理學(xué)理論力學(xué)里所有習(xí)題學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1理學(xué)理學(xué)(lxu)理論力學(xué)里所有習(xí)題理論力學(xué)里所有習(xí)題第一頁，共91頁。第1頁/共91頁第二頁，共91頁。tlAPLABROA, sin)(coscoslLylRxppsinsinLR sin)(sincos222LRlLyRLLlRxpp解：解：1 1、P P 點運動點運動(yndng)(yndng)方程方程例：求例：求 P 點的運動方程點的運動方程(fngchng)，P 點的速度點的速度和加速度和加速度OxyABP2 2、P P 點的速度點的速度(sd)(sd)和加和加速度速度(sd)(sd)第2頁/共91頁第三頁，共91頁。NoImage第3頁/共91頁第四頁，共91頁。列車沿鐵

2、軌行駛列車沿鐵軌行駛(xngsh)(xngsh) 若將列車視為質(zhì)點且若將列車視為質(zhì)點且運動軌跡已知。運動軌跡已知。問題問題: : 質(zhì)點質(zhì)點(zhdin)M(zhdin)M沿橢沿橢圓軌道勻速率運動，如何確圓軌道勻速率運動，如何確定其加速度的大小和方向？定其加速度的大小和方向？問題問題: :如果已知點的運動軌跡和點的速度如果已知點的運動軌跡和點的速度(sd)(sd)的大小隨時間的大小隨時間的變化規(guī)律，如何確定點的加速度的變化規(guī)律，如何確定點的加速度(sd)? (sd)? 過山車過山車 車輛轉(zhuǎn)彎車輛轉(zhuǎn)彎時，為什么要限速？高速路坡度拐彎？衛(wèi)星變軌時從近地軌道時，為什么要限速？高速路坡度拐彎？衛(wèi)星變軌時

3、從近地軌道轉(zhuǎn)移到遠地軌道時，速度轉(zhuǎn)移到遠地軌道時，速度(sd)(sd)的增量是多少？的增量是多少？第4頁/共91頁第五頁，共91頁。例：已知點的運動方程，求點任意時刻的速度、加速度例：已知點的運動方程，求點任意時刻的速度、加速度的大小和運動軌跡的大小和運動軌跡(guj)的曲率半徑。的曲率半徑。CtztRytRx ,sin,cos運動運動(yndng)方程方程:解：解：222zyxv 222zyxa ntaaa 2nt,sasa as2 zvyvxvzyx zayaxazyx const.222 CRs2R RCR22 第5頁/共91頁第六頁，共91頁。例：半徑為例：半徑為R的車輪的車輪(ch

4、ln)在地面上純滾動，輪心速度的在地面上純滾動，輪心速度的大小為大小為u（常量）。求圓盤與地面接觸點的加速度。（常量）。求圓盤與地面接觸點的加速度。)sin( Rxsin)cos1 (uyvuxvyx cossin uyauxayx 解：建立解：建立(jinl)M(jinl)M點的運動方程點的運動方程Ruaayx2, 0, 0vRu ), 1, 0(2 kk當(dāng)當(dāng))cos1 ( Ry第6頁/共91頁第七頁，共91頁。例：例：已知圖示瞬時動點已知圖示瞬時動點A的速度和加速度，的速度和加速度， 求該瞬時動點求該瞬時動點A的的 。 已知：已知：2m/s10m/s,10 av,yxyx zvyvxvzy

5、x zayaxazyx m/s)(30cos100 xvx 解：解：m/s)(30sin100 yvy )m/s(02 xax )m/s(102 yay n2av 0230cosavm320vaxyO030A(x,y)第7頁/共91頁第八頁，共91頁。NoImage第8頁/共91頁第九頁，共91頁。第9頁/共91頁第十頁，共91頁。NoImage第10頁/共91頁第十一頁，共91頁。NoImage第11頁/共91頁第十二頁，共91頁。第12頁/共91頁第十三頁，共91頁。第13頁/共91頁第十四頁，共91頁。第14頁/共91頁第十五頁，共91頁。NoImage第15頁/共91頁第十六頁，共91

