzmgzmolkTRTpp ep e在登山運(yùn)動(dòng)、航空飛行、地質(zhì)考察中，常用此式根據(jù)大在登山運(yùn)動(dòng)、航空飛行、地質(zhì)考察中，常用此式根據(jù)大氣壓強(qiáng)的變化來估算高度。氣壓強(qiáng)的變化來估算高度。(實(shí)際溫度也隨高度變化)根據(jù)氣壓公式：根據(jù)氣壓公式：一個(gè)分子連續(xù)兩次碰撞之間經(jīng)歷的平均 自由路程叫平均自由程 一個(gè)分子單位時(shí)間里平均受到碰撞次數(shù)叫平均碰撞頻率 Z單位時(shí)間內(nèi)分子經(jīng)歷的平均距離 v ，平均碰撞 Z 次 =Zv自由程自由程 ： 分子相鄰兩次碰撞之間自由通過的路程分子

11、相鄰兩次碰撞之間自由通過的路程 .平均自由程平均自由程和和碰撞頻率碰撞頻率19簡化模型簡化模型1 . 分子是有效直徑為分子是有效直徑為 d（兩分子質(zhì)心間最小距（兩分子質(zhì)心間最小距離的平均值）的彈性小球；離的平均值）的彈性小球；2. 其它其它分子皆分子皆靜止靜止, 某某一分子一分子以平均以平均速率速率Vr 相對(duì)其相對(duì)其它分子它分子運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 。平均自由程平均自由程A dddvrvr運(yùn)動(dòng)方向上，以運(yùn)動(dòng)方向上，以 d 為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將為半徑的圓柱體內(nèi)的分子都將與分子與分子A 碰撞碰撞t時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi):分子分子A經(jīng)過路程為經(jīng)過路程為rv t相應(yīng)圓柱體體積為相應(yīng)圓柱體體積為2rd v t圓柱體內(nèi)分

12、子數(shù)圓柱體內(nèi)分子數(shù)t時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)A與與其它分子發(fā)其它分子發(fā)生碰撞的平生碰撞的平均次數(shù)均次數(shù)2rd v tn平均自由程為：平均自由程為：2rXZd v nt所以：可以證明可以證明平均相對(duì)速率平均相對(duì)速率與與平均速率平均速率有關(guān)系：有關(guān)系：2rvv22Zd nv所以：212vZd npnkT由理想氣體的平均自由程：理想氣體的平均自由程：22kTd p宏觀量與微觀量間的關(guān)系宏觀量與微觀量間的關(guān)系氣體的遷移現(xiàn)象 如果氣體各部分的物理性質(zhì)是如果氣體各部分的物理性質(zhì)是不均勻不均勻的（例的（例如如流速、溫度和流速、溫度和密度密度等的不相同），則由于分子等的不相同），則由于分子間的相互碰撞和相互摻和，各部分之

13、間將產(chǎn)生間的相互碰撞和相互摻和，各部分之間將產(chǎn)生動(dòng)動(dòng)量、能量和質(zhì)量的轉(zhuǎn)移量、能量和質(zhì)量的轉(zhuǎn)移，這種現(xiàn)象稱為這種現(xiàn)象稱為氣體的遷氣體的遷移現(xiàn)象。移現(xiàn)象。氣體內(nèi)遷移現(xiàn)象包括：粘滯現(xiàn)象，熱傳導(dǎo)現(xiàn)象和擴(kuò)散現(xiàn)象23一粘滯現(xiàn)象 1 1、粘滯、粘滯現(xiàn)象現(xiàn)象：流動(dòng)中的流體，當(dāng)各層速度不同時(shí)，在流動(dòng)中的流體，當(dāng)各層速度不同時(shí)，在相鄰兩層的接觸面上將產(chǎn)生阻礙兩層之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的相鄰兩層的接觸面上將產(chǎn)生阻礙兩層之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的等值反向的摩擦力，這種現(xiàn)象稱為粘性現(xiàn)象。等值反向的摩擦力，這種現(xiàn)象稱為粘性現(xiàn)象。所產(chǎn)生所產(chǎn)生的摩擦力稱為的摩擦力稱為粘性力粘性力，流體的這種性質(zhì)稱為，流體的這種性質(zhì)稱為粘性粘性。2.2. 粘滯粘滯

