第三章 隨機向量

1、1第三章第三章隨機向量隨機向量主頁主頁 退出退出 2例：射擊彈著點的位置例：射擊彈著點的位置。須由平面直角坐標系的兩個坐標確定須由平面直角坐標系的兩個坐標確定定義定義2.4：設：設E為隨機試驗，樣本空間為為隨機試驗，樣本空間為 ，X和和Y是定義在是定義在 上的上的 兩個隨機變量，向量（兩個隨機變量，向量（ X，Y）稱為二維稱為二維隨機變量隨機變量 由于這些隨機變量共處于同一隨機試驗中，它們是相互由于這些隨機變量共處于同一隨機試驗中，它們是相互聯(lián)系的，因此單獨研究某一個是不夠的，必須考慮各個變量聯(lián)系的，因此單獨研究某一個是不夠的，必須考慮各個變量的相互關系，把其作為一個整體（即隨機變量）來討論。

2、的相互關系，把其作為一個整體（即隨機變量）來討論。同時擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)。同時擲兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)。須由兩個隨機變量來描述須由兩個隨機變量來描述 對于二維對于二維隨機變量隨機變量（ X，Y），），既要研究（既要研究（ X，Y）作為作為整體的分布及相互關系，又要研究它們自身的分布整體的分布及相互關系，又要研究它們自身的分布 。一一 二維隨機變量的定義二維隨機變量的定義3 二二 二維隨機變量的分布二維隨機變量的分布 1 1 二維隨機變量的聯(lián)合分布二維隨機變量的聯(lián)合分布定義定義 設（設（ X，Y）為二維為二維隨機變量，對于任意的隨機變量，對于任意的x，y， 二元函數(shù)二元函數(shù) F(x ,y)=p(X

3、 x ,Y y) 稱為稱為（ X，Y）的分布函數(shù)?；虻姆植己瘮?shù)。或稱為稱為 X與與Y的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù)的幾何含義：聯(lián)合分布函數(shù)的幾何含義： 聯(lián)合分布函數(shù)在點聯(lián)合分布函數(shù)在點(x , y)處的函數(shù)值處的函數(shù)值F(x , y) 就表示隨機點落在以就表示隨機點落在以(x ,y)為頂點的左下方的無窮矩形區(qū)域為頂點的左下方的無窮矩形區(qū)域 ( u x , x1時，時，F(xiàn)(x2 , y)F(x1 , y)對任意固定的對任意固定的 x，當當 y2 y1時，時，F(xiàn)(x , y2) F(x , y1)4oxx1 x2 yy1 y2 (2) 對任意的對任意的 x 和和 y 都有：都有：0 F

4、(x , y) 10 )y,x()y,(limxFF0 )y,x(),x(limyFF1 )y,x(),(limyxFF(x , y) xyo (3) 當當 x1 x2 ， y1 y2 時，有時，有 P(x1X x2 , y1Y y2) = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1)0 )y,x(),(limyxFF5 定義：二維隨機變量定義：二維隨機變量 (X,Y ) 中，隨機變量中，隨機變量X（或或Y）自身的自身的 分布稱為分布稱為(X ,Y )關于關于X （或或Y）的邊緣分布。的邊緣分布。 結論：設結論：設(X , Y ) 的的聯(lián)合分布函數(shù)

5、為聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x , y)，則有則有),x( F)y,()y,x()yY,X()yY()y(limxYRFFPPF (y )y, x(limyF )Y, xX( P)xX( P )x(XF)xR ( 2 邊緣分布邊緣分布邊緣分布函數(shù)：邊緣分布函數(shù)：X的分布函數(shù)的分布函數(shù) FX (x) 和和 Y的分布函數(shù)的分布函數(shù)FY ( y)邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)可由可由聯(lián)合分布函數(shù)確定。聯(lián)合分布函數(shù)確定。63 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性 定義：二維隨機變量定義：二維隨機變量 (X , Y ) 中，聯(lián)合分布函數(shù)和中，聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布邊緣分布 函數(shù)分別為函數(shù)分別為F(x，y)， FX (x

6、)，F(xiàn)Y ( y）。若滿足若滿足 F(x，y)=FX (x)FY ( y） 則稱隨機變量則稱隨機變量 X 和和 Y 相互獨立。相互獨立。78定義：如果二維隨機變量定義：如果二維隨機變量 (X , Y ) 所有可能取的數(shù)對是所有可能取的數(shù)對是 有限個或可列個，則稱有限個或可列個，則稱 (X , Y ) 為為二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量。 1 二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布 y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X X 設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量(X , Y )所有可能取的