6、頁。NoImage第16頁/共91頁第十七頁，共91頁。內(nèi)力內(nèi)力(nil)的的性質(zhì)性質(zhì)對任何一對質(zhì)點間的相互作用力對任何一對質(zhì)點間的相互作用力,由由牛頓牛頓(ni dn)第三定律知第三定律知:證明證明(zhngmng):(zhngmng):表示第表示第j個質(zhì)點對第個質(zhì)點對第i個質(zhì)點的作用力個質(zhì)點的作用力.質(zhì)點組中所有內(nèi)力的矢量和等于零質(zhì)點組中所有內(nèi)力的矢量和等于零。011)(ninijjijifFjiijff0jiijffijf011)(ninijjijifF由于內(nèi)力是成對出現(xiàn)的由于內(nèi)力是成對出現(xiàn)的第二章第17頁/共91頁第十八頁，共91頁。質(zhì)點(zhdin)組的所有內(nèi)力對任一參考點的力 矩的

7、矢量和恒為零.NoImagejiijfrfrjiijijfrfrjioxyijijfjifirjrijfrrji)(ijijfr0對上式求和就是質(zhì)點組的所有對上式求和就是質(zhì)點組的所有內(nèi)力對內(nèi)力對o點的力矩點的力矩(l j)的矢量的矢量和和0內(nèi)M第二章第18頁/共91頁第十九頁，共91頁。求半徑求半徑(bnjng)為為R的均質(zhì)半球的質(zhì)心的均質(zhì)半球的質(zhì)心。oxyRrdzrdm2dzzR)(22332RMRRdzzRzzdmzRRc8332)(03022ozz例題：例題：第二章第19頁/共91頁第二十頁，共91頁。質(zhì)點水平方向的加速度 ;劈的加速度 ;劈對質(zhì)點的反作用力R1;水平面對劈的反作用力R2

8、.1x2x例：例：質(zhì)量為m1的質(zhì)點，沿傾角為 的光滑直角劈滑下，劈的本身質(zhì)量為m2，又可在光滑水平面上 自由滑動。試求第二章第20頁/共91頁第二十一頁，共91頁。 1122 m x + m x =0 a:水平方向動量守恒 解 1211212112cosab: xcos x c mvmmmvmm由知 121 x =x -v cos b 令 為沿斜面下滑的速度（相對），則1v第二章第21頁/共91頁第二十二頁，共91頁。（非慣性系）對m1有 12 =gsin+ x cos dv 11211 m gsin + m x cos = m v 12221sincos: xsinmgmm代入 c 得211

9、2221sincos x =x -v cos sinmgmm 第二章第22頁/共91頁第二十三頁，共91頁。2212122221y: RR cos0 Rsinm gmmmgmm對劈向 11121121221y: Rx sincos0cos Rsinmmm gmmgmm對向 第二章第23頁/共91頁第二十四頁，共91頁。例題例題(lt)：雨點開始自由下落時的質(zhì)量為雨點開始自由下落時的質(zhì)量為 ，在下，在下落過程中，單位時間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水落過程中，單位時間內(nèi)凝結(jié)在它上面的水汽質(zhì)量為汽質(zhì)量為 ，略去空氣阻力，試求雨點，略去空氣阻力，試求雨點在在t秒后所下落的距離。秒后所下落的距離。M解：解：因為因

10、為0uFvmdtd)(tMmgtMF)(第二章第24頁/共91頁第二十五頁，共91頁。gtMvtMdtd)()(積分積分(jfn)得得：12)21()(cgtMvtM00, 01cvtgtMtMdtdsv221再積分再積分(jfn)得：得：2222)ln(22)21(2ctMgMtMgtgsMgMcstln20, 0222)1ln(2212222tMMtMtgs第二章第25頁/共91頁第二十六頁，共91頁。xyz1F2F3FabcO例：求力系例：求力系Fi向向O點簡化點簡化(jinhu)的結(jié)果的結(jié)果。kjirkjiFiiiiiiziyixzyxFFF解：解：1 1、2、niiiOnii11RF

11、rMFF3、 根據(jù)根據(jù)(gnj)主矢和主矩的計主矢和主矩的計算結(jié)果算結(jié)果 判斷該力系的簡化結(jié)果。判斷該力系的簡化結(jié)果。第三章第26頁/共91頁第二十七頁，共91頁。證明：設(shè)三個力不平行證明：設(shè)三個力不平行(pngxng)且平衡且平衡, 則：三力共面且作用線交于則：三力共面且作用線交于一點一點AAFBFCFBCBACAFBFCFBArCArAAFBFCFBCDBFCFBCFAAFBCD若三力平衡，有：若三力平衡，有：0CACBABFrFr由此得：由此得： 共面共面CBFF ,因為因為 不平行，相交于不平行，相交于D點點CBFF , 合成為力合成為力CBFF ,BCF由二力平衡由二力平衡(pngh

