工程測量第五章測量誤差基本知識剖析

1、5-1 測量誤差的概念測量誤差的概念5-2評定精度的標準評定精度的標準5-3觀測值的算術(shù)平均值及改正值觀測值的算術(shù)平均值及改正值5-4觀測值的精度評定觀測值的精度評定5-5誤差傳播定律誤差傳播定律5-6誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用5-7加權(quán)平均值及其中誤差加權(quán)平均值及其中誤差5-1 5-1 測量誤差的概念測量誤差的概念一、測量誤差及其產(chǎn)生的原因一、測量誤差及其產(chǎn)生的原因二、測量誤差的分類與處理原則二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性三、偶然誤差的特性 一、測量誤差產(chǎn)生的原因一、測量誤差產(chǎn)生的原因（一）測量誤差（一）測量誤差 當對某觀測量進行觀測，其觀測值與真值當對某觀測量進行

2、觀測，其觀測值與真值( (客觀存在或理論值客觀存在或理論值) )之差，稱為測量誤差。之差，稱為測量誤差。 用數(shù)學式子表達：用數(shù)學式子表達： i = X (1,2n) i = X (1,2n) L L 觀測值觀測值 真值真值（二）、誤差產(chǎn)生的原因（二）、誤差產(chǎn)生的原因從觀測過程進行分析從觀測過程進行分析儀器角度儀器角度測量儀器的精密度測量儀器的精密度觀測者角度觀測者角度觀測者感覺器官的鑒別能力觀測者感覺器官的鑒別能力外界條件外界條件溫度、濕度、大氣折光溫度、濕度、大氣折光二、測量誤差的分類與處理原則二、測量誤差的分類與處理原則( (一一) ) 測量誤差分類測量誤差分類先作兩個前提假設(shè)先作兩個前提

3、假設(shè) 觀測條件相同觀測條件相同. . 對某一量進行一系列的直接觀測對某一量進行一系列的直接觀測 在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號及變化規(guī)律。、符號及變化規(guī)律。系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差( )( )誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按照一定的規(guī)律變化，或者為一常數(shù)。誤差在大小、符號上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或者在觀測過程中按照一定的規(guī)律變化，或者為一常數(shù)。偶然誤差偶然誤差( )( )如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該誤差的大小和符號沒有規(guī)律如果誤差在大小和符號上都表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該誤差的大小和符號沒有規(guī)律粗差粗差( )( )觀測中

4、的錯誤叫粗差觀測中的錯誤叫粗差例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。例如：讀錯、記錯、算錯、瞄錯目標等。 錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時更正或重測。錯誤是觀測者疏大意造成的，觀測結(jié)果中不允許有錯誤。一旦發(fā)現(xiàn)，應(yīng)及時更正或重測。n在相同的觀測條件下，在相同的觀測條件下， 獨立的觀測獨立的觀測162162個三角形的全部內(nèi)角。個三角形的全部內(nèi)角。真誤差真誤差 = =觀測值觀測值真值真值01 8 0iiL例如：在相同的條件下，獨立地觀測了例如：在相同的條件下，獨立地觀測了358358個三角形全部內(nèi)角，由于觀測結(jié)果中存?zhèn)€三角形全部內(nèi)角，由于觀測結(jié)果中存在偶然誤差，三角形

5、的三個內(nèi)角觀測值之在偶然誤差，三角形的三個內(nèi)角觀測值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值，它的差和不等于三角形內(nèi)角和的理論值，它的差值我們稱為閉合差（真誤差）。值我們稱為閉合差（真誤差）。 -24-21-18-15-12 -9 -6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 -24-21-18-15-12 -9 -6 3 0+3+6+9+12+15+18+21+24 圖圖5-1 5-1 頻率直方圖頻率直方圖/knd ( )( )ff x 5-25-2評定精度的標準評定精度的標準n中誤差中誤差在一定的觀測條件下，各個真誤差平方的平均數(shù)的平方根在一定的觀測條件下，各個真誤差平方的平均數(shù)的平方根2