14、 現(xiàn)象的宏觀規(guī)律現(xiàn)象的宏觀規(guī)律 h粘度系數(shù)粘度系數(shù) f dv v f dv v0uu 0 uOxz0z0()zdufdSdzh 叫流速梯度叫流速梯度dudz3 3、粘滯現(xiàn)象的微觀機(jī)制：、粘滯現(xiàn)象的微觀機(jī)制：氣體粘滯現(xiàn)象的微觀本質(zhì)：氣體粘滯現(xiàn)象的微觀本質(zhì)：分子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在垂分子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量，在垂直于流速方向上，向流速小的氣層的凈遷移。直于流速方向上，向流速小的氣層的凈遷移。而這種遷而這種遷移是通過氣體分子無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的。移是通過氣體分子無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來實(shí)現(xiàn)的。由于分子的熱運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致相鄰兩層的分子相互摻和由于分子的熱運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致相鄰兩層的分子相互摻和與相互碰撞，使相鄰兩層之間產(chǎn)生動(dòng)量凈遷移，

15、從與相互碰撞，使相鄰兩層之間產(chǎn)生動(dòng)量凈遷移，從而在兩層分界面產(chǎn)生一對(duì)阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力。也就而在兩層分界面產(chǎn)生一對(duì)阻礙相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力。也就是由于上下層流速有差異，所以上下層交換分子時(shí)，是由于上下層流速有差異，所以上下層交換分子時(shí)，總有總有定向的動(dòng)量從流速大的氣層向慢氣層遷移定向的動(dòng)量從流速大的氣層向慢氣層遷移。二、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象二、熱傳導(dǎo)現(xiàn)象1、熱傳導(dǎo)：氣體內(nèi)各部分溫度不均勻時(shí)，由溫度、熱傳導(dǎo)：氣體內(nèi)各部分溫度不均勻時(shí)，由溫度較高處向溫度較低將有熱量的傳遞的現(xiàn)象。較高處向溫度較低將有熱量的傳遞的現(xiàn)象。2、宏觀規(guī)律、宏觀規(guī)律0()xdQdTdSdtdx 叫做溫度梯度。叫做溫度梯度。dTdx熱傳導(dǎo)系數(shù)熱傳

16、導(dǎo)系數(shù)3 3、微觀機(jī)制、微觀機(jī)制( (氣體動(dòng)理論的觀點(diǎn)氣體動(dòng)理論的觀點(diǎn)) )由于由于dS右側(cè)氣體的溫度高于左側(cè)氣體的溫度，右側(cè)氣體右側(cè)氣體的溫度高于左側(cè)氣體的溫度，右側(cè)氣體分子的平均動(dòng)能要大于左側(cè)氣體分子的平均動(dòng)能。由于分子的平均動(dòng)能要大于左側(cè)氣體分子的平均動(dòng)能。由于熱運(yùn)動(dòng)的原故，熱運(yùn)動(dòng)的原故，dS兩側(cè)的分子將不斷相互摻和與相互碰兩側(cè)的分子將不斷相互摻和與相互碰撞，結(jié)果使一部分熱運(yùn)動(dòng)的能量從撞，結(jié)果使一部分熱運(yùn)動(dòng)的能量從dS右側(cè)輸運(yùn)到左側(cè)，右側(cè)輸運(yùn)到左側(cè)，宏觀來看，宏觀來看，能量從溫度高的地方傳遞到溫度低的地方能量從溫度高的地方傳遞到溫度低的地方。 氣體熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的微觀本質(zhì)氣體熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的微觀

17、本質(zhì)是分子熱運(yùn)動(dòng)能量的定是分子熱運(yùn)動(dòng)能量的定向遷移向遷移，這種遷移是通過分子無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來完成的。這種遷移是通過分子無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來完成的。三、擴(kuò)散現(xiàn)象三、擴(kuò)散現(xiàn)象1、擴(kuò)散：氣體內(nèi)各部分密度不均勻時(shí)，物質(zhì)由密度大、擴(kuò)散：氣體內(nèi)各部分密度不均勻時(shí)，物質(zhì)由密度大往密度小的地方遷移的現(xiàn)象。往密度小的地方遷移的現(xiàn)象。2、宏觀規(guī)律、宏觀規(guī)律D：擴(kuò)散系數(shù)：擴(kuò)散系數(shù)密度梯度：密度梯度：0()xdMdDdSdtdx ddx3 3、微觀機(jī)制、微觀機(jī)制( (氣體動(dòng)理論的觀點(diǎn)氣體動(dòng)理論的觀點(diǎn)) )由于分子的無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)，由于分子的無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)，dS左右兩側(cè)都會(huì)有氣體分子左右兩側(cè)都會(huì)有氣體分子穿過穿過dS，但是在，但是在dt時(shí)

