常微分方程 第4章 高階微分方程小節(jié)

1、小結(jié)：小結(jié)：1. 初值問題初值問題解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理:一一. 線性微分方程的一般理論線性微分方程的一般理論1111(1)(1)(1)000000( )( )( )( )( ),( ),( ).nnnnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdtx tx x txxtx 設(shè)設(shè)12( ),( ),( ),( )na t a ta tf t在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), 則對則對(1)( )0000 , ,nta bx xx 初值問題在初值問題在,ba上存在唯一解上存在唯一解.2. 齊次線性微分方程齊次線性微分方程 (4.2) 與非齊次線性微分方程與非齊次線性微分

2、方程 (4.1) 的解的結(jié)構(gòu)的解的結(jié)構(gòu)1111( )( )( )( )(4.1)nnnnnnd xdxdxa tata t xf tdtdtdt 1111( )( )( )0(4.2)nnnnnnd xdxdxa tata t xdtdtdt 2.1. 疊加原理疊加原理: 12( ),( ),( )mx tx txt為為 (4.2) 的解的解, 則則1 122( )( )( )mmc x tc x tc xt也為也為 (4.2)的解的解.12( ),( ),( )nx tx tx t2.2. 由由 (4.2) 的解的解構(gòu)成的朗斯基行列式構(gòu)成的朗斯基行列式12( ),( ),( ) ( )nW

3、x tx tx tW t簡記為在在 ,ba 上或者恒為上或者恒為 0, 或者處處不為或者處處不為 0.線性相關(guān)線性相關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)00( )0, , .W tta b00( )0 , .W tta b，12( ),( ),( )nx tx tx t12( ),( ),( )nx tx tx t12( ),( ),( )nx tx tx t2.3. 為為 (4.2) 的的 即為基本解組即為基本解組, 則則 (4.2) 的通解的通解可表為可表為n1 122( )( )( )( )nnx tc x tc x tc x t且通解包含了且通解包含了(4.2)的所有解的所有解.個(gè)線性無關(guān)的解個(gè)線性無關(guān)

4、的解, 2.4. (4.1) 的兩解之差為的兩解之差為 (4.2) 的的解解.(4.1) 的解與的解與 (4.2) 的解之和為的解之和為 (4.1)的解的解.設(shè)設(shè) 為為(4.2) 的的基本解組基本解組, ( )x t為為 (4.1) 的一個(gè)特解的一個(gè)特解, 則則 (4.1) 的通解為的通解為且通解包含了且通解包含了(4.1)的所有解的所有解.2.5. 12( ),( ),( )nx tx tx t1 122( )( )( )( )+ ( ),nnx tc x tc x tc x tx t常數(shù)變易法常數(shù)變易法: 2.6. ( ),1,2, .iicc tin1 ( )( ) ( ) (4.1),

5、( ),1,2, ,niiiix tc t x tc t in將代入并取滿足11(2)1(1)1( ) ( )=0( ) ( )=0( )( )=0( )( )= ( )niiiniiinniiinniiic t x tc t x tc t xtc t xtf t( )( ),1,2, , ( )( ),1,2, ,iiiiic ttinc tt dtc in求出再積分得到1111.0nnnnnnd xdxdxaaa xdtdtdt 二二 常常系系數(shù)數(shù)齊齊次次線線性性微微分分方方程程: : 的的基基本本解解組組的的求求法法：1110nnnnFaaa+相相應(yīng)應(yīng)的的特特征征方方程程為為( )=(

6、)=11(4.1)( )( )( )( ).nniiiiiix tc x tx tt dt最后求得的通解2111,.)cos,sin,cos,sin,cos,sin.tttktttttktktkktttkkktt tt tttt tt 若若 為為 重重實(shí)實(shí)根根，對對應(yīng)應(yīng)微微分分方方程程的的 個(gè)個(gè)線線性性無無關(guān)關(guān)的的解解 eeee eeee若若 為為 重重復(fù)復(fù)根根: = +i: = +i ，( =i( =i 也也為為 重重復(fù)復(fù)根根 ，對對應(yīng)應(yīng)微微分分方方程程的的 對對實(shí)實(shí)值值解解 eeeeee eeeeee.設(shè)設(shè)特特征征方方程程有有特特征征根根121212,).mmmkkkkkknn 設(shè)設(shè)特特征

7、征方方程程的的不不同同特特征征根根為為,，其其重重?cái)?shù)數(shù)分分別別為為,(+,(+它它們們對對應(yīng)應(yīng)微微分分方方程程的的 個(gè)個(gè)的的解解, ,構(gòu)構(gòu)成成微微分分方方程程的的基基本本解解組組. .11111.0.nnnnnnnnd ydydyxa xaxa ydxdxdx 三三 歐歐拉拉方方程程21(ln ),ln |,ln |,ln|.cos(ln |),sin(ln |),ln |cos(ln |),ln |sin(ln |tkkkkkmxe txyxkkkmmxxxxxxxkmkmxxxxxxxxxx 可可通通過過變變換換變變?yōu)闉槌３Ｏ迪禂?shù)數(shù)線線性性齊齊次次方方程程求求解解，或或直直接接令令代代入入

8、方方程程求求得得 值值，根根據(jù)據(jù)不不同同的的 及及其其重重?cái)?shù)數(shù)得得到到基基本本解解組組。當(dāng)當(dāng) 為為 重重實(shí)實(shí)根根時(shí)時(shí)對對應(yīng)應(yīng) 個(gè)個(gè)解解：當(dāng)當(dāng) 為為 重重復(fù)復(fù)根根：+i+i時(shí)時(shí)對對應(yīng)應(yīng)2 2 個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)值值解解：11|),ln|cos(ln |),ln|sin(ln |).mmxxxxxx1111( )nnnnnnd xdxdxaaa xf tdtdtdt 常常系系數(shù)數(shù)非非齊齊次次線線性性微微分分方方程程: :先先求求對對應(yīng)應(yīng)齊齊次次線線性性微微分分方方程程的的通通解解, ,再再求求非非齊齊次次方方四四. .程程的的特特解解. .( )f t 非非齊齊次次線線性性微微分分根根據(jù)據(jù)的的類類型型求求

9、方方程程的的特特解解. .-101-1-101-1:( )(1.().0.kmmmmmmtmtmxtBf tb tbtbttBtBtbeekBkkI =特特解解形形如如 其其中中 由由 是是否否為為特特征征值值確確定定，當(dāng)當(dāng) 為為特特征征值值時(shí)時(shí)， 為為其其重重?cái)?shù)數(shù)，當(dāng)當(dāng) 不不為為特特征征值值時(shí)時(shí)，類類型型 3.( )f tIII 不不屬屬于于類類型型 和和類類型型時(shí)時(shí)，用用常常數(shù)數(shù)變變易易法法求求解解. .:( ) ( )cos( )sin, ( ), ( )( ( )2.0( ),( )cos( )sin,.tktf tA ttB tt eA tB ttmxtP ttP t Q tkQ tektkm +I=I 特特解解形形如如 其其中中次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式由由i i 是是否否為為特特征征值值確確定定，當(dāng)當(dāng) 為為特特征征值值時(shí)時(shí)，為為其其重重?cái)?shù)數(shù)為為，待待定定當(dāng)當(dāng)類類型型 是是 的的最最高高次次數(shù)數(shù)為為不不為為特特征征值值時(shí)時(shí)，的的次次的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式. .( )(1)( )( )( )( ,)0.,.kknkaF t xxxxyk 五五. .可可降降階階的的高高微微分分方方程程: :方方程程形形如如令令方方程程降降低低 階階階階(