12、ng)原理得：三力作用線共面且交于一原理得：三力作用線共面且交于一點點第三章第27頁/共91頁第二十八頁，共91頁。例：已知例：已知ABAB梁長為梁長為l l，其上受有均布載荷，其上受有均布載荷(zi h)q(zi h)q，求，求A A處的處的約束力。約束力。ABAMAxFAyF0, 0AxxFF解：研究解：研究(ynji)AB(ynji)AB梁，畫梁，畫受力圖。受力圖。qlFxqFFAylAyy, 0d, 002021, 0d, 0qlMxxqMMAlAAAB第三章第28頁/共91頁第二十九頁，共91頁。例例 題題一根均勻的棍子，重為一根均勻的棍子，重為P，長為，長為 。今將其一端置于粗。今

13、將其一端置于粗糙地面上，又一其上的糙地面上，又一其上的c點靠在墻上，墻離地面的高度點靠在墻上，墻離地面的高度為為h,當(dāng)棍子與地面的角度當(dāng)棍子與地面的角度 為最小值為最小值 時，棍子在上時，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍子與地面的摩擦系數(shù)述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍子與地面的摩擦系數(shù) 。l 20解：解：是共面力系的是共面力系的平衡問題平衡問題00第三章第29頁/共91頁第三十頁，共91頁。解出解出2200200sincossincosfNlhl0 xF0)90cos(01fN0yF0)90sin(201PNN0zM0sincos010hNPl2Nf00第三章第30頁/共91頁第三十一頁，共91

14、頁。例例 題題半徑為r的光滑(gung hu)半球形碗，固定在平面上。一均勻棒斜靠在碗緣，一端在碗內(nèi)，一端在碗外，在碗內(nèi)的長度為c，試證棒的全長為 crc)2(422第三章第31頁/共91頁第三十二頁，共91頁。解：均質(zhì)棒受到碗的彈力均質(zhì)棒受到碗的彈力(tnl)分別為分別為棒自身棒自身(zshn)重力為重力為。 棒與水平棒與水平(shupng)(shupng)方向的夾角為方向的夾角為設(shè)棒的長度為設(shè)棒的長度為 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零 第三章第32頁/共91頁第三十三頁，共91頁。沿過點且與軸平行(pngxng)的合力矩為0。即： 由式得：又由于(yuy)將代入得： 第三章

15、第33頁/共91頁第三十四頁，共91頁。例題：設(shè)質(zhì)量為例題：設(shè)質(zhì)量為m的復(fù)擺繞通過某點的復(fù)擺繞通過某點o的水平軸作的水平軸作微小振動，試求其運動方程微小振動，試求其運動方程(fngchng)及其振及其振動周期，并加以討論。動周期，并加以討論。思路(sl):根據(jù)(gnj)轉(zhuǎn)動定律求出振動動力學(xué)方程02xx 求其運動方程及其振動周期求其運動方程及其振動周期第三章第34頁/共91頁第三十五頁，共91頁。解解 運動運動(yndng)微微分方程分方程zzzMI200sinmglImk由轉(zhuǎn)動由轉(zhuǎn)動(zhun dng)方程方程220Cglkl22sinCglAtkl22022CklIglmgl周期周期222

16、lkkco第三章第35頁/共91頁第三十六頁，共91頁。22sinCglAtkl22022CklIglmgl周期周期與單擺(dn bi)所具有的形式很類似，所以說單擺(dn bi)是復(fù)擺的一個特例。第三章第36頁/共91頁第三十七頁，共91頁。Omgl211sin032mlmgl302gl32gl223lTg 例例 每個人行走時都會有一種自然每個人行走時都會有一種自然(zrn)步頻，以這種步頻行走很步頻，以這種步頻行走很舒服，而試圖以較快或較慢的步頻行走會感到不舒服。略去舒服，而試圖以較快或較慢的步頻行走會感到不舒服。略去膝關(guān)節(jié)的效應(yīng)，試用一種最簡單的模型來估算該步頻。膝關(guān)節(jié)的效應(yīng)，試用一種最

17、簡單的模型來估算該步頻。zzzzMI由轉(zhuǎn)動方程由轉(zhuǎn)動方程第三章第37頁/共91頁第三十八頁，共91頁。OAB例：例：已知已知OA桿的角速度桿的角速度 ，求圖示瞬時滑塊，求圖示瞬時滑塊B的的速度速度和和 AB桿的桿的角速度角速度。OAABROA ,60,0解：研究解：研究(ynji)AB桿，取桿，取A為基點為基點ABAvBvBAv) 1 (BAABvvv332cosRRvB（1）式在）式在AB桿上投影桿上投影(tuyng)RvvAB cos（1）式在）式在OA桿上投影桿上投影(tuyng)BABvv sinAv31ABvBAABABBAABv 第三章第38頁/共91頁第三十九頁，共91頁。ABO

