第6章 彎曲變形

1、第六章第六章 梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移第一節(jié)第一節(jié) 概述概述第二節(jié)第二節(jié) 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分第三節(jié)第三節(jié) 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移第四節(jié)第四節(jié) 梁的剛度校核梁的剛度校核 提高梁的剛度措施提高梁的剛度措施第五節(jié)第五節(jié) 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能第一節(jié)第一節(jié) 概述概述一一. .研究彎曲變形的目的研究彎曲變形的目的1.1.限制構(gòu)件的變形，使其滿足剛度要求。限制構(gòu)件的變形，使其滿足剛度要求。 在工程中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，要求變形不能過(guò)大，即要求在工程中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，要求變形不能過(guò)大，即要求構(gòu)件有構(gòu)件有足夠的剛度足夠的剛度，以保證正常工作。，

2、以保證正常工作。橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大, ,則會(huì)使小車行走困難，則會(huì)使小車行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。工程實(shí)例工程實(shí)例P2P2P工程實(shí)例工程實(shí)例3.2.2.利用彎曲變形利用彎曲變形 在一些情況下，卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿在一些情況下，卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。足特定的工作需要。1.梁的梁的撓曲線撓曲線deflection curve ：梁軸線變形后所形成的光梁軸線變形后所形成的光滑連續(xù)的曲線滑連續(xù)的曲線。梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移BAB1Fyx二二. .基本概念基本概念注注:(1)平面彎曲中，撓曲線是一個(gè)平面曲線，且連續(xù)

3、光滑；平面彎曲中，撓曲線是一個(gè)平面曲線，且連續(xù)光滑； (2)梁的撓曲線是彈性曲線；梁的撓曲線是彈性曲線；(3)以撓曲線的曲率度量彎曲變以撓曲線的曲率度量彎曲變形的程度。平面彎曲時(shí)，其彎矩與曲率的物理關(guān)系形的程度。平面彎曲時(shí)，其彎矩與曲率的物理關(guān)系:曲率公式的特征：曲率公式的特征：(1)公式推導(dǎo)中應(yīng)用了胡克定律，故適用于線彈性范圍內(nèi)。并不計(jì)剪力對(duì)彎曲變公式推導(dǎo)中應(yīng)用了胡克定律，故適用于線彈性范圍內(nèi)。并不計(jì)剪力對(duì)彎曲變形的影響。形的影響。(2)等直梁在純彎曲時(shí)，彎矩為常量，撓曲線的曲率也是常量，其撓曲線是一段等直梁在純彎曲時(shí)，彎矩為常量，撓曲線的曲率也是常量，其撓曲線是一段圓弧線。圓弧線。(3)等

4、直梁在橫力彎曲時(shí)，其曲率與該處的彎矩成正比，曲率是位置坐標(biāo)的函數(shù)。等直梁在橫力彎曲時(shí)，其曲率與該處的彎矩成正比，曲率是位置坐標(biāo)的函數(shù)。EIxMxk)()(12.梁位移的度量：梁位移的度量：撓度撓度deflection ：梁橫截面形心的豎向位移：梁橫截面形心的豎向位移v。單位：。單位：mm。向上的撓度為正。向上的撓度為正。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角rotation ：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度：梁橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度q q。單位：?jiǎn)挝唬簉ad，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正。撓曲線方程撓曲線方程：撓度是位置坐標(biāo)的函數(shù)：撓度是位置坐標(biāo)的函數(shù)v=f(x)BAB1Fxq qq qvyx轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程(小變形下小

5、變形下)：轉(zhuǎn)角是位置坐標(biāo)的函數(shù)。：轉(zhuǎn)角是位置坐標(biāo)的函數(shù)。轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系)x( fdxdvtgqq)(xqq一、一、撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程EIxMx)()(11.力學(xué)關(guān)系力學(xué)關(guān)系：2.數(shù)學(xué)依據(jù)數(shù)學(xué)依據(jù)： 1)(1232vvvx 3.撓曲線近似微分方程撓曲線近似微分方程：)( xMEIv 第二節(jié)第二節(jié) 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分yxMM00 vM，x00 vM，yMM曲線曲線 v= f (x) 的曲率為的曲率為梁平面彎曲時(shí)曲率：梁平面彎曲時(shí)曲率：EIxMvvvx)()1 ()(12/32 二、積分法求梁的撓曲線二、積分法求梁的撓曲線