7、數(shù)對為所有可能取的數(shù)對為 (x i , y j ) (i , j = 1, 2, ) 則則 P (X = x i ，Y = y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )稱為二維離散型隨機變量稱為二維離散型隨機變量(X , Y )的的聯(lián)合概率函數(shù)聯(lián)合概率函數(shù)或或聯(lián)合分布聯(lián)合分布。(X , Y )的的聯(lián)合分布表：聯(lián)合分布表：(1) pi j 0 , i , j = 1 , 2 , 聯(lián)合概率分布的性質聯(lián)合概率分布的性質(2)1 ijjip9（ X , Y）的可能取值為：（的可能取值為：（i，j），）， i，j=1，2，3例：例： 盒中裝有標號盒中裝有標號1 1，2 2，2 2，3 3

8、的的4 4個個球，從中任取一個并球，從中任取一個并且不再放回，然后再從盒中任取一球。以且不再放回，然后再從盒中任取一球。以X , Y分別記為第一，分別記為第一，二次取到球上的號碼數(shù)，求（二次取到球上的號碼數(shù)，求（ X , Y）的聯(lián)合分布。的聯(lián)合分布。解：解： P(X=1,Y=1)= P(X=1,Y=2)= P(X=1,Y=3)= P(X=2,Y=1)= P(X=2,Y=2)= P(X=2,Y=3)= P(X=3,Y=1)= P(X=3,Y=2)= P(X=3,Y=3)= 0 0613241 1213141 613142 613142 613142 1213141 613241 11Y X 01

9、/ 121/ 61/ 61/ 61/ 6 1/ 1201/ 62332（ X , Y）的聯(lián)合概率分布表：的聯(lián)合概率分布表：(X , Y )的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) yy ,xxijjyy ,xxijijip)yY,xX(p)yY,xX(p)y,x(F10設二維隨機變量設二維隨機變量(X , Y )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 P (X = x i ，Y= y j ) = p i j (i , j = 1, 2, )(jij ijppyY2)( P y jy 2y 1x 1x 2x ip 11p 12p 1jp 21p 22p 2jp i1p i2p i j Y X X 1 p i(1) 行

10、和行和 p1(1) p2(1) pi(1) pj (2) 列和列和 p1(2) p 2(2) pj(2)則則2 二維離散型隨機變量的邊緣分布二維離散型隨機變量的邊緣分布()iP Xx jjip )(ip1 稱為二維隨機變量稱為二維隨機變量(X , Y )關于關于X , Y的邊緣分布的邊緣分布11注意：聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，邊緣分布不能唯一地注意：聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，邊緣分布不能唯一地 確定聯(lián)合分布。確定聯(lián)合分布。二維隨機變量二維隨機變量(X , Y )關于關于X , Y的邊緣分布的邊緣分布x x1 1XP P2 2(1)(1)P P1 1(1)(1)P Pi i(1)(1)x xi

11、i.x x2 2P Pi i(1)(1).y y1 1YP P2 2(2)(2)P P1 1(2)(2)P Pj j(2)(2)y yj j.y y2 2P Pj j(2)(2).11Y X 01/ 121/ 61/ 61/ 61/ 6 1/ 1201/ 62332例：（例：（X , Y）的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布求：求：X , Y的邊緣分布的邊緣分布解：解：X , Y的邊緣分布的邊緣分布1pX 1/21/41/4321pY 1/21/41/432那么其邊緣分布函數(shù)為：那么其邊緣分布函數(shù)為： xx)(iXip)xX(p(x)1F yy)(jYjp)yY(p(y)2F123 隨機變量隨機變量X

12、 , Y的獨立性的獨立性離散型隨機變量離散型隨機變量X , Y 獨立的充要條件是對一切獨立的充要條件是對一切 i , j = 1, 2, 都有都有 pi j = pi（1） pj（2）即：即： P(X = x i ,Y= y j )=P (X = x i ) P(Y= y j ) (i , j = 1, 2, )1314定義：定義： 設二維隨機向量設二維隨機向量(X ,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x , y)。 如果如果存在非負可積函數(shù)存在非負可積函數(shù) f (x , y)，使得使得則稱則稱 (X , Y) 為為二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量，f (x, y) 稱為稱為 (X , Y

