數(shù)字信號處理模擬濾波器設計無限脈沖響應數(shù)字濾波器ppt課件

1、5.1 模擬濾波器根本概念及設計方法模擬濾波器根本概念及設計方法 輸入、輸出均為模擬信號的濾波器即模擬濾波器。通常用幅頻呼應和相頻呼應來表征一個濾波器的特性。對幅頻呼應，通常把可以經(jīng)過的信號的頻率范圍定義為通帶，而把受阻或衰減的信號頻率范圍稱為阻帶，通帶和阻帶的界限頻率稱為截止頻率。按照通帶和阻帶的相互位置不同，模擬濾波器可分為低通、高通、帶通和帶阻四類。 圖5.1 各種理想濾波器的幅頻特性 )(jaH低通帶通帶阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c模擬濾波器的設計方法模擬濾波器的設計方法 模擬濾波器的設計就是要將一組規(guī)定的設計要求，轉換為相應的模模擬濾波器的設計就是要將一組規(guī)定的設計要

2、求，轉換為相應的模擬系統(tǒng)函數(shù)擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個理想濾波器的特性，這種逼近是，使其逼近某個理想濾波器的特性，這種逼近是根據(jù)幅度平方函數(shù)來確定的，也就是說，模擬濾波器設計中，通根據(jù)幅度平方函數(shù)來確定的，也就是說，模擬濾波器設計中，通常只思索幅頻特性。常只思索幅頻特性。 1.模擬低通濾波器的設計目的及逼近方法模擬低通濾波器的設計目的及逼近方法 模擬低通濾波器的設計目的有模擬低通濾波器的設計目的有p, p,s和和s。其中。其中p和和s分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶是通帶(=0p)中中的最大衰減系數(shù)，的最大衰減系數(shù)，s是阻帶是阻帶s的最小

3、衰減系數(shù)，的最小衰減系數(shù)，p和和s普通普通用用dB數(shù)表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成：數(shù)表示。對于單調下降的幅度特性，可表示成： 假設=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示為以上技術目的用圖5-2表示。圖中c稱為3dB截止頻率，因 2210lg()10lg()papsasHjHj (5-3) (5-4) ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB22)()0(lg10paapjHjH22)()0(lg10saasjHjH(5-1)(5-2)圖5-2 低通濾波器的幅度特性 濾波器的技術目的給定后，需求設計一個傳輸函數(shù)Ha(s)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的目的p和

4、s，普通濾波器的單位沖激呼應為實數(shù)，因此jsaaaaaaasHsHjHjHjHjHjH)()()()()()()(*2假設能由p、s、p、c求出 ，那么濾波器的設計就轉化為如何由 求得Ha(s)，分析如下：由于脈沖呼應 ha(t)是實的，因此Ha(s)的極點(或零點)必成共軛對存在。 Ha(s) Ha(-s)的極點、零點分布如圖5.1.3所示，是成象限對稱的。 S平面圖5.1.3零點、極點分布2)( jHa2)( jHa 由于任何實踐可實現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，因此其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點一定落于s的左半平面，所以左半平面的極點一定屬于Ha(s),而右半平面的極點必屬于 Ha(-s) 。零點的

5、分布那么無此限制，它只和濾波器的相位特性有關，假設要求是最小相位延時特性，那么Ha(s)應取左半平面零點；如無特殊要求，那么可將對稱零點的任一半(應為共軛對)取為 Ha(s)的零點。由此，得到由 確定Ha(s)的方法： (1)由 得到象限對稱的s平面函數(shù)(2) 尋覓Ha(s) Ha(-s)的零點和極點。將左半平面的極點歸于Ha(s)，如無特殊要求，可取 Ha(s) Ha(-s)以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半(應是共軛對)作為Ha(s)的零點。j軸上的零點或極點都是偶次的，其中一半(應為共軛對)屬于Ha(s) (3) 求出Ha(s)的零極點和增益，即可確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。2)( jHajs

6、aaasHsHjH)()()(2 2.巴特沃斯低通濾波器的設計方法 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：221()1()aNcHj(5-7) 圖5-4 巴特沃斯幅度特性和N的關系 將幅度平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)： 21( )()1()aaNcHs Hssj(5-7) 此式闡明幅度平方函數(shù)有2N個極點，極點sk用下式表示：1121()222( 1)()kjNNkccsje k=0,1,2N-1 (5-8) NcNcajjjH222)/(11)/(11 這2N個極點分布在s平面半徑為c的圓上(巴特沃斯圓)，角度間隔/N弧度。為構成穩(wěn)定的濾波器，取平面左半平面的N

7、個極點構成 Ha(s)。所以取左半平面的極點時，應滿足)21221(Nkjckes12, 1 , 0Nk 因23)21221(2Nk2121Nk而k為整數(shù)，所以k=0,1,N-1。所以巴特沃斯濾波器的N個極點為 1, 1 , 0;e)21221(jNksNkck那么濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)為)()(10kNkNcasssH圖5-5 三階巴特沃斯濾波器極點分布以N3為例，Ha(s)Ha(-s)極點分布如圖，分別為1, 1 , 0;e)21221(jNksNkck12 , 1 , 0;e)21221(jNksNkck320jcescs1322jces313jcescs4315jces，Ha(s)