18、RvA解：解：Av例：曲柄例：曲柄OA以勻角速度以勻角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動(zhun dng)。求當(dāng)求當(dāng) =60時，滑塊時，滑塊B的速度及連桿的速度及連桿AB的角速的角速度。度。RAB3ROA BvPABAP研究研究(ynji)連桿連桿AB：ABBBPvR332333 RRAB（1 1）速度瞬心可以位于平面）速度瞬心可以位于平面(pngmin)(pngmin)運動剛體之上，也可以位于其延展體上。運動剛體之上，也可以位于其延展體上。第三章第39頁/共91頁第四十頁，共91頁。ABOBv研究研究(ynji)(ynji)連連桿桿ABAB：（2）當(dāng)）當(dāng) =90時，滑塊時，滑塊B的速度的速度(sd)及及連桿連

19、桿AB的角速度的角速度(sd)為多少？為多少？Av 該瞬時，連該瞬時，連桿桿AB的的在無窮遠處，在無窮遠處， 0ABMAAMvvvA為基點，桿為基點，桿AB上任一點上任一點(y din)M的速的速度度AvMMv 圖形上各點的速度分布如同圖形作圖形上各點的速度分布如同圖形作故圖形在故圖形在的運動稱為的運動稱為。平移時的一樣。平移時的一樣。第三章第40頁/共91頁第四十一頁，共91頁。OOv例例: 沿直線沿直線(zhxin)軌道作純滾動的車輪，其半徑為軌道作純滾動的車輪，其半徑為R，輪心的速度，輪心的速度為為u，求輪上，求輪上A、B、C、D的速度。的速度。解：解：)(P車輪車輪(ch ln)(ch

20、 ln)與軌道的接觸點與軌道的接觸點A A為速度瞬為速度瞬心。心。0PAvv車輪車輪(ch ln)的角速度的角速度為為RuBvDvCv,2uvB,2uvCODvv2ABCD速度瞬心法的特點：速度瞬心法的特點：（1 1）計算簡便；）計算簡便；（2 2）直觀解了平面運動圖形上各點的速度分布）直觀解了平面運動圖形上各點的速度分布。第三章第41頁/共91頁第四十二頁，共91頁。例題(lt)長為 的直桿，A端擱在水平地面上，B端靠在墻上，已知A端的水平速度為 ，求桿與豎直方向成 角時B端的速度和桿的角速度。l 2Av解：BBv瞬心法(xn f)：AvAOxyCACAlvcos2lvlvAACABcBlv

21、tgvllvvAABsin2cos2方向(fngxing)y軸負方向(fngxing)第三章第42頁/共91頁第四十三頁，共91頁?；c(jdin)法求速度 ACAlvcos2lvlvAACAjtgvivjtgvkivjlilivlvvAAAAAABAB)()()cos2sin2(AvAOxy第三章第43頁/共91頁第四十四頁，共91頁。例例 無滑下滾圓柱體的加速度和約束無滑下滾圓柱體的加速度和約束(yush)反力。反力。COmgNfOyxC解解 （A）機械能守恒定律）機械能守恒定律.(1)Cxa約束方程：22222112211.(2)2CzzCTmxIkmxa動能動能sin.(3)CVmgx

22、 勢能勢能機械能機械能22211sin.(4)2CCkEmxmgxa求微商，得求微商，得22sin1/.(5)Cgxka實心圓柱體實心圓柱體2sin3Cxg空心圓柱體空心圓柱體1sin2Cxg不能求約束不能求約束(yush)反力反力第三章第44頁/共91頁第四十五頁，共91頁。.(1)Cxa約束方程：sin.(2)0cos.(3)CxmgfNmgmg質(zhì)心質(zhì)心C點的平動方程：點的平動方程：繞質(zhì)心繞質(zhì)心C點的轉(zhuǎn)動方程：點的轉(zhuǎn)動方程：2.(4)mkfa聯(lián)立方程可求得：聯(lián)立方程可求得：22222sinCkmgkfmxaakcosNmg222fk tgNak無滑滾動的條件：COmgNfOyxC解解 （B