6、 撓曲線方程。轉(zhuǎn)角方程；再積分一次積分一次 211)()(CxCdxdxxMEIvEICdxxMEIvq2.支承條件與連續(xù)條件支承條件與連續(xù)條件: )( xMEIv 1.式中式中C1、C2為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。為積分常數(shù)，由梁邊界、連續(xù)條件確定。 1) 支承條件：支承條件： 2) 連續(xù)條件：連續(xù)條件：撓曲線是光滑、連續(xù)、唯一的撓曲線是光滑、連續(xù)、唯一的CxCxCxCxvv|qq，梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移y0vy0vy0; 0vvFABC建立坐標(biāo)系，確定支反力。建立坐標(biāo)系，確定支反力。寫出彎矩方程；若彎矩不能用一個(gè)函數(shù)給出寫出彎矩方程；若彎矩不能用一個(gè)函數(shù)給出,則要分段寫出。則

7、要分段寫出。寫出撓曲線近似微分方程，并積分得到轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù)。寫出撓曲線近似微分方程，并積分得到轉(zhuǎn)角、撓度函數(shù)。 利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)。利用邊界條件、連續(xù)條件確定積分常數(shù)。 如果分如果分 n 段寫出彎矩方程，則有段寫出彎矩方程，則有 2 n 個(gè)積分常數(shù)個(gè)積分常數(shù)代入積分常數(shù)，得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，從而得到各截代入積分常數(shù)，得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，從而得到各截面上的撓度和轉(zhuǎn)角沿跨長(zhǎng)的變化情況。面上的撓度和轉(zhuǎn)角沿跨長(zhǎng)的變化情況。確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角確定最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。3.3.積分法確定梁彎曲變形的步驟：積分法確定梁彎曲變形的步驟：q qmaxfmax21321262-2)()

8、(CxCFxFLxEIvCFxFlxEIvxlFxMEIv次：列撓曲線方程并積分兩00|00| 2010CvCvxx，得：；，得：數(shù)：由邊界條件決定積分常)3(6)2(22xlEIFxvxlEIFxvq為：轉(zhuǎn)角和撓曲線方程分別EIFLvfEIFLBB3-23max2maxqq解：建立坐標(biāo)系如圖解：建立坐標(biāo)系如圖x處彎矩方程為：處彎矩方程為：梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移 例例一一 圖示圖示B端作用集中力端作用集中力P的懸臂梁，求的懸臂梁，求其撓曲線方程。其撓曲線方程。 yxFBAlx)()(xlFxM例例二二 求圖示梁受集中力求圖示梁受集中力F作用時(shí)的撓曲線方程。作用時(shí)的撓曲線方程。 FabCl

9、ABxFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；xlFbEIv 122ClFbxEIv)0(axAC段)(lxaCB段xlFbaxFEIv)(-2222)(2-ClFbxaxFEIv1136DxClFbxEIv22336)(6-DxClFbxaxFEIv)(6-0; 000;2221212121blEIlFbCCvlxDDvxDDvvCCvvax，得處，得處，則，則時(shí)，)3(6222xblEIlFbv)(31)(22222blxaxblEIlFv)(6222xblEIlFbxv)()(62233xblxaxblEIlFv)0(axAC段)(lxaCB段梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)

10、的位移步步 驟：驟：(1)繪制梁的彎矩圖。繪制梁的彎矩圖。(2)由梁彎矩的變化規(guī)律，確定撓曲線曲率的變化規(guī)律。由由梁彎矩的變化規(guī)律，確定撓曲線曲率的變化規(guī)律。由M 的方向確定軸線的凹凸性。的方向確定軸線的凹凸性。(3)根據(jù)梁的支座情況，考慮變形根據(jù)梁的支座情況，考慮變形協(xié)調(diào)性，協(xié)調(diào)性，注：撓曲線的曲率與該處的彎矩成正比，彎矩越大，則曲率注：撓曲線的曲率與該處的彎矩成正比，彎矩越大，則曲率也最大。也最大。第三節(jié)第三節(jié) 疊加法求梁的位移疊加法求梁的位移梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移說(shuō)明說(shuō)明：1.1.在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下, ,載荷載荷與它所引起的

11、變形成線性關(guān)系。與它所引起的變形成線性關(guān)系。3.3.若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變?nèi)粲?jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各載荷單獨(dú)作用下的變形，然后形，則可分別計(jì)算各載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。疊加。2.2.當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。形是各自獨(dú)立的，互不影響。 如圖示，要計(jì)算三種載荷作用下在某截面如如圖示，要計(jì)算三種載荷作用下在某截面如C截面撓度，則可截面撓度，則可直接查表直接查表求出各載荷單獨(dú)作求出各載荷單獨(dú)作用下的撓度，然后疊加（用下的撓度，然后疊加（代數(shù)和代數(shù)和）。

