二次根式基礎(chǔ)專題

1、二次根式知識(shí)梳理二次根式：形如之0）的式子叫二次根式，其中a叫被開方數(shù)，只有當(dāng)a a是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，A才有意義.二次根式的性質(zhì)1.非負(fù)性：Ji（a20）是一個(gè)非負(fù)數(shù).2、（ja）?=a（a至0）.3 .a2Ha|/a（a-0）-a（a；0）4 .公式Ja24a|=4（）與（Ja）2=a（a之0）的區(qū)別與聯(lián)系-a（a：二0）（1）J/表示求一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù).（2）（上）2表示一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù).（3）和（a）2的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的.最簡(jiǎn)二次根式：被開方數(shù)是整數(shù)，因式是整式；被開方數(shù)中不含能開得盡方的數(shù)或因式.同類二次根式（可合并根式）：幾個(gè)二次根式

2、化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式。分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。有理化因式： 兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘， 如果它們的積不含有二次根式， 就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。有理化因式確定方法如下：1單項(xiàng)二次根式：利用百.Ja=a來確定，如：ja與Ji,Ja+WJa+b,Ja-b與da-b等分別互為有理化因式。2兩項(xiàng)二次根式：利用平方差公式來確定。如a+Jb與a-Jb,+而與-而，a.x，b、,y與a、x-b.y分別互為有理化因式。例.寫出一個(gè)無(wú)理數(shù)，使它與3福的積為有理數(shù);分母有理化的方法與步驟：先將分子、分母化成最

3、簡(jiǎn)二次根式；將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式。二次根式的乘除1.積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。Jab=/,y/by/b(a0,b0)2 .二次根式的乘法法則：兩個(gè)因式的算術(shù)平方根的積，等于這兩個(gè)因式積的算術(shù)平方根。傘.四=Tab.(a0,b0)3 .商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根回二百(a0,b0)Yb而4 .二次根式的除法法則：兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的商，等于這兩個(gè)數(shù)的商的算術(shù)平方根。(a0,b0)二次根式的加減需要先把二次根式化簡(jiǎn)，然后把被開方數(shù)相同

4、的二次根式(即同類二次根式)的系數(shù)相加減，被開方數(shù)不變。二次根式的混合計(jì)算與求值1、確定運(yùn)算順序；2、靈活運(yùn)用運(yùn)算定律；3、正確使用乘法公式；4、大多數(shù)分母有理化要及時(shí)；5、在有些簡(jiǎn)便運(yùn)算中也許可以約分，不要盲目有理化；根式比較大小1、根式變形法當(dāng)a0,b0時(shí)，如果ab,則由和;如果ab,則Ji0,b0時(shí)，如果a2b2,則ab;如果a2b2,則a0ab；a-b0ua0,b0時(shí),則:形如石（儀之 0）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以。之。是而為二次根式的前提條件，如5 5,后二。21）等是二次根式，

5、而7-2,、/-/一7等都不是二次根式。例 1.下列各式一定不是二次根式的是（）A、4a2B、5C、J4x2-4x+1D、v-a2-6例2.下列與根是同類二次根式的是（）A.WB.712C.C.鄧D.D.小-11.判斷下列各式哪些是二次根式（）占6；(2)Jx2-4x+4;(3)vT3x(x0)；(4)歹4X2 .寫出下列各等式成立的條件(1)V4x2=-2x(2) .(x=2)2=2x(3) 3x2一9=x3x-3(4)/、xxx-2x-2(5) ).=;(5).:x-2x-2x-3、x-3x-2Jx-2(5)=*3x-3例 2.下列式子是最簡(jiǎn)二次根式的是()A、領(lǐng)B、-2i：m2+n2C、

6、v0.3x1 .下列根式中不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A.痂B.我C.C.m mD.722.如果最簡(jiǎn)二次根式。3次與市三是同類二次根式，那么a的值是;取值范圍要使二次根式有意義，只要使被開方數(shù)大于或等于零即可。1.二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a皂0時(shí)，石有意義，是二次根式，所以D、2.二次根式無(wú)意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0時(shí),沒有意義。例.若V（x-2）2=（反二2）2,則x的取值范圍是1.當(dāng) x 時(shí)，J3x5有意義。2 .當(dāng) xv2 時(shí)，v（x_2）2=3 ,若衛(wèi)=_1,則a應(yīng)是（）aA、負(fù)數(shù)B、正數(shù)C、非零實(shí)數(shù)D、有理數(shù)4 .二次根式a-1中，字母a的取值范圍

7、是（）A、a1B、a1D、a1.x一2.、，一5 .若使代數(shù)式,有意義，則x的取值范圍是（）3A、xw2B、x2C、x2D、x1D、xW47 .x為何值時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義8.二次根式-/r-/ra a中，字母a的取值范圍是A.av1B.a1D.a19.已知12-n是正整數(shù)，則實(shí)數(shù)n的最大值為A.12B.11C.8D.310.使式子，4-x無(wú)意義的x取值的是;二次根式幾（。之0）的非負(fù)性幾（4之0）表示a的算術(shù)平方根，也就是說，石避之。）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即而之0（口之。）。注：因?yàn)槎胃紾（儀之0）表示a的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0的算術(shù)平方根是0,所以非負(fù)數(shù)（4之0）