23、）運動）運動(yndng)定理定理第三章第45頁/共91頁第四十六頁，共91頁。AAdrvvvrdtAvVj1VjkRsincosrlilk 例例 當(dāng)飛機在空中當(dāng)飛機在空中(kngzhng)以定值速度以定值速度V沿半徑為沿半徑為R的水平圓形的水平圓形軌道軌道C轉(zhuǎn)彎時，求當(dāng)螺旋槳尖端轉(zhuǎn)彎時，求當(dāng)螺旋槳尖端B與中心與中心A的聯(lián)線和沿垂線成的聯(lián)線和沿垂線成角時，角時，B點的速度及加速度。已知螺旋槳的長度點的速度及加速度。已知螺旋槳的長度AB l，螺，螺旋槳自身旋轉(zhuǎn)的角速度為旋槳自身旋轉(zhuǎn)的角速度為1。因此，因此，B點的速度為點的速度為：1sincosBVvVjjklilkR11cos1sinsinBl

24、vliVjlkR第三章第46頁/共91頁第四十七頁，共91頁。BAdaarrdtAvVj1VjkRsincosrlilk iRVaA2dtkRVjddtd)(1iRVjdtj ddtjd)(10111iRVdtd1k為恒矢量(shling)所以(suy)第三章第47頁/共91頁第四十八頁，共91頁。2222211121111sincoscoscos2sinsincoscossinAVdVaarriililkdtRRVVVljklijllVV llijlkkRRRRR 12222222211122sinsincoscosVlVV lallRRR第三章第48頁/共91頁第四十九頁，共91頁。AB

25、例：物塊例：物塊A、B放在半徑為放在半徑為R處于靜止的處于靜止的水平圓盤的邊緣，兩者間的靜滑動摩擦水平圓盤的邊緣，兩者間的靜滑動摩擦因數(shù)為因數(shù)為f，物塊的質(zhì)量分別為，物塊的質(zhì)量分別為mA mB，將物塊視為質(zhì)點，圓盤以角速度將物塊視為質(zhì)點，圓盤以角速度t 繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動繞鉛垂軸轉(zhuǎn)動(zhun dng)。試確定圓盤。試確定圓盤轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動(zhun dng)后，物塊開始滑動的時后，物塊開始滑動的時間。間。gf RNFgm解：受力分析解：受力分析(fnx)與運動與運動分析分析(fnx)0eNFFmgFf neateaneFteF在圓盤在圓盤(yun pn)面內(nèi)：面內(nèi)：eFFf0e FFf)(neteFF

26、2ne2teeN)()(FFFFfFf222)()(RmRmmgf222)()(tRgffFt第49頁/共91頁第五十頁，共91頁。 例例 在一光滑水平直管中，有一質(zhì)量在一光滑水平直管中，有一質(zhì)量(zhling)為為m的小球，此管以恒定的小球，此管以恒定角速度角速度繞通過管子一端的豎直軸轉(zhuǎn)動。如果起始時，球距轉(zhuǎn)繞通過管子一端的豎直軸轉(zhuǎn)動。如果起始時，球距轉(zhuǎn)動軸的距離為動軸的距離為a，球相對于管子的速度為零，求小球沿管的運，球相對于管子的速度為零，求小球沿管的運動規(guī)律及管對小球的約束反作用力。動規(guī)律及管對小球的約束反作用力。解解 非慣性非慣性(gunxng)參照系參照系小球運動微分方程小球運動微

27、分方程2020yzmxmxmyRmgmzmxR,ttttxAeBexA eB e0,0/2txa xABach2ttaxeeat222yzRmgRm xmash t第50頁/共91頁第五十一頁，共91頁。AB090 OF二、虛功二、虛功(x n) 虛功虛功（virtual work)： 作用于質(zhì)點作用于質(zhì)點( (系系) )上的力在虛位移上所作的功。上的力在虛位移上所作的功。rF WkjirkjiFzyxFFFzyx zFyFxFWzyx Br例：例：若若OAOA桿的虛位移為桿的虛位移為 ，OAR ，求力，求力F 的虛功。的虛功。BWrF ArF FR ABrr Ar第51頁/共91頁第五十二頁

28、，共91頁。例題例題(lt)(lt)：若斜塊：若斜塊A A和滑塊和滑塊B B之間之間 （1 1）：有摩擦；）：有摩擦； （2 2）：無摩擦。）：無摩擦。 則該系統(tǒng)是否是理想約束則該系統(tǒng)是否是理想約束AB地面光滑地面光滑?01NniiirF（1）：有摩擦）：有摩擦(mc)是非是非(shfi)理想約束理想約束01 rFSB（2）：無摩擦）：無摩擦是理想約束是理想約束01NniiirF)()(21rrFF SBNB21)()(rFFrFFSBNBSBNB1)(rFF SBNB212)(rFrFF NSANA212)(rFrFF NSANANBFSBFNAFSAF1NF2r1r第52頁/共91頁第五十

