專轉(zhuǎn)本第九章級數(shù)ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級數(shù)及其收斂法正項(xiàng)級數(shù)及其收斂法u 正項(xiàng)級數(shù)及其收斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中各中各若若01 nnnuu則稱此級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù).對對正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)，有有2.2.正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件: :正項(xiàng)級數(shù)收斂的基本定理正項(xiàng)級數(shù)收斂的基本定理.部部分分和和數(shù)數(shù)列列有有界界正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù)收收斂斂 nsss21注：注：正項(xiàng)級數(shù)收斂的本質(zhì)正項(xiàng)級數(shù)收斂的本質(zhì) un 0足夠快。足夠快。. 11nnnnnnvuvu 級級數(shù)數(shù)，且且為為、正項(xiàng)3.比較審斂法比較審斂法則則 收收斂斂1nnv 發(fā)發(fā)散散1nnu;1收收斂斂 nn

2、u.1發(fā)發(fā)散散 nnv重要參照級數(shù)重要參照級數(shù): :等比級數(shù)等比級數(shù), p-, p-級數(shù)。級數(shù)。極限形式極限形式: :. lim 11lvuvunnnnnnn 同同上上，且且和和則則 收收斂斂nv;收收斂斂 nu)1(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) l 收收斂斂nu;收收斂斂 nv)2(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 l收收斂斂 nu.收收斂斂 nv)3(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 0 l注注: :須有參照級數(shù)須有參照級數(shù). 比較審斂法的不方便比較審斂法的不方便 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級級數(shù)數(shù),1,1ppp結(jié)論: .,1;,10發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)qqaqnn解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1

3、 發(fā)散發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,nn收收斂斂而而 131故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.5 5. .比比值值審審斂斂法法( (達(dá)達(dá)朗朗貝貝爾爾判判別別法法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), , )(lim1 為為數(shù)數(shù)或或 nnnuu, , 則則1 時(shí)時(shí), ,收收斂斂; ; 6 6. .根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) )： 設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項(xiàng)項(xiàng)級級數(shù)數(shù), , nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)或或 , , 則則1 時(shí)時(shí), ,收收斂斂; ; 1 時(shí)時(shí), ,發(fā)發(fā)散散. . 由項(xiàng)的比值或根值的極限值確定級數(shù)的收斂性由項(xiàng)的比值或根值的極限值

4、確定級數(shù)的收斂性. . 比值審斂法、根值審斂法的優(yōu)點(diǎn)比值審斂法、根值審斂法的優(yōu)點(diǎn): :1 時(shí)時(shí), ,發(fā)散發(fā)散. . ( ( 1 時(shí)時(shí)失失效效) ) （1 時(shí)失效）時(shí)失效） 注意注意:當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí)比比值值（根根值值）審審斂斂法法失失效效。 ,11 npnp 級級數(shù)數(shù)對對例例nnnuu1 lim 總有總有nnnu lim . 1 解解!1)!1(11nnuunn 11 n0.收斂收斂1 !1010)!1(11nnuunnnn 101 n.發(fā)發(fā)散散(2) 110!nnn; 解解(3) 11nnn; nnnulim0 nn1lim.收斂收斂解解.)12(21 )4(1 nnn解解)22()12(2)1

5、2(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效.根值審斂法也一定失效根值審斂法也一定失效.改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn nnnn2) 12(1 lim 2 或或4/1 .收收斂斂第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級數(shù)任意項(xiàng)級數(shù) 交錯(cuò)級數(shù)及其收斂法 絕對收斂與條收收斂一、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法一、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù)正、負(fù)項(xiàng)相間的級數(shù)稱為交錯(cuò)級數(shù). .nnSSr稱為級數(shù)余項(xiàng) nn1) 1(41312111,.)2 , 1( ;111).(1nunnuinn01limlim).(nuiinnn收斂且S0,使得當(dāng) |x|R 時(shí)它發(fā)散注:

6、三種收斂情形:(1) 僅在 x = 0 處收斂;(2) 在 內(nèi)處處收斂;),(3) 在(R,R )內(nèi)收斂,端點(diǎn)另外討論收斂區(qū)間R收斂半徑收斂半徑R= 0R= + 2.收斂半徑的求法定理21limnnnaaR(證明略)例 求收斂半徑和收斂域11) 1().1 (nnnnx1limnnnaaR1111limnnnx =1 時(shí)111) 1(nnn收斂； x =1時(shí))1(1nn收斂域是(1，1發(fā)散1limnnnaaR1limnnnaaR1!).3(nnxn0!).2(nnnx0)!1(!limnnn)!1(1!1limnnn 收斂域是(，）僅在 x =0 點(diǎn)收斂11)2() 1().4(nnnnx設(shè)

7、x2 t ,由(1)知11) 1(nnnnt收斂域是(1,3收斂域是(1,1023).5(nnnx令2xt 00233nnnnnntx1limnnnaa33131lim1nnnt =3 時(shí)t =3時(shí)11n發(fā)散1) 1(nn發(fā)散收斂域是(3,3)收斂域是)3,3(0123).6(nnnx缺少偶次項(xiàng),無法用公式，可以用比值法求Rnnnuu1lim212132|3133limxxxnnnnn1時(shí),發(fā)散.則收斂區(qū)間為3x時(shí),發(fā)散.)3,3(注:缺少奇次項(xiàng),也可以用此方法.1)2(31).7(nnnnnx31) 1(3213321lim) 1()2(3)2(3lim111nnnnnnnnnnnn.312

8、11)2(3331處發(fā)散所以原級數(shù)在點(diǎn)發(fā)散，且時(shí)，因?yàn)楫?dāng)xnnnxnnnn.31)2(32) 1(,1)2(321) 1(1)2(3)3(311處收斂點(diǎn)都收斂，所以原級數(shù)在與且時(shí)，由于當(dāng)xnnnnnxnnnnnnnnnnnnn)3 , 3(, 3收斂區(qū)間為所以收斂半徑為1limnnnuu1R因?yàn)槿?冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.四則運(yùn)算性質(zhì)0)(nnnxgxb)(0 xfxannn設(shè)收斂半徑分別為 和 ,記1R2R,min21RRR 則對于任意的 , 有),(RRx)()()().1 (000 xgxfxbaxbxannnnnnnnnn)()()()().(2(0011000 xgxf

9、xbababaxbxannnnnnnnnnn 利用乘法可以定義除法000)()(nnnnnnnnnxcxbxa000nnnnnnnnnxcxbxa那么注意,商級數(shù)的收斂半徑可能比原來要小得多2. 分析運(yùn)算性質(zhì))(0 xSxannn設(shè)收斂半徑為R, 那么(1) S(x) 在收斂域內(nèi)連續(xù);(2) S(x) 在(-R,R)內(nèi)可導(dǎo),且0100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo),所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.可推廣到任意階導(dǎo)數(shù)(3) S(x)在(-R,R)內(nèi)可積,且 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS即冪級數(shù)在(-R,R)內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,所得到的冪級數(shù)收斂半徑不變.注意:(2),(3)中端點(diǎn)需要另外討論.例 求和函數(shù)1).1 (nnnx設(shè)和函數(shù)為