13、 ) 的聯(lián)合的聯(lián)合概率密度函數(shù)，概率密度函數(shù)，或簡稱或簡稱聯(lián)合密度。聯(lián)合密度。 x-y-dxdy)y,x(fyx, )(F1 聯(lián)合密度函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)l 二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度的基本性質二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合密度的基本性質(1) f (x, y) 0 x , y R(2)1 -xoydxdy)y,x(fdxdy)y,x(f平平面面)y,x(fyx )(Fxy,15 ba)x()x(Gdy)y,x(fdxdxdy)y,x(fYX2 1 )(G,P給出聯(lián)合密度給出聯(lián)合密度 f (x, y) 后，事件后，事件 (X ,Y) G的的概率都可用概率都可用二重積分表示，然后化為累次積分計算二重積分

14、表示，然后化為累次積分計算 OxyabG 1 1(x) 2 2(x)當當 G 為長方形時，為長方形時， badcdx)y,x(fdxdYcbXa)(,POxyabGcd將將“”改為改為“ ”上式仍然成立。上式仍然成立。例：例：(均勻分布均勻分布)設二維隨機向量設二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =c, ( x , y) G G 0 , 其他其他求：求： 常數(shù)常數(shù) c 解解 平平面面xoydxdy)y,x(f Gdxdy)y,x(f Gcdxdy1 GcSGSc1 16例：設二維隨機向量例：設二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x,

15、y) =ce - 3(x + y), 0 x + , 0 y + 0 , 其他其他求：求：(1) 常數(shù)常數(shù) c ; (2) 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域落入右上圖所示三角形區(qū)域 G 內的概率。內的概率。解解19131310303003003 ccdyedxecdyedxcdxdycedxdy)y,x(fyx)yx()yx(OxyG11x+y=1c = 9 xydudv)v ,u(fy,x)F( xy)vu(dudve003 9(2)當當 0 x + , 0 y + 時時 )F(y,x xy)vu(dvedu003 9當當 x ,

16、y 不都大于不都大于0 時時0 xydudv)v ,u(fy,x)F(= yxeeyx0 , 0 , )1)(1(33其其他他 , 0)F(y,x)e)(e(yx3311 xyvudvedue003 3 33(x , y) xyo17 dxdy)y,x(fY,XGGP)(求：求：(1) 常數(shù)常數(shù) c ; (2) 聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù) F(x , y) ; (3) (X ,Y)落入右上圖所示三角形區(qū)域落入右上圖所示三角形區(qū)域 G 內的概率。內的概率。例：設二維隨機向量例：設二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =ce - 3(x + y), 0 x + ,

17、0 y + 0 , 其他其他解：解：(3)dyedx)yx( 39 1033313103413313edx)ee(dxeex)x(xOxy1y=1-x1x1- x 0 0 1 18 設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為聯(lián)合密度為 f (x , y) ， dy)y,x(f)x(fX稱稱 fX (x) 是是 (X ,Y)關于關于X 的的邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)。 把把 dx)y,x(f)y(fY稱為稱為(X ,Y)關于關于Y的的邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)。 2 邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù)求：求：邊緣密度函數(shù)邊緣密度函數(shù) 例：設例：設(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f

18、 (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x ，y 0時時 dy)y, x(f)x(fX 039dye)yx( 03333dyeeyxxe33 fX (x) =3e - 3x , 0 x + 0 , 其他其他 fY (y) =3e - 3y , 0 y R時時 dy)y,x(f)x(fX當當 x R時時 dy)y,x(f)x(fX 222221xRxRdyR 2222RxR )x(fXRxRxR2222 0 x R)y(fYRyRyR2222 0 y R203 連續(xù)型隨機變量的獨立連續(xù)型隨機變量的獨立性性 設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量(X ,Y)聯(lián)合密度為聯(lián)合密度為 f

19、(x , y) ，邊緣密度函數(shù)為邊緣密度函數(shù)為fX (x) , fY (y) ，若若f (x , y)= fX (x) fY(y) ，則則X ,Y獨立獨立例：設例：設 (X, Y) f (x, y)=2222 1RyxR判斷判斷X，Y是否獨立是否獨立 0 其他其他解：解：RxRRx , 2222 0 其他其他 )(xfXRyRRy , 2222 )(yfY 0 其他其他f (x , y) fX(x) fY(y) ，則則X，Y不獨立不獨立例：設二維隨機向量例：設二維隨機向量(X ,Y)具有概率密度：具有概率密度： f (x, y) =9e - 3(x + y), 0 x + , 0 y + 0