29、三頁，共91頁。例：已知例：已知 OA=L，求系，求系統(tǒng)統(tǒng)(xtng)在圖示位置在圖示位置平衡時，力偶矩平衡時，力偶矩M與力與力F的關(guān)系（不計摩擦）的關(guān)系（不計摩擦）g1mABg2mFMO1C2C090 g3m基本步驟：基本步驟：確定系統(tǒng)是否滿足原理的應(yīng)用條件確定系統(tǒng)是否滿足原理的應(yīng)用條件分析分析(fnx)主動力作用點的虛位移主動力作用點的虛位移求主動力的虛功之和求主動力的虛功之和 01niiirF 第53頁/共91頁第五十四頁，共91頁。g1mBg2mFMOg3mBArr LFM Br2Cr 0W0 MrFB MFL0)( MFL0 ABBABArr LrrBA 0 MLFAAr1Cr第54

30、頁/共91頁第五十五頁，共91頁。g1mAMO1COxFOyFxFAAyF研究研究(ynji)OA(ynji)OA桿桿0 OM) 1 (0 MLFAx研究研究(ynji)AB (ynji)AB 桿和桿和滑塊滑塊B B0 xF)2(0 FFAx) 1 ()()2( L0 MFLg1mABg2mFMO1C2C090 g3mxFAAyFNBFABg2mF2Cg3m平衡平衡(pnghng)方程的求解方法方程的求解方法第55頁/共91頁第五十六頁，共91頁。 kjjjqQW1 nijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ1)(jQ其中：其中： 稱為對應(yīng)于稱為對應(yīng)于 的廣義力的廣義力jqAyBAxy

31、lo例題：套筒例題：套筒A和小球和小球B的重力分別為的重力分別為W1和和W2 ，求系統(tǒng)求系統(tǒng)(xtng)對應(yīng)于坐標(biāo)對應(yīng)于坐標(biāo)yA的廣義力。的廣義力。211QyQqQWAkjjjAyQW10, 0AyAAyWyWW21211WWQAyWW)(211W2WAy第56頁/共91頁第五十七頁，共91頁。例：例：求系統(tǒng)的平衡位置。求系統(tǒng)的平衡位置。若已知若已知：mgFmmmlll ,2121yx1l2lg1mg2mFOcoscoscos21211llxlxsinsinsin21211llylymgFmgFmgFFyxyx 2211002121jjjiiyiixiqQyFxF0)cossin()cossi

32、n2( mglmglmglmgl0cossin0cossin2 mglmglmglmgl1tan21tan 解：方法解：方法(fngf)一一 、根據(jù) 獨立性第57頁/共91頁第五十八頁，共91頁。yx1l2lg1mg2mFO0, 01r022211rFrgrgmm0)cossin2(mglmgl21tan, 0解：方法解：方法(fngf)二二)2 , 1( , 0jQj021jjjqQW21rr2ryx1l2lg1mg2mFO2r0, 00222rFrgm0)cossin(mglmgl1tan第58頁/共91頁第五十九頁，共91頁。例例 題題半徑為r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均勻棒斜靠在

33、碗緣，一端(ydun)在碗內(nèi)，一端(ydun)在碗外，在碗內(nèi)的長度為c，試證棒的全長為 crc)2(422解：1個自由度q第59頁/共91頁第六十頁，共91頁。sin)2/(lcyDiDymgrFW00sincos)2/(clcyDcos2rc sin2rc0sin2cos)2/(2rlcyD0sin2cos)2/(2rlccrcl)2(422BByxoA2 2N N1 1N NG G圖題1 .3.1yxoA2 2N N1 1N N第60頁/共91頁第六十一頁，共91頁。解：1N,2NG均質(zhì)棒受到碗的彈力均質(zhì)棒受到碗的彈力(tnl)分別為分別為棒自身棒自身(zshn)重力為重力為。 l棒與水平

34、方向棒與水平方向(fngxing)(fngxing)的夾角為的夾角為設(shè)棒的長度為設(shè)棒的長度為xy 由于棒處于平衡狀態(tài)，所以棒沿軸和軸的和外力為零 0sin2cos21NNFx0cos2sin21GNNFy第61頁/共91頁第六十二頁，共91頁。Az沿過點且與軸平行(pngxng)的合力矩為0。即： 0cos22lGcNMi由式得：22cos1cos22cl又由于(yuy),cos2crrc2cos將代入得： crcl2224第62頁/共91頁第六十三頁，共91頁。解：取解：取 =0 =0 為系統(tǒng)為系統(tǒng)(xtng)(xtng)的零勢位的零勢位221sin21LkV 0sincos)(dd2222