12、）。 如果如果不能直接查表不能直接查表，則要采用分段剛化法將，則要采用分段剛化法將其化成可查表形式。其化成可查表形式。梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移例三例三 如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度如圖所示懸臂梁，其抗彎剛度EIEI為常數(shù)，求為常數(shù)，求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。FBA2/ l2/ lqCvBqvCqq qBFvBPFBABAqC1.在在F作用下：作用下：EIFlfEIFlBFBF3,232q查表：2.在在q作用下：作用下：EIqlEIlqfEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433q查表：EIqllvvEIqlCqCqBqCqBq384724843qqqBqBFBBqB

13、FBvvvqqq3.在在F和和q共共 同作用下：同作用下：解：解：EIPaB2-2q02EIammPa4例例7.求外伸梁求外伸梁C處的位移。處的位移。LaCABP解：解：ABCP剛化EI=PCvc1BC引起的位移引起的位移c1EIpavc331EIpac221q剛化剛化AB剛化剛化BC， AB部分引起的位移部分引起的位移CABP剛化EI=vc2B2PPaB2aEIPaLavBc3-22q223cBEIpaLqq21cccvvv21cccq qq qq q一、梁的剛度校核一、梁的剛度校核 除滿足強(qiáng)度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其正除滿足強(qiáng)度條件外，梁的位移也需加以控制，從而保證其正常工

14、作。常工作。 在土建工程中，通常對(duì)在土建工程中，通常對(duì)梁的梁的撓度撓度加以控制，例如：加以控制，例如：100012501lv梁的梁的剛度條件剛度條件為：為： qqmaxmaxlvlv通常情況通常情況下，強(qiáng)度條件滿足，剛度條件一般也滿足。下，強(qiáng)度條件滿足，剛度條件一般也滿足。 但是，但是，當(dāng)位移限制很嚴(yán)，或按強(qiáng)度條件所選截面過(guò)于單薄時(shí)，當(dāng)位移限制很嚴(yán)，或按強(qiáng)度條件所選截面過(guò)于單薄時(shí)，剛度條件也起控制作用。剛度條件也起控制作用。第四節(jié)第四節(jié) 梁的剛度校核梁的剛度校核 梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移例四例四 一簡(jiǎn)支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力一簡(jiǎn)支梁受載如圖示，已知許用應(yīng)力160 MPa，許用撓度，許用

15、撓度v=l /500，彈性模量，彈性模量E=200GPa，試選擇工字鋼型號(hào)。，試選擇工字鋼型號(hào)。 解：解： 1、作出梁的彎矩圖、作出梁的彎矩圖2、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求、根據(jù)彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求3、梁的剛度條件為、梁的剛度條件為：由此得由此得 由型鋼表中查得，由型鋼表中查得，NO.22a工字鋼的抗彎截面系數(shù)工字鋼的抗彎截面系數(shù)Wz3.09xl0-4m3 ，慣，慣性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可見(jiàn)選擇，可見(jiàn)選擇NO.22a工字鋼作梁將同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度工字鋼作梁將同時(shí)滿足強(qiáng)度和剛度要求。要求。mN10354410354：得33maxFlM 3463maxm1019. 2101

16、601035MWz500483lEIFlz459232m1092. 210200484103550048500EFlIz梁彎曲時(shí)的變形梁彎曲時(shí)的變形F=35kN2mAB2ml=4mM4/Fl 懸臂梁承受荷載如圖示。已知均布荷載集度懸臂梁承受荷載如圖示。已知均布荷載集度q=15kN/mq=15kN/m，梁的長(zhǎng)度，梁的長(zhǎng)度L=2a=2mL=2a=2m，材料的彈性模量，材料的彈性模量E=210GPaE=210GPa，許用正應(yīng)力，許用正應(yīng)力=160MPa=160MPa，梁的許可撓度梁的許可撓度/L=1/500/L=1/500。試選擇工字鋼的型號(hào)。試選擇工字鋼的型號(hào)。aL2BACaL2q1.按強(qiáng)度選擇按