18、間內(nèi)，右側(cè)的分子穿過時(shí)間內(nèi)，右側(cè)的分子穿過dS的數(shù)目的數(shù)目比左側(cè)的分子穿過比左側(cè)的分子穿過dS的數(shù)目要多的數(shù)目要多,即：即： dS兩側(cè)的分子兩側(cè)的分子進(jìn)行了不等量的交換。進(jìn)行了不等量的交換。 宏觀上，宏觀上，氣體的質(zhì)量發(fā)生了氣體的質(zhì)量發(fā)生了定向遷移，定向遷移，即產(chǎn)生了氣體的擴(kuò)散。即產(chǎn)生了氣體的擴(kuò)散。氣體擴(kuò)散現(xiàn)象的微觀本質(zhì)氣體擴(kuò)散現(xiàn)象的微觀本質(zhì)是氣體分子的定向遷移，是氣體分子的定向遷移，這這種遷移亦是通過分子的無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來完成的。種遷移亦是通過分子的無規(guī)熱運(yùn)動(dòng)來完成的。壓強(qiáng)計(jì).等溫壓縮實(shí)驗(yàn)等溫壓縮實(shí)驗(yàn)2一一 真實(shí)氣體的等溫線真實(shí)氣體的等溫線 真實(shí)氣體等溫線的測(cè)定真實(shí)氣體等溫線的測(cè)定6-10 真實(shí)

19、氣體真實(shí)氣體 范德瓦耳斯方程范德瓦耳斯方程壓強(qiáng)計(jì).CO 等溫壓縮實(shí)驗(yàn)等溫壓縮實(shí)驗(yàn)2壓強(qiáng)計(jì).CO 等溫壓縮實(shí)驗(yàn)等溫壓縮實(shí)驗(yàn)232實(shí)驗(yàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)測(cè)得 CO2 氣體在不同溫度下的等溫線氣體在不同溫度下的等溫線CO2等溫線等溫線VP理想氣體理想氣體氣氣v（10-3 l /mol）P（atm）95.50455072.3液液汽液共存汽液共存汽汽KABC48.1 OC31.1 OC13OC21 OC在非常溫或非常壓的情況下，氣體就不能看成理想氣體了。在非常溫或非常壓的情況下，氣體就不能看成理想氣體了。 實(shí)際氣體的等溫線可以分成四個(gè)區(qū)域?qū)嶋H氣體的等溫線可以分成四個(gè)區(qū)域: : 汽態(tài)區(qū)汽態(tài)區(qū)( (能液化能液化) )

20、，汽液共存區(qū)，液態(tài)區(qū)，氣態(tài)區(qū)汽液共存區(qū)，液態(tài)區(qū)，氣態(tài)區(qū)( (不能液化不能液化) )。二分子之間的相互作用力二分子之間的相互作用力實(shí)際氣體要考慮分子大小和分子之間的相互作用實(shí)際氣體要考慮分子大小和分子之間的相互作用兩個(gè)分子之間的相互作用力兩個(gè)分子之間的相互作用力r0 ：10 -10 ms 有效作用距離有效作用距離 10-9mrfr0s三范德瓦耳斯方程三范德瓦耳斯方程1、考慮分子大小引起的修正、考慮分子大小引起的修正1mol 理想氣體的狀態(tài)方程為理想氣體的狀態(tài)方程為mRTPVvm表示表示1mol氣體可被壓縮的空間氣體可被壓縮的空間對(duì)于理想氣體，由于分子本身的大小可以忽略不計(jì)，對(duì)于理想氣體，由于分子本身的大小可以忽略不計(jì)，所以這一體積就等于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的容器的整個(gè)體積。所以這一體積就等于實(shí)驗(yàn)測(cè)得的容器的整個(gè)體積。分子為剛性球，氣體分子本身占有體積分子為剛性球，氣體分子本身占有體積考慮到分子大小，考慮到分子大小，1mol氣體可被壓縮體積氣體可被壓縮體積mRTPVbmVb352、考慮分子間引力引起的修正、考慮分子間引力引起的修正器壁器壁內(nèi)部內(nèi)部A器壁器壁內(nèi)部內(nèi)部FvB器壁附近分子受一指向內(nèi)的引力，降低氣體對(duì)器壁的壓力器壁附近分子受一指向