35、1 mgLLkLkkV0dd22 V若：若：平衡位置是穩(wěn)定的。平衡位置是穩(wěn)定的。cos)(2cos)(dd2222122mgLLkLkkV LkkmgLk)(cosor 0sin 122平衡位置)cos1 ( mgL222)cos1 (21 Lk 1kLgm2k例：系統(tǒng)例：系統(tǒng)(xtng)如圖所示，滑塊的質(zhì)量為如圖所示，滑塊的質(zhì)量為m,桿長為桿長為L(不計質(zhì)不計質(zhì)量量)，當(dāng)桿鉛垂時彈簧無變形，求系統(tǒng)，當(dāng)桿鉛垂時彈簧無變形，求系統(tǒng)(xtng)的平衡位置并分的平衡位置并分析其穩(wěn)定性。析其穩(wěn)定性。21kk 第63頁/共91頁第六十四頁，共91頁。gmgmABC LAxFAyFBxFI2F例：例：已知

36、：已知： ，求，求A、B 的約束力。的約束力。mLhAChAB, 2/, 解：研究整體解：研究整體(zhngt),受力分析與運受力分析與運動分析動分析sin2I2I1mLmaFF0sin)cos5 . 0(sin)cos5 . 0(0I2I1mgLLhFmgLLhFhFMBxA00I2I1FFFFFAxBxx020mgFFAyyhmLFFBxAx2sin2附加附加(fji)動反力：由于運動引起的約束力動反力：由于運動引起的約束力I1F第64頁/共91頁第六十五頁，共91頁。1、將慣性力向質(zhì)心、將慣性力向質(zhì)心C簡化簡化(jinhu)2、將慣性力向轉(zhuǎn)軸、將慣性力向轉(zhuǎn)軸A簡化簡化(jinhu)3、將

37、慣性力向桿上、將慣性力向桿上B點簡化點簡化(jinhu)AB 慣性力向質(zhì)心慣性力向質(zhì)心(zh xn)C簡化：簡化：2II121,2mLMLmFCCaIFCIMCaAB慣性力向轉(zhuǎn)軸慣性力向轉(zhuǎn)軸A簡化：簡化：2II31,2mLMLmFA思考題：思考題：已知均質(zhì)桿長為已知均質(zhì)桿長為 L，質(zhì)量為，質(zhì)量為m，角速度為零，角加速度為，角速度為零，角加速度為 ，CaAB2II61,2mLMLmFB慣性力向轉(zhuǎn)軸慣性力向轉(zhuǎn)軸B簡化：簡化：如何確定慣性力合力的作用線？如何確定慣性力合力的作用線？IFAIMBIMIF第65頁/共91頁第六十六頁，共91頁。gmAB例：已知例：已知 L,m,初始初始(ch sh)時無

38、初速度，求初始時無初速度，求初始(ch sh)時桿的角加速度和約束力時桿的角加速度和約束力問題：問題： 求解求解(qi ji)該題有幾種方法？該題有幾種方法？ xFyF方法一：方法一：動靜法動靜法2II31,2mLMLmFA0002IIA FmgFFFFLmgMMyyxxAmgFFLgyx41, 0,23 解：受力分析、運動分析、添加慣性力解：受力分析、運動分析、添加慣性力建立建立“平衡平衡”方程方程求解方程求解方程CIMIF第66頁/共91頁第六十七頁，共91頁。方法三：方法三：應(yīng)用動能定理應(yīng)用動能定理(dn nn dn l)和質(zhì)心運動定理和質(zhì)心運動定理mgFmaFmatmJyCyxCxCA

39、d)21(d2vg方法二：方法二：應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)動量矩定理和質(zhì)心動量矩定理和質(zhì)心運動定理運動定理mgFmaFmaLmgJyCyxCxA 220LaaCyCx 運動學(xué)關(guān)系：運動學(xué)關(guān)系：gmAB xFyF第67頁/共91頁第六十八頁，共91頁。第68頁/共91頁第六十九頁，共91頁。例：圖示系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運動，各物體的質(zhì)量例：圖示系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運動，各物體的質(zhì)量(zhling)均為均為m，圓盤的半徑為，圓盤的半徑為R，圓盤在地面上純滾動，若板上作用在一個力，圓盤在地面上純滾動，若板上作用在一個力F。求板的加速度。求板的加速度。FIF aCMIIF CMIIF應(yīng)用應(yīng)用(yngyng)動

