(完整版)中考圓知識(shí)點(diǎn)經(jīng)典總結(jié)

1、圓知識(shí)點(diǎn)學(xué)案考點(diǎn)一、圓的相關(guān)概念1、圓的定義 在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 隨之 旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn) O叫做圓心，線段 OA 叫做半徑。2、圓的幾何表示 以點(diǎn) O 為圓心的圓記作“ O”，讀作“圓 O”考點(diǎn)二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義（1）弦 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。 （如圖中的 AB ）（2）直徑 經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。 （如途中的 CD） 直徑等于半徑的 2 倍。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓3）半圓4）弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧?；∮梅?hào)“”表示，以 A，B 為端點(diǎn)的弧記

2、作“ ”，讀作“圓弧 AB ”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示） ；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙?個(gè)字母表示） 考點(diǎn)三、垂徑定理及其推論 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。 推論 1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 （2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。 推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。垂徑定理及其推論可概括為：過(guò)圓心垂直于弦直徑 平分弦 知二推三平分弦所對(duì)的優(yōu)弧平分弦所對(duì)的劣弧考點(diǎn)四、圓的對(duì)稱(chēng)性1、圓的軸對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)

3、圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸2、圓的中心對(duì)稱(chēng)性 圓是以圓心為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形?？键c(diǎn)五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理1、圓心角頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距 從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理 在同圓或等圓中， 相等的圓心角所對(duì)的弧相等， 所對(duì)的弦想等， 所對(duì)的弦的弦心 距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心 距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等?？键c(diǎn)六、圓周角定理及其推論1、圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一

4、半。推論 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧 也相等。推論 2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角； 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。 推論 3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角 形?？键c(diǎn)七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè) O的半徑是 r，點(diǎn) P到圓心 O 的距離為 d，則有：d<r 點(diǎn) P在O 內(nèi)；d=r 點(diǎn) P在O 上；d>r 點(diǎn) P在O 外?？键c(diǎn)八、過(guò)三點(diǎn)的圓1、過(guò)三點(diǎn)的圓 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。2、三角形的外接圓 經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心 三角形的外接圓的圓心是三角形三條

5、邊的垂直平分線的交點(diǎn)， 它叫做這個(gè)三角形 的外心。4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件） 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)?？键c(diǎn)九、直線與圓的位置關(guān)系 直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下： （1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的 割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的 切線，（3）相離：直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。 如果 O的半徑為 r，圓心 O到直線 l 的距離為 d, 那么：直線 l 與 O相交 d<r； 直線 l 與 O相切 d=r； 直線 l 與 O相離 d>r；考點(diǎn)十、圓內(nèi)接四邊形圓的

6、內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角即：在 O中， 四邊 ABCD 是內(nèi)接四邊形CA C BAD 180 B D 180 DAE C考點(diǎn)十一、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即： MN OA且MN 過(guò)半徑 OA外端 MN 是 O 的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論 1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。 推論 2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。 以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理： 即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出 最后一個(gè)。B

7、考點(diǎn)十二、切線長(zhǎng)定理 切線長(zhǎng)定理： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng) 相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： PA、 PB是的兩條切線 PA PB ； PO 平分 BPAOPC考點(diǎn)十三、圓冪定理1、相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。 即：在 O中，弦 AB、CD 相交于點(diǎn) P ，B PA PB PC PDA推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑 所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在 O中，直徑 AB CD ，D CE2 AE BE2、切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線， 點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在 O 中， PA 是切線， PB是割線2

8、 PA2 PC PB3、割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線， 這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的 兩條線段長(zhǎng)的積相等（如右圖） 。即：在 O中， PB、 PE是割線 PC PB PD PE考點(diǎn)十四、兩圓公共弦定理圓公共弦定理： 兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦 如圖： O1O2垂直平分 AB 。即： O1、 O2相交于 A、 B兩點(diǎn) O1O2 垂直平分 AB考點(diǎn)十五、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：（1）公切線長(zhǎng)： Rt O1O2C中， AB2 CO12 O1O22 CO22 ；（2）外公切線長(zhǎng)： CO2 是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)： CO2是半徑之和考點(diǎn)十六、三角形的內(nèi)切圓和外接圓1

9、、三角形的內(nèi)切圓 與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。2、三角形的內(nèi)心 三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi) 心?？键c(diǎn)十七、圓和圓的位置關(guān)系1、圓和圓的位置關(guān)系 如果兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。 如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)， 那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相切， 相切分為外切和內(nèi)切兩種 如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說(shuō)這兩個(gè)圓相交。2、圓心距 兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定 設(shè)兩圓的半徑分別為 R 和 r，圓心距為 d，那么 兩圓外離 d>R+r 兩圓外切 d=R+r 兩圓相交 R-r<d&

10、lt;R+r（ Rr） 兩圓內(nèi)切 d=R-r （R>r） 兩圓內(nèi)含 d<R-r （R>r）4、兩圓相切、相交的重要性質(zhì)如果兩圓相切， 那么切點(diǎn)一定在連心線上， 它們是軸對(duì)稱(chēng)圖形， 對(duì)稱(chēng)軸是兩圓的 連心線；相交的兩個(gè)圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦?？键c(diǎn)十八、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算1、正多邊形的定義各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關(guān)系只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧， 就可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形， 這個(gè)圓就 是這個(gè)正多邊形的外接圓。3、正三角形在 O 中 ABC 是 正 三 角 形 ， 有 關(guān) 計(jì) 算 在 Rt BOD 中 進(jìn) 行 ：OD :BD :OB

11、1: 3:2；COD4、正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在 Rt OAE 中進(jìn)行， OE: AE:OA 1:1: 2 ：5、正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAB中進(jìn)行， AB : OB: OA 1: 3: 2.考點(diǎn)十九、與正多邊形有關(guān)的概念1、正多邊形的中心 正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心。 2、正多邊形的半徑 正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距 正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。4、中心角 正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)正多邊形的中心角 考點(diǎn)二十、正多邊形的對(duì)稱(chēng)性1、正多邊形的軸對(duì)稱(chēng)性 正多邊形都是軸

12、對(duì)稱(chēng)圖形。 一個(gè)正 n 邊形共有 n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正 n 邊形的中心。2、正多邊形的中心對(duì)稱(chēng)性 邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)中心是正多邊形的中心。3、正多邊形的畫(huà)法先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形 考點(diǎn)二十一、弧長(zhǎng)和扇形面積nr1801、弧長(zhǎng)公式 n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng) l 的計(jì)算公式為 l2、扇形面積公式S扇 n R2 1lR扇 360 2其中 n 是扇形的圓心角度數(shù)， R 是扇形的半徑， l 是扇形的弧長(zhǎng)3、圓錐的側(cè)面積1S l ?2 r rl2其中 l 是圓錐的母線長(zhǎng)， r 是圓錐的地面半徑bc1) 三角形內(nèi)切圓的圓心是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，它到三邊的距離相等。2) ABC中， C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑 r