8、的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即G之0（儀之o）,這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對(duì)值、偶次方類似。例.若G+忑=0,則a=,b=x(1)44(2)%;4-|x|(4).2x6+一1一(5)3x-1-2x1-x1.若而+8 二,貝Ua=,b=3.已知x、y是實(shí)數(shù)，且滿足y=#-6+,6-x+1（1）求x和y的值；（2）求*+2y*+2y的值。二次根式（石）】的性質(zhì)（能二。（a之。）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式母Y Y= =a a（a20）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若aao,則。二（jzy.例.如2=（/則

9、3=，（面=1.已知一個(gè)正數(shù)的平方根是2x-6和x+3,則這個(gè)數(shù)是;2 .把二次根式3yl中根號(hào)外的因數(shù)移到根號(hào)內(nèi)，結(jié)果是；二次根式的性質(zhì)必二叱-（30）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。注：1、化簡(jiǎn)必時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0,則等于a本身,即47=k|二。（。猶）；若a是負(fù)數(shù)，則等于a的相反數(shù)-a,即而二卜卜一碗）;例.%；（-2f=1 .47中的a的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a取何值，而一定有意義；2 .化簡(jiǎn)正時(shí)，先將它化成N,再根據(jù)絕對(duì)值的意義來進(jìn)行化簡(jiǎn)。3 .如果Jx2+2xy+y2+|x+3|=0,求y-2x的算術(shù)平方

10、根。善=在2成立，則x滿足3-X3-x4 .已知Jx2+10 x+25-3B.b3D.b3(而與M M的異同點(diǎn)表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在函中&之。，而小了中a可以是正實(shí)數(shù)，0,負(fù)實(shí)數(shù)。但與必都是非負(fù)數(shù)，即函20,必之0。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，函丫二狽超,口(口)0)一厘(KO)例.若av0,則Ja2b化簡(jiǎn)為()A、a1/bB、-a-/bC、aq-bD、-ay-b.當(dāng)a時(shí)，Va2=(Va)2二次根式的乘除法基礎(chǔ)知識(shí)1. .計(jì)算：應(yīng)父冊(cè)=;7 73636X X9 9= =2 .10 xy30 xy(x0,y0)=3 .計(jì)算：3 底 2v10b=.4.使等式J(x+1Xx_

11、1)=Tx7Wx+T成立的條件是5.當(dāng)aW0,b40時(shí)，后=。6、若)x3+3x2=xx+3,則x的取值范圍是。7.化簡(jiǎn)二次根式由父3得()A.-543-543B. .5/35/3C. .533533D.308 .若A=a2+4),則 VA=()表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù),即,之0時(shí),(而=總；口0時(shí)，(向1、不同點(diǎn)：(JZ)無(wú)意義，而12.化簡(jiǎn)：(1)%T2(2)772552(3)W2000(4)能力提升14.當(dāng)a=、3時(shí)，則由5+/=.15 .把a(bǔ)J=1的根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)等于。16 .已知收+3x2=-xT+3，則（）（A

12、）x0（B）x-3（D）17 .-2出和-3亞的大小關(guān)系是（）A.-2、3-3-5B.-2,3-3.2C.-2,3=-3.2D.18.計(jì)算：（1）扃，8a（a0）50 x/oy-2A.a4B.222_2,2a2C.a2D.a49.下列名式中計(jì)算正確的是（）A.(/)(_16)=_4_16=_2_4=8B.8a2=4aa.0C.3242=34=7D.412-402=.,4140.,41-40=91=910.若a工1,則J（1-a3化簡(jiǎn)后為（）A.a-1a-1B.1-a1-aC.a-11-aD.11.計(jì)算:3.52.10-4.15(-1v5)(4)2.532-282-3x0,y0)二次根式的加減基

13、礎(chǔ)知識(shí) 11 .把下列各式化成最簡(jiǎn)二次根式:_1：22.6xy.32xy.4(x0,y0)19.化簡(jiǎn):(1)V4a2b3(a0,b0)324.22.4(2)Vx+xy(x0,y0)(3)vab+ab(ab0)能力拓展與探究20. （2006安徽?。┯?jì)算2-V9的結(jié)果是（）A.1B.-1C21. （2007蕪湖市）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為10cm,正方形A的邊長(zhǎng)為6cmB的邊長(zhǎng)為5cm、C的邊長(zhǎng)為5cm,則正方形D的邊長(zhǎng)為（A.14cmB.4cmC.J5cmD.3cm、，8=(2) 25a=(3)80=(4)3.48=6、32.判斷正誤：

14、對(duì)的畫,錯(cuò)的畫“x”(5)2.2+、2=2、2；(6)4:3-.3=3.3.(2)2+.2=22;32-2=3;3.計(jì)算：2、萬(wàn)-6萬(wàn)(2),50+,32、.12+6、2x-、8x基礎(chǔ)知識(shí) 21 .填空：二次根式加減法的法則是：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成相同的二次根式進(jìn)行合并2 .計(jì)算：，20-516a 公（2）丁+63 .計(jì)算:二次根式，再將(1),80-.20+x5(2)、18+,98-J27基礎(chǔ)知識(shí)31 .計(jì)算：；4.40-5.5+102 .計(jì)算：(1),5.2+,7、.12-3752.3(2)3.計(jì)算：(1)、.3+2,3+3(2)2,2+13、2-2基礎(chǔ)知識(shí) 41 .計(jì)算：2.泛.62,3(2)5+、.65-.2-2,32 .填空：(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=2(2)完全平萬(wàn)公式：(a+b)=,(a-b)2=.3 .計(jì)算：4+、74-、,7(2