學(xué)案3推理與證明

1、推推理理與與證證明明1.1.了解合情推理的含義了解合情推理的含義, ,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理比推理, ,體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. . 2.2.了解演繹推理的含義了解演繹推理的含義, ,了解合情推理和演繹推理的了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異聯(lián)系和差異; ;掌握演繹推理的掌握演繹推理的“三段論三段論”，能運(yùn)用，能運(yùn)用“三段論三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的演繹推理進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的演繹推理. .3.3.了解直接證明的兩種基本方法了解直接證明的兩種基本方法綜合法和分析綜合法和分析法法; ;了解綜合法和分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn)了解綜

2、合法和分析法的思考過(guò)程和特點(diǎn). .4.4.了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn)了解反證法的思考過(guò)程和特點(diǎn). .5.5.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題. .1.推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實(shí)際上對(duì)推理推理在高考中雖然很少刻意去考查，但實(shí)際上對(duì)推理的考查無(wú)處不在的考查無(wú)處不在.從近幾年的高考題來(lái)看，大部分題目主從近幾年的高考題來(lái)看，大部分題目主要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理能力，證明題是高考要考查命題轉(zhuǎn)換、邏輯分析和推理能力，證明題是高考中常考的題型之一中?？嫉念}型之一.2.綜合法、分析法是證明不等式常用的方法綜合法

3、、分析法是證明不等式常用的方法,不等式的證不等式的證明近年來(lái)高考雖然淡化了單純的證明題，但是以能力立明近年來(lái)高考雖然淡化了單純的證明題，但是以能力立意的、與證明有關(guān)的綜合題卻頻繁出現(xiàn)，常常與函數(shù)、意的、與證明有關(guān)的綜合題卻頻繁出現(xiàn)，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角等綜合，考查邏輯推理能力，是高考考查的數(shù)列、三角等綜合，考查邏輯推理能力，是高考考查的一項(xiàng)重要內(nèi)容一項(xiàng)重要內(nèi)容.3.反證法在高考中雖很少單獨(dú)命題，但是有時(shí)運(yùn)用反證反證法在高考中雖很少單獨(dú)命題，但是有時(shí)運(yùn)用反證法的證題思路判斷、分析命題有獨(dú)到之處法的證題思路判斷、分析命題有獨(dú)到之處.4.數(shù)學(xué)歸納法作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高考中數(shù)學(xué)歸納法作為

4、一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高考中有可能單獨(dú)命題，更可能的是通過(guò)不同的形式來(lái)考查有可能單獨(dú)命題，更可能的是通過(guò)不同的形式來(lái)考查“歸納歸納猜想猜想證明證明”這一基本思想方法這一基本思想方法.1.由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理（簡(jiǎn)稱歸納）.簡(jiǎn)言之，歸納推理簡(jiǎn)言之，歸納推理是是 、 .由部分到整體由部分到整體 由個(gè)別到一般的推理由個(gè)別到一般的推理 2.由兩類對(duì)象具有某些類

5、似特征和其中一類對(duì)象的由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）.簡(jiǎn)言之，類比推理是簡(jiǎn)言之，類比推理是 . 3. 和和 都是根據(jù)已有的事實(shí)，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理. 4.從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演

6、繹推理論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理簡(jiǎn)言之，演繹推理 是是 . 5.“三段論三段論”是演繹推理的一般模式，包括：是演繹推理的一般模式，包括：由特殊到特殊的推理由特殊到特殊的推理 歸納推理歸納推理 類比推理類比推理 由一般到特殊的推理由一般到特殊的推理 （1） 已知的一般原理；已知的一般原理； （2） 所研究的特殊情況；所研究的特殊情況； （3） 根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷況做出的判斷. 6.一般地一般地,利用已知條件和某些數(shù)利用已知條件和某些數(shù)學(xué)學(xué) 、 、 等，經(jīng)過(guò)一等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，系列的推理論證，最后推導(dǎo)

7、出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法這種證明方法叫做綜合法. 7.一般地一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為 為為止止,這種證明方法叫做分析法這種證明方法叫做分析法.大前提大前提 小前提小前提 結(jié)論結(jié)論 定義定義 公理公理 定理定理 判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等） 8.反證法是間接證明的一種基本方法反證法是間接證明的一種基本方法. 一般地，假設(shè)一般地，假設(shè) 不成立不成立(即在原命題的

8、條件即在原命題的條件下下,結(jié)論不成立結(jié)論不成立)，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出 ，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法明方法叫做反證法. 原命題原命題 矛盾矛盾 9.一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：列步驟進(jìn)行： （1）（歸納奠基）（歸納奠基） ； （2）（歸納遞推）（歸納遞推） . 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始開(kāi)始的所有正整數(shù)的所有正整數(shù)n都成立都成立. 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸

9、納法上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.假設(shè)假設(shè)n=k(kn0,kN*）時(shí)命題成立，證明當(dāng)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立時(shí)命題也成立 證明當(dāng)證明當(dāng)n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立時(shí)命題成立 根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫(xiě)出其通項(xiàng)的前幾項(xiàng)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，寫(xiě)出其通項(xiàng)在數(shù)列在數(shù)列an中，中，a1=1,an+1= (nN+),猜想這個(gè)猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式數(shù)列的通項(xiàng)公式.n nn na a2 22a2a+ an中，中，a1=1,a2= a3= a4= ,所以猜想所以猜想an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式an=

10、 .證明如下：因?yàn)樽C明如下：因?yàn)閍1=1,an+1= ,所以所以 即即 所以數(shù)列所以數(shù)列 是以是以 =1為首項(xiàng)為首項(xiàng),公差為公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列.所以所以 .所以通項(xiàng)公式所以通項(xiàng)公式an= ., ,3 32 2a a2 22a2a1 11 1=+, ,4 42 22 21 1a a2 22a2a2 22 2=+5 52 2a a2 22a2a3 33 3=+1 1n n2 2+. .2 21 1+ +a a1 1= =2 2a aa a+ +2 2= =a a1 1n nn nn n1 1+ +n n, ,2 21 1a a1 1- -a a1 1n n1 1+ +n n= a a1

11、1 n n1 1a a1 12 21 12 21 1+ +n n2 21 1= =2 21 1 1 1) )- -( (n n+ +1 1= =a a1 1n n1 1n n2 2+n nn na a2 22 2a a+通過(guò)歸納推理得出的結(jié)論可能正確，也可能不正確，通過(guò)歸納推理得出的結(jié)論可能正確，也可能不正確，它的正確性需通過(guò)嚴(yán)格的證明，猜想所得結(jié)論即可用演繹推它的正確性需通過(guò)嚴(yán)格的證明，猜想所得結(jié)論即可用演繹推理給出證明理給出證明.雖然由歸納推理所得出的結(jié)論未必是正確的，雖然由歸納推理所得出的結(jié)論未必是正確的，但它所具有的由特殊到一般、由具體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程，對(duì)但它所具有的由特殊到一般、由具

12、體到抽象的認(rèn)識(shí)過(guò)程，對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、科學(xué)的發(fā)明是十分有用的于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)、科學(xué)的發(fā)明是十分有用的.通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)，通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)，對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)對(duì)有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)學(xué)研究的基本方法之一，歸納推理的一般步驟是：（學(xué)研究的基本方法之一，歸納推理的一般步驟是：（1）通）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性）從已知的相同性質(zhì) 中 推 出 一 個(gè) 明 確 表 達(dá) 的 一 般 性 命 題 （ 猜 想 ）質(zhì) 中 推 出 一 個(gè) 明 確 表 達(dá) 的 一 般 性 命 題 （ 猜 想 ） .在在AB

13、C中，中，ABAC于于A,ADBC于于D，求證，求證: ，那么在四面體，那么在四面體ABCD中，類比上述中，類比上述結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由結(jié)論，你能得到怎樣的猜想，并說(shuō)明理由.首先利用綜合法證明結(jié)論正確，然后依據(jù)首先利用綜合法證明結(jié)論正確，然后依據(jù)直角三角形與四面體之間形狀的對(duì)比猜想結(jié)論，并予直角三角形與四面體之間形狀的對(duì)比猜想結(jié)論，并予以證明以證明.222AC1+AB1AD1如圖所示，由射影定理得如圖所示，由射影定理得AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC.又又BC2=AB2+AC2,猜想：類比猜想：類比ABAC,ADBC猜想四面體猜想四面體ABCD中，中，AB,

14、AC,AD兩兩垂直兩兩垂直,. .ACACABABBCBC= =C CBDBCDCBBDBCDCBBCBC= =BDDCBDDC1 1= =ADAD1 12 22 22 22 22 2. .ACAC1 1ABAB1 1ACACABABACACABABADAD1 12 22 22 22 22 22 22 2+=+=. .ACAC1 1ABAB1 1ADAD1 12 22 22 2+=AE平面平面BCD.則則如圖，連結(jié)如圖，連結(jié)BE交交CD于于F，連結(jié)，連結(jié)AF.ABAC，ABAD,AB平面平面ACD，而，而AF面面ACD,ABAF.而而RtABF中，中，AEBF, 在在RtACD中，中，AFCD