6、2212nmnn 二、相對誤差二、相對誤差在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。在某些測量工作中，對觀測值的精度僅用中誤差來衡量還不能正確反映觀測的質(zhì)量。 例如例如: : 用鋼卷尺量用鋼卷尺量200200米和米和4040米兩段距離，量距的中誤差都是米兩段距離，量距的中誤差都是2 2，但不能認為兩者的精度是相同的，但不能認為兩者的精度是相同的，因為量距的誤差與其長度有關(guān)。因為量距的誤差與其長度有關(guān)。 為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即來評定精度，通常稱此比值為相為此，用觀測值的中誤差與觀測值之比的形式來描述觀測的質(zhì)量。即來評定精度，通

7、常稱此比值為相對中誤差。對中誤差。n相對誤差：絕對誤差的絕對值與觀測值之比相對誤差：絕對誤差的絕對值與觀測值之比1N三、極限誤差三、極限誤差n應(yīng)用：限差檢核應(yīng)用：限差檢核n含義：認為觀測誤差中的偶然誤差出現(xiàn)大于容許誤差的概率極小，如果發(fā)生，則認為非偶含義：認為觀測誤差中的偶然誤差出現(xiàn)大于容許誤差的概率極小，如果發(fā)生，則認為非偶然因素造成，對于測量結(jié)果一般認為不合格然因素造成，對于測量結(jié)果一般認為不合格n根據(jù)：偶然誤差的特性根據(jù)：偶然誤差的特性(1)(1)%7.99)33(%5.95)22(%3.68)(mmPmmPmmP%3.0%5.4%7.31取極限誤差取極限誤差( (容許誤差容許誤差) )

8、：mm23容容或：或：5-35-3觀測值的算術(shù)平均值及改正值觀測值的算術(shù)平均值及改正值一、算術(shù)平均值一、算術(shù)平均值( (最或是值）最或是值）算術(shù)平均值算術(shù)平均值( (即接近最或是值）是一個重要的概念即接近最或是值）是一個重要的概念算術(shù)平均值的表達式：算術(shù)平均值的表達式：根據(jù)真值與觀測值、真誤差三者之間的關(guān)系得下式：根據(jù)真值與觀測值、真誤差三者之間的關(guān)系得下式：根據(jù)偶然誤差的特點根據(jù)偶然誤差的特點 ： 結(jié)論：當觀測次數(shù)無限增大時，觀測值的算術(shù)平均值趨近于該量的真值。但是，在實際工作中，不可能對某一量進結(jié)論：當觀測次數(shù)無限增大時，觀測值的算術(shù)平均值趨近于該量的真值。但是，在實際工作中，不可能對某一

9、量進行無限次的觀測，因此，就把有限個觀測值的算術(shù)平均值作為該量的最或是值。行無限次的觀測，因此，就把有限個觀測值的算術(shù)平均值作為該量的最或是值。 12nllllnnx lXnnlim0nn 二、觀測值的改正值二、觀測值的改正值算術(shù)平均值與觀測值之差稱為觀測值改正值用（算術(shù)平均值與觀測值之差稱為觀測值改正值用（v)v)表示表示等式相加得等式相加得最小二乘原理（各個改正數(shù)的平方和為最?。┳钚《嗽恚ǜ鱾€改正數(shù)的平方和為最?。?122nnvxlvxlvxl 0vnxllvnln 2()minvvxl二、觀測值的改正數(shù)二、觀測值的改正數(shù)求待定值：求待定值：令令得得2 ()0d vvxldx 0nxl

10、lxn此式和此式和5-3-15-3-1式相同式相同5-45-4觀測值的精度評定觀測值的精度評定前面先作了兩個前提假設(shè)：前面先作了兩個前提假設(shè)： 觀測條件相同觀測條件相同 對某一量進行一系列的直接觀測對某一量進行一系列的直接觀測 在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值在此基礎(chǔ)上分析出現(xiàn)的誤差的數(shù)值 、符號及變化規(guī)律。、符號及變化規(guī)律。 A A 而在野外實際測量工作中，許多未知量不能直接觀測而求其真值，需由觀測值間接求出。而在野外實際測量工作中，許多未知量不能直接觀測而求其真值，需由觀測值間接求出。 B B 當觀測條件不相同時，如何來研究測量誤差問題。當觀測條件不相同時，如何來研究測量誤差問題。 C C