20、, 其他其他 fX (x) =3e - 3x , 0 x + 0 , 其他其他 fY(y) =3e - 3y , 0 y + 0 , 其他其他f (x , y)= fX (x) fY (y) ，則則X ,Y獨立獨立21結論結論 ： 當當隨機變量隨機變量 X 與與 Y 獨立，邊緣分布唯一確定聯(lián)合分布獨立，邊緣分布唯一確定聯(lián)合分布.定理定理 )y(f)x(f)y,x(fYX 當當隨機變量隨機變量 X 與與 Y 獨立，則獨立，則g(X )與與h(Y ) 獨立獨立.223.3 二維隨機變量函數(shù)的分布 若存在二元函數(shù)若存在二元函數(shù) z = g(x, y)，使得對二維隨機變量使得對二維隨機變量 (X ,Y

21、)的每一取值的每一取值 (x, y)，隨機變量隨機變量Z 的相應取值為的相應取值為 z = g(x, y)，則稱隨機變量則稱隨機變量Z是隨機變量是隨機變量 (X ,Y ) 的函數(shù)，記作的函數(shù)，記作Z = g(X ,Y )。由由 (X ,Y ) 的分布求出的分布求出 Z=g(X ,Y )的分布呢？的分布呢？ 例：例： Z=X+Y23 例：對一塊長方形的土地進行測量，用隨機變量例：對一塊長方形的土地進行測量，用隨機變量 X 與與 Y 分別表示其長與寬的測量值。已知分別表示其長與寬的測量值。已知 (X, Y) 的聯(lián)合分布如表的聯(lián)合分布如表 6，求土地的面積求土地的面積 Z 的概率分布。的概率分布。

22、因為因為 Z=XY ，所以所以 Z 的可能取值是的可能取值是 20, 20.4, 21, 21.42。解：解：于是，于是，Z 的概率函數(shù)如表的概率函數(shù)如表 7 所示。所示。20 20.4 21 21.420.2 0.3 0.4 0.1ZP表表7 P(Z=20)=P(X=5, Y=4)=0.2 Y X5 4 4.20.2 0.4表表65.1 0.3 0.1 P(Z=20.4)=P(X=5.1, Y=4)=0.3 P(Z=21)=P(X=5, Y=4.2)=0.4 P(Z=21.42)=P(X=5.1,Y=4.2)=0.11 1 二維二維離散型隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布24 例：已

23、知例：已知 (X ,Y ) 的聯(lián)合分布如表的聯(lián)合分布如表 求求Z= X + Y 的概率分布。的概率分布。 因為因為 Z=X + Y ，所以所以Z 的可能取值是的可能取值是 1,2,3,4,5解：解：于是，于是， Z 的概率函數(shù)如表所示。的概率函數(shù)如表所示。1 2 3 4 50.1 0.25 0.27 0.38 0ZP表表7 P(Z=1)=P(X=0, Y=1)=0.110Y X00.020.180.20.050.20.150.10.11232 P(Z=2) =P(X=0, Y=2)+P(X=1, Y=1)=0.2+0.05=0.25P(Z=3)=P(X=0, Y=3)+P(X=1, Y=2)+

24、P(X=2, Y=1) =0.15+0.1+0.02=0.27 P(Z=4)=P(X=1, Y=3)+P(X=2, Y=2)=0.2+0.18=0.38 P(Z=5)=P(X=2, Y=3)=025 例：若隨機變量例：若隨機變量 X 與與 Y 相互獨立相互獨立，它們都取非負整數(shù)值，它們都取非負整數(shù)值，概率函數(shù)分別為概率函數(shù)分別為 P ( X = k ) = a k (k = 0, 1, 2, ) P ( Y = k ) = b k (k = 0, 1, 2, )求求 Z = X + Y 的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。解：解：)ir, i(), r()r,()r,()r(ri 0 1 1 00YXYX

25、YXYXZ) , ( )( 0 irirri YXPZP)ir()i(ri 0 YPXP(r = 0, 1, 2, ) 此即求獨立離散型隨機變量和的分布的公式，稱為離此即求獨立離散型隨機變量和的分布的公式，稱為離散型獨立隨機變量和的散型獨立隨機變量和的卷積公式卷積公式，亦稱為，亦稱為褶積公式褶積公式。=a 0br+ a 1br-1+ a r b026 例：設隨機變量例：設隨機變量 X 與與 Y 相互獨立相互獨立，XB(n, p)，YB(m, p)求求 Z = X + Y 的分布。的分布。 因為因為 XB(n , p)，YB(m , p)，所以有所以有解：解：所以，所以，Z = X + Y B (n + m , p)niqpCiXPiniin , , 2 , 1 , 0 ,)( mn,r,qpCCCqpqpCqpC)irY,iX(P)rZ(Prmnrrmnririirminr