15、, 故猜想正確故猜想正確. .ADAD1 1ACAC1 1ABAB1 1AEAE1 12 22 22 22 2+=2 22 22 2AFAF1 1ABAB1 1AEAE1 1+=2 22 22 2ADAD1 1ACAC1 1AFAF1 1+=. .ADAD1 1ACAC1 1ABAB1 1AEAE1 12 22 22 22 2+=根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似（或一致）根據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似（或一致）性，推測(cè)其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）性，推測(cè)其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理（簡(jiǎn)稱類比）的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理（簡(jiǎn)稱類比）

16、.類比推理是類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的，由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結(jié)論可能是真的，也可能是假的，所以類比推理屬于合情推理也可能是假的，所以類比推理屬于合情推理.雖然類比推理雖然類比推理的結(jié)論可能為真，也可能為假，但是它由特殊到特殊的認(rèn)的結(jié)論可能為真，也可能為假，但是它由特殊到特殊的認(rèn)識(shí)功能，對(duì)于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻十分有用識(shí)功能，對(duì)于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實(shí)卻十分有用.類比推理應(yīng)類比推理應(yīng)從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比、歸納、從具體問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比、歸納、提出猜想提出猜想.平面圖形中的面積與空間圖形中的體積常常是類平面圖形中

17、的面積與空間圖形中的體積常常是類比的兩類對(duì)象比的兩類對(duì)象. 類比推理的一般步驟是：（類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的）找出兩類事物之間的相似性或一致性相似性或一致性;（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（猜想）.在銳角三角形在銳角三角形ABC中，中，ADBC，BEAC，D,E是垂是垂足足.求證：求證：AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)M到到D,E的距離相等的距離相等.解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中 線性質(zhì)作為大前提線性質(zhì)作為大前提.（1）因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三

18、角形是直角）因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角 三角形三角形 大前提大前提在在ABD中，中，ADBC，即，即ADB=90 小前提小前提所以所以ABD是直角三角形是直角三角形 結(jié)論結(jié)論（2）因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半）因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半 大前提大前提 而而M是是RtABD斜邊斜邊AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線是斜邊上的中線 小前提小前提所以所以DM= AB. 同理同理EM= AB.所以所以DM=EM.2 21 12 21 1演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論推理推出結(jié)論的三段論推理.三段論推理的

19、依據(jù)用集合論的三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來(lái)講就是：若集合觀點(diǎn)來(lái)講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)的所有元素都具有性質(zhì)P，S是是M的子集，那么的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)中所有元素都具有性質(zhì)P.三段論的三段論的公式中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提公式中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況了一個(gè)特殊情況;這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，揭示了一般原這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來(lái)，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷結(jié)論從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷結(jié)論.演繹推

20、理是一種必然性推理演繹推理是一種必然性推理,演繹推理的前提與結(jié)論之演繹推理的前提與結(jié)論之間有蘊(yùn)涵關(guān)系間有蘊(yùn)涵關(guān)系.因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式因而，只要前提是真實(shí)的，推理的形式是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可是正確的，那么結(jié)論必定是真實(shí)的，但錯(cuò)誤的前提可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論.:根據(jù)題意根據(jù)題意,0 ,0 ,0+,又又tan= ,tan= ,tan(+)=0+0,故只要證故只要證已知已知a0,求證求證:所給條件簡(jiǎn)單所給條件簡(jiǎn)單,所證結(jié)論復(fù)雜所證結(jié)論復(fù)雜,一般采用分析法一般采用分析法.2 2. .- -a a1 1+ +a a2 2- -a a1 1+ +a a2

21、22 22 2, ,- -a a1 1+ +a a2 2- -a a1 1+ +a a2 22 2. .2 2a a1 1+ +a a2 2a a1 1+ +a a2 22 2+. .) )2 2a a1 1+ +a a2 2) )a a1 1+ +a a( (2 22 22 22 2+(從而只要證從而只要證只要證只要證 即即 ,而上述不等式顯然成立而上述不等式顯然成立,故原不等式成立故原不等式成立.2 2a a1 1+ +a a2 22 22 2) )1 1( (2 22 2a a1 12 2a a4 4a a1 1+ +a a4 4a a1 1+ +a a2 22 22 22 22 22

22、2+a aa a) )1 1( (2 2a a1 1+ +a a2 22 22 2a aa a+) )1 12 2( (2 2a a1 1+ +( (a a4 42 22 22 22 2a aa a+)即即分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法分析法是數(shù)學(xué)中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來(lái)講就證明程序來(lái)講,它是一種從未知到已知它是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè)從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理方法的邏輯推理方法.具體地說(shuō)具體地說(shuō),即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是即先假設(shè)所要證明的結(jié)論是正確的正確的,由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件,而當(dāng)而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題

23、這些判斷恰恰都是已證的命題 (定義、公理、定理、定義、公理、定理、法則、公式等）或要證命題的已知條件時(shí)命題得證法則、公式等）或要證命題的已知條件時(shí)命題得證.已知已知a,b,c0.求證：求證：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).3 31 1a2+b22ab,a0,b0,(a2+b2)(a+b)2ab(a+b).a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2.a3+b3a2b+ab2.同理同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2.將三式相加得將三式相加得:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2,3(a3+b3+c3)(