11、觀測量的真值往往不知道，因而真誤差觀測量的真值往往不知道，因而真誤差 也就也就不知道，故不能用不知道，故不能用 式直接求中誤差式直接求中誤差 mn 5-45-4觀測值的精度評定觀測值的精度評定按觀測值的改正值計算中誤差按觀測值的改正值計算中誤差以以 代替代替X X代替代替根據(jù)中誤差的計算公式根據(jù)中誤差的計算公式則有：則有：按觀測值的改正值計算中誤差的公式按觀測值的改正值計算中誤差的公式xivimn 1vvmn 5-4-15-4-1重要公式重要公式5-55-5誤差傳播定律誤差傳播定律誤差傳播定律：誤差傳播定律：一般函數(shù)的誤差計算公式，稱為誤差傳播定律，是誤差傳播的最普遍的形式。一般函數(shù)的誤差計算

12、公式，稱為誤差傳播定律，是誤差傳播的最普遍的形式。其他函數(shù)，如線性函數(shù)、和差函數(shù)、倍數(shù)函數(shù)等，都是一般函數(shù)的特殊情況。其他函數(shù)，如線性函數(shù)、和差函數(shù)、倍數(shù)函數(shù)等，都是一般函數(shù)的特殊情況。5-65-6誤差傳播定律的應(yīng)用誤差傳播定律的應(yīng)用一、距離測量的精度一、距離測量的精度評定的指標有評定的指標有: :單位長度的量距中誤差：單位長度的量距中誤差：距離距離D D的量距中誤差為：的量距中誤差為：往返差數(shù)的中誤差：往返差數(shù)的中誤差：允許誤差：允許誤差：相對誤差：相對誤差：0.00128 1000.013DmDm 0.0070.0012830ml20.013 20.018DDmmm 20.036DDmm

13、允0.03611003000DD允二、角度測量的精度二、角度測量的精度（一）水平角觀測的精度（一）水平角觀測的精度評定的精度指標有：評定的精度指標有：設(shè)一測回方向觀測的中誤差：設(shè)一測回方向觀測的中誤差：一測回水平角觀測的中誤差為：一測回水平角觀測的中誤差為：半測回水平角值的中誤差為：半測回水平角值的中誤差為：盤左、盤右水平角值之差的中誤差為：盤左、盤右水平角值之差的中誤差為：取兩倍中誤差為極限誤差，則為取兩倍中誤差為極限誤差，則為3434。所以用。所以用6 6經(jīng)緯儀觀測水平角，盤左、盤右分別測得水平角之差允許經(jīng)緯儀觀測水平角，盤左、盤右分別測得水平角之差允許值一般規(guī)定為值一般規(guī)定為40 40

14、。6m 2628 .5mm 212 .0mm 217 .0mm （二）多邊形角度閉合差的規(guī)定（二）多邊形角度閉合差的規(guī)定評定的指標有：評定的指標有：各角之和的中誤差：各角之和的中誤差：如果以兩倍中誤差為極限誤差，則允許的角度閉合差為：如果以兩倍中誤差為極限誤差，則允許的角度閉合差為：假設(shè)：水平角的測角中誤差，假設(shè)：水平角的測角中誤差，則三角形的角度閉和差的限差應(yīng)為：則三角形的角度閉和差的限差應(yīng)為：232 18 360m 18m 2fmn 允mmn 三、水準測量的精度三、水準測量的精度（一）兩次測定高差時的誤差規(guī)定（一）兩次測定高差時的誤差規(guī)定評定的指標有：評定的指標有：設(shè)讀數(shù)的中誤差：設(shè)讀數(shù)的