40、力學(xué)普遍方程動力學(xué)普遍方程0)(1IniiiirFFRaxF 解：運動解：運動(yndng)分析分析系統(tǒng)自由度系統(tǒng)自由度k=1受力分析受力分析maF I2I21mRMCRx x 虛位移分析虛位移分析xFI3由動力學(xué)普遍方程得：由動力學(xué)普遍方程得：02ICM03xmaxmaxF04, 0maFx0)4(xmaF第69頁/共91頁第七十頁，共91頁。 ABxCABC例：圖示系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運動例：圖示系統(tǒng)在鉛垂平面內(nèi)運動(yndng)，各物體的質(zhì)量均為，各物體的質(zhì)量均為m，圓盤的半徑為，圓盤的半徑為R，繩索與圓盤無相對滑動。求滑塊的加速度和圓盤，繩索與圓盤無相對滑動。求滑塊的加速度和圓盤C 的角加

41、速度。的角加速度。AaCaBC受力分析受力分析(fnx)gmgmgmAIFBIMCIMCIFRaABRaaCAC解：運動解：運動(yndng)分析分析應(yīng)用動力學(xué)普遍方程應(yīng)用動力學(xué)普遍方程0)(1IniiiirFFAAmaFIBBBJMICCmaFICCCJMICAmRma自由度自由度K=2第70頁/共91頁第七十一頁，共91頁。 ABxCxCr系統(tǒng)系統(tǒng)(xtng)的的虛位移虛位移RxRxrC0IIIICCCCBArmgMrFMxF動力學(xué)普遍動力學(xué)普遍(pbin)方方程：程：02325mRgRaxmgRaCACA025gRaCA023gRaCACAa00 xABCgmgmgmAIFBIMCIMC

42、IF第71頁/共91頁第七十二頁，共91頁。問題：問題：1、系統(tǒng)有幾個自由度、系統(tǒng)有幾個自由度2、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是什么、系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)是什么(shn me)3、如何建立運動微分方程、如何建立運動微分方程4、系統(tǒng)存在哪些守恒量、系統(tǒng)存在哪些守恒量 圖示機構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運動，均質(zhì)圓盤在地面上純滾動圖示機構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運動，均質(zhì)圓盤在地面上純滾動(gndng)，物體，物體間用光滑鉸鏈連接。已知各物體的質(zhì)量和幾何量。間用光滑鉸鏈連接。已知各物體的質(zhì)量和幾何量。xABC第72頁/共91頁第七十三頁，共91頁。例題(lt)質(zhì)點在主動力質(zhì)點在主動力F的作用下作平面曲線的作用下作平面曲線運動運動(yndng)，求

43、其平面極坐標(biāo)下，求其平面極坐標(biāo)下動力學(xué)方程表達式。動力學(xué)方程表達式。解：rq 1)(21222rrmT2q第73頁/共91頁第七十四頁，共91頁。rmrT2mrT2mrrT0T令0則11qQrFWrrFQ 2令0則令0r2QrFrFWrFQ 1第74頁/共91頁第七十五頁，共91頁。代入基本(jbn)形式的拉格郎日方程1, 2,dTTQsdtqqrFmrdtdFmrrmdtdr0)2()(2FmrdtdrFmrrmr)2(12 第75頁/共91頁第七十六頁，共91頁。例求質(zhì)點在單擺例求質(zhì)點在單擺(dn bi)中的動力學(xué)方程中的動力學(xué)方程廣義坐標(biāo)為S=1221mvT lv 2221mlT )co

44、s1 (mglVl0)cos1 (2122mglmlVTL22mlLsinmglL第76頁/共91頁第七十七頁，共91頁。0)(qLqldtd代入 0sin)2(2mglmldtd0sin22mglml 022mglml 動力學(xué)方程(fngchng)第77頁/共91頁第七十八頁，共91頁。例求質(zhì)點例求質(zhì)點(zhdin)在重力場中的動力學(xué)方在重力場中的動力學(xué)方程程廣義坐標(biāo)為x,y.z S=3222221212121zmymxmmvTmgzV mgzzmymxmVTL)212121(222xmxL0 xL第78頁/共91頁第七十九頁，共91頁。ymyL0yLzmzLmgyL0)(qLqldtd代入 0 xm 0ym 0 mgzm 第79頁/共91頁第八十頁，共91頁。例求質(zhì)點例求質(zhì)點(zhdin)在重力場中的運動在重力