24、a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).3 31 1本題結(jié)論以本題結(jié)論以“至少至少”形式出現(xiàn)，從正面思形式出現(xiàn)，從正面思考考有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明.若若x,y都是正實(shí)數(shù)，且都是正實(shí)數(shù)，且x+y2,求證：求證： 或或 中至少有一個(gè)成立中至少有一個(gè)成立.2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+假設(shè)假設(shè) , 都不成立都不成立,則有則有 和和 同時(shí)成立同時(shí)成立. 因?yàn)橐驗(yàn)閤0且且y0，所以，所以1+x2y

25、,且且1+y2x. 兩式相加，得兩式相加，得2+x+y2x+2y. 所以所以x+y2. 這與已知條件這與已知條件x+y2矛盾矛盾. 因此因此 , 中至少有一個(gè)成立中至少有一個(gè)成立.2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+成立成立.當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),左左= ,右右= ,左左右右,不等式成立不等式成立.假設(shè)假設(shè)n=k(k2且且kN*)時(shí)時(shí),不等式成立不等式成立,即即 ,那么當(dāng)那么當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)，3 34 43 31 11 1=+2 25 52 21 12k2k) )1 1- -2k

26、2k1 11 1( () )5 51 1)(1)(13 31 1(1(1+, ,2 21 1) )1 1( (2 21 12 22 21 12 23 32 21 12 22 23 38 84 41 12 22 24 48 84 41 12 22 22 22 21 12 22 22 22 21 12k2k 1 1- -1)1)- -(2k(2k1 1)1)11 1- -2k2k1 11 1( () )5 51 1)(1)(13 31 1(1(12 22 2+=+=+=+=+k kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kk kn=k+1時(shí)，不等式也成立時(shí)，不等式也成

27、立.由由知知,對(duì)一切大于對(duì)一切大于1的自然的自然數(shù)數(shù)n,不等式都成立不等式都成立.1.(1)1.(1)合情推理主要包括歸納推理和類比推理合情推理主要包括歸納推理和類比推理. .數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)研究中中, ,在得到一個(gè)新結(jié)論前在得到一個(gè)新結(jié)論前, ,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論論, ,在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前, ,合情推理常常能為證明提合情推理常常能為證明提供思路與方向供思路與方向. .(2)(2)合情推理的過(guò)程概括為合情推理的過(guò)程概括為: :從具體問(wèn)題出發(fā)從具體問(wèn)題出發(fā) 觀察、分析、比較、聯(lián)想觀察、分析、比較、聯(lián)想 歸納、類比歸納、類比 提出猜想提出猜

28、想(3)(3)演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論般模式是三段論. .數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行進(jìn)行. .(4)(4)合情推理僅是合情推理僅是“合乎情理合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論的推理，它得到的結(jié)論不一定真不一定真. .但合情推理常常幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)但合情推理常常幫助我們猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律律, ,為我們提供證明的思路和方法為我們提供證明的思路和方法. .而演繹推理得到的結(jié)而演繹推理

29、得到的結(jié)論一定正確論一定正確( (前提和推理形式都正確的前提下前提和推理形式都正確的前提下).).(5)(5)在數(shù)學(xué)中在數(shù)學(xué)中, ,證明命題的正確性都是使用演繹推理證明命題的正確性都是使用演繹推理, ,而合情而合情推理不能用作證明推理不能用作證明. .2.(1)2.(1)分析法的特點(diǎn)是分析法的特點(diǎn)是: :從未知看需知從未知看需知, ,逐步靠攏已知逐步靠攏已知. .(2)(2)綜合法的特點(diǎn)是綜合法的特點(diǎn)是: :從已知看可知從已知看可知, ,逐步推出未知逐步推出未知. .(3)(3)分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn). .分析法思考起來(lái)比較自然分析法思考起來(lái)比較自然, ,容易尋找到解題的思路和方法容易尋找到解題的思路和方法, ,缺點(diǎn)是思路逆行缺點(diǎn)是思路逆行, ,敘述較繁敘述較繁; ;綜合法從條件推出結(jié)論綜合法從條件推出結(jié)論, ,較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題, ,但不便于思考但不便于思考. .實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用實(shí)際證題時(shí)常常兩法兼用, ,先用分析法探索證明途徑先用分析法探索證明途徑, ,然后再然后再用綜合法敘述出來(lái)用綜合法敘述出來(lái). . (4)(4)應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題, ,一般分下面幾個(gè)步驟一般分下面幾個(gè)步驟: :第一步第一步: :分清命題分清命題“pqpq