17、強(qiáng)度選擇 maxMW 232qa36 .140 cm查表：選查表：選16號(hào)工字鋼號(hào)工字鋼34141,1130cmWcmIzz2.按剛度選擇按剛度選擇aL2BACaL2qqBACq321maxBBBZBEIaq8241ZEIqa42CB2ZEIqa84aCBq3aEIqaZ63ZEIqa64ZEIqa24414ZEIqaL48413max5001LEqaIZ2425041343050cm查表：選查表：選22a號(hào)工字鋼號(hào)工字鋼34309,3400cmWcmIzz純彎曲時(shí)梁的純彎曲時(shí)梁的彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能為：為：EIlMV22橫力彎曲時(shí)梁的橫力彎曲時(shí)梁的彎曲應(yīng)變能彎曲應(yīng)變能為：為： lxEIxMV

18、d22梁彎曲時(shí)的位移梁彎曲時(shí)的位移第五節(jié)第五節(jié) 梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能FBAl例五例五 計(jì)算圖示懸臂梁的彎曲應(yīng)變能，并計(jì)算計(jì)算圖示懸臂梁的彎曲應(yīng)變能，并計(jì)算B點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度vB，已知梁的彎曲，已知梁的彎曲剛度為剛度為EI。 解：解： 1、梁任一截面的彎矩為：、梁任一截面的彎矩為：2、彎曲應(yīng)變能為：、彎曲應(yīng)變能為：3、計(jì)算、計(jì)算B點(diǎn)的撓度點(diǎn)的撓度 xlFxMEIlFFvVWB62132 llEIlFxEIxlFxEIxMV0322226d2d2EIFlvB33vB0Bv08343EIqlEIlFB83qlFB 分析：分析： yE RrErRrEyE maxmax 分析：分析：zEIx

19、Mx)()(1 3 3、與小撓度微分方程與小撓度微分方程 相對(duì)應(yīng)的坐相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系為標(biāo)系為 （ ） ？)(xMvEIzxy(a)xy(b)xy(c) (d) xy 、 分析：分析：y坐標(biāo)向下坐標(biāo)向下FAB 分析：分析：EIFlvB33FAB 分析：分析：EIFlvB33llFABCllFABCFEIFlB2 q qEIFlB252 q q0 Bq qEIFlB353 q q4Pam 0 Bq qEIPlB322 q qEIPlB232 q qEIPlB2 q q A 分析：分析：EIqlv84 分析：分析： 分析：分析：113max148IEFlw 223max248IEFlw 112max1

20、16IEFl q q222max216IEFl q q2211IEIE 梁AB因強(qiáng)度和剛度不足，用同一材料和同樣截面的短梁AC加固，如圖所示。試求(1)而梁接觸處的壓力 .CF(2)加固后AB梁的最大彎矩和B點(diǎn)的撓度減少的百分?jǐn)?shù)。 荷載F作用在梁AB及CD的連接處，試求每根梁在連接處所受的力。已知其跨長(zhǎng)比和剛度比分別為2321ll5421EIEI和和一、合理配置梁的荷載和支座一、合理配置梁的荷載和支座以減小最大彎矩以減小最大彎矩1、將荷、將荷載分散載分散2、合理設(shè)、合理設(shè)置支座位置置支座位置梁的合理設(shè)計(jì)梁的合理設(shè)計(jì)Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M圖圖+Pl/8M

21、圖圖Pl/8qlABql2/8M圖圖+q3l/5ABl/5l/5M圖圖+-ql2/40ql2/50ql2/50彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力maxmax MWZEIlvn二、合理選取截面形狀以增大抗彎截面系數(shù)二、合理選取截面形狀以增大抗彎截面系數(shù) 最大彎曲正應(yīng)力與抗彎截面系數(shù)成反比；梁所消耗的材料最大彎曲正應(yīng)力與抗彎截面系數(shù)成反比；梁所消耗的材料與橫截面的面積成正比。所以合理的截面應(yīng)該是抗彎截面系與橫截面的面積成正比。所以合理的截面應(yīng)該是抗彎截面系數(shù)大，橫截面的面積小。數(shù)大，橫截面的面積小。面積相同時(shí)：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形面積相同時(shí)：工字形優(yōu)于矩形，矩形優(yōu)于正方形；環(huán)形優(yōu)于圓形。優(yōu)于圓形。彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力AW通常以通常以 為指標(biāo)為指標(biāo)，應(yīng)盡可能增大這個(gè)比值。，應(yīng)盡可能增大這個(gè)比值。dAW1250.hAW1670.hAW)31. 027. 0(zz max min應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力應(yīng)盡量使拉、壓應(yīng)力同時(shí)同時(shí)達(dá)到最大值。達(dá)到最大值。21maxmaxctctyyy1Pzy2C截面形狀和材料特性應(yīng)與材料特性相適應(yīng)截