15、中誤差： 1 1，則一次測定高差的中誤差為：則一次測定高差的中誤差為：兩次測定高差之差的中誤差為：兩次測定高差之差的中誤差為：如果以兩倍中誤差為極限誤差，則為如果以兩倍中誤差為極限誤差，則為4 4，另外，考慮到在水準測量中還有水準管氣泡置平誤差的影響，故一般，另外，考慮到在水準測量中還有水準管氣泡置平誤差的影響，故一般規(guī)定：規(guī)定：用用3 3級水準儀，兩次測定高差之差不得超過級水準儀，兩次測定高差之差不得超過 5 5。mmmmh4 . 12mmmmhh22 （二）水準路線的高差測定誤差（二）水準路線的高差測定誤差評定的指標：評定的指標：單位長度的高差中誤差：單位長度的高差中誤差：m0m0m0m0

16、決定于水準測量的等級。決定于水準測量的等級。水準路線的高差中誤差：水準路線的高差中誤差：公式說明：一定等級的水準測量的高差中誤差與水準路線長度的平方根成正比。公式說明：一定等級的水準測量的高差中誤差與水準路線長度的平方根成正比。例如：設(shè)例如：設(shè)1 1長的水準路線的高差中誤差長的水準路線的高差中誤差m0=m0=1010，則，則5 5長的水準路線的高差中誤差（或高程測定中誤差）長的水準路線的高差中誤差（或高程測定中誤差） 10 = 10 = 22 22lmmH0 55-75-7加權(quán)平均值及其中誤差加權(quán)平均值及其中誤差一、不等精度觀測及觀測值的權(quán)一、不等精度觀測及觀測值的權(quán)概念：概念：1 1、不等精

17、度觀測（前已述）、不等精度觀測（前已述）2 2、權(quán)、權(quán)測量中用來作測量中用來作“權(quán)衡輕重權(quán)衡輕重”。某一觀測值或觀測值的函數(shù)的精度越高（中誤差。某一觀測值或觀測值的函數(shù)的精度越高（中誤差M M越?。?，其權(quán)越?。?，其權(quán)相應(yīng)越大。測量誤差理論中，以相應(yīng)越大。測量誤差理論中，以P P表示權(quán)，并定義權(quán)與中誤差的平方成正比：表示權(quán)，并定義權(quán)與中誤差的平方成正比：3 3、“單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差”權(quán)等于權(quán)等于1 1的中誤差為的中誤差為“單位權(quán)中誤差單位權(quán)中誤差”一般用一般用m0m0表示，一般，取一次觀測、一測回、單位長度的測量誤表示，一般，取一次觀測、一測回、單位長度的測量誤差作為差作為“單位權(quán)中誤差單

18、位權(quán)中誤差”m0”m0。一、不等精度觀測及觀測值的權(quán)一、不等精度觀測及觀測值的權(quán)4 4、例如：水準測量取、例如：水準測量取1 1路線的高差測量中誤差路線的高差測量中誤差m0m0作為單位權(quán)中誤差，則水準路線高程測定的中誤差為：作為單位權(quán)中誤差，則水準路線高程測定的中誤差為：5 5、水準路線高程測定的權(quán)定為：、水準路線高程測定的權(quán)定為：llmmpH12002 lmmH0 二、加權(quán)平均值加權(quán)平均值的計算公式： plplx 0三、加權(quán)平均值的中誤差三、加權(quán)平均值的中誤差加權(quán)平均值加權(quán)平均值 的中誤差：的中誤差：M0M0為單位權(quán)中誤差：為單位權(quán)中誤差：加權(quán)平均值加權(quán)平均值 的權(quán)：的權(quán)：即為觀測值的權(quán)之和：即為觀測值的權(quán)之和： pmmx0 ppx 四、單位權(quán)中誤差的計算四、單位權(quán)中誤差的計算在處理不等精度觀測的成果時，要根據(jù)單位權(quán)中誤差來計算觀測值的權(quán)和加權(quán)平均值的中誤差等。在處理不等精度觀測的成果時，要根據(jù)單位權(quán)中誤差來計算觀測值的權(quán)和加權(quán)平均值的中誤