8、取左半平面極點，即所以Ha(s) 極點為s0,s1,s2)()()(32j32j3esesssHccca 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設計一致，將一切的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。 令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化復變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為101( )()aNkkccHsss(5-11) 101( )()aNkkHppp(5-12) (3)頻率歸一化問題式中，pk為歸一化極點，因p=s/c,pk=sk/c用下式表示： 將極點表示式代入(5-12)式，得到的歸一化系統(tǒng)函數(shù)Ha(p)的表達式，所以求

9、Ha(p) 需先求濾波器階數(shù)N,求得N后按式(5-13)或查表5-1即得Ha(p) 。下面引見階數(shù)N確實定方法 121()22,0,1,1kjNkpekN(5-13)1, 1 , 0;e)21221(jNksNkckNcNcajjjH222)/(11)/(112)(lg10papjH2)(lg10sasjH10/210)(1pNcp(5-6)(5-3)(5-4)將=p和s分別代入(5-6),得到p和s處的幅度平方函數(shù)，再將這兩個頻率點處的幅度平方函數(shù)分別代入(5-3)和(5-4) ，得10/210)(1sNcs 由(5-15)和(5-16)式得到：/10/10101()101psapNas令1

10、010101/,101psaspspspak ,那么N由下式表示： lglgspspkN (5-17) 用上式求出的N能夠有小數(shù)部分，應取大于等于N的最小整數(shù)。關于3dB截止頻率c，假設技術目的中沒有給出，可以按照(5-15)式或(5-16)式求出，由(5-15)式得到： 10.1210.12(101)(101)psaNcpaNcs 由(5-16)式得到： (5-18)(5-19) 總結以上，低通巴特沃斯濾波器的設計步驟如下： (1)根據(jù)技術目的p,p,s和s，用(5-17)式求出濾波器的階數(shù)N。 (2)按照(5-13)式，求出歸一化極點pk，將pk代入(5-12)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(

11、p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實踐的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。 表5-1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 例5-1 知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照以上技術目的設計巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數(shù)N。 0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 按照(5-13)式，其極點為按照(5-12)式， 歸一化傳輸函數(shù)為401( )()akkHppp53j0ep54j1epj2ep56j3ep57j

12、4ep，)21221(je/Nkckksp1, 1 , 0Nk， 10)(1NkkapppH 上式分母可以展開成為五階多項式，或者將共軛極點放在一同，構成因式分解方式。這里不如直接查表5-1簡單，由N=5，直接查表得到： 極點：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb 式中 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 (3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。 按照(5-18)式，得到：10.1210.12(101)25.2755/

13、(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 將c代入(5-19)式，得到：將p=s/c代入Ha(p)中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb6.1 數(shù)字濾波器根底數(shù)字濾波器根底 1. 數(shù)字濾波器的分類 (1)數(shù)字濾波器從實現(xiàn)的網(wǎng)絡構造或者從單位脈沖呼應分類，可以分成無限脈沖呼應(IIR)濾波器和有限脈沖呼應(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： 0110( )1( )( )MrrrNkkkNnnb zH za zH zh n z圖6-1 理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 )(ejH)(ejH)(ejH)(ejH0低通

14、0高通0帶通0帶阻22222222(2)從功能上分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。 2數(shù)字濾波器的技術要求 我們通常用的數(shù)字濾波器普通屬于選頻濾波器。假設數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)H(e j)用下式表示： ()()()jjjH eH ee圖6-2 低通濾波器的技術要求 通帶內和阻帶內允許的衰減普通用dB數(shù)表示，通帶內允許的最大衰減用p表示，阻帶內允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：(6-1) (6-2) 20lg()20lg()psjpjsH edBH edB c=3db時，對應的頻率記為wc,稱為3db截止頻率。 3. 數(shù)字濾波器設計方法概述 IIR濾波器和FIR濾波器的設計方法是很不一樣的

15、。IIR濾波器設計方法有兩類，經(jīng)常用的一類設計方法是借助于模擬濾波器的設計方法進展的。其設計步驟是：先設計模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 FIR濾波器通常直接在頻域或時域內進展，借助窗函數(shù)法設計。 6.2 IIR數(shù)字低通濾波器的設計數(shù)字低通濾波器的設計 IIR濾波器常借助模擬濾波器來設計，方法是首先將數(shù)字濾波器技術目的轉換為對應的模擬濾波器技術目的，然后設計滿足技術目的的模擬濾波器Ha(s)，最后將設計出的模擬濾波器Ha(s)轉換為滿足技術目的的數(shù)字濾波器H(z)。為了保證轉換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術要求，對轉換關系提出兩點要

16、求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。模擬濾波器因果穩(wěn)定要求其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點全部位于s平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定那么要求H(z)的極點全部在單位圓內。因此，轉換關系應是s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內。 (2)數(shù)字濾波器的頻率呼應模擬模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓。6.2.1脈沖呼應不變法脈沖呼應不變法 脈沖呼應不變法的中心是經(jīng)過將模擬濾波器的單位脈沖呼應ha(t)等間隔采樣得到離散序列ha(nT)，使h(n)=ha(nT)(其中，T為采樣間隔)，即得到數(shù)字濾波器的單位脈沖呼應。因此脈沖呼應不變法是一種時域上的轉換方法，轉

17、換步驟如下：拉氏逆變換等間隔采樣Z變換Ha(s)Ha(t)Ha(nT)=h(n)H(z) 設模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應的單位沖激呼應是ha(t)，即 ( )( )aaHsLT h t 設模擬濾波器Ha(s)只需單階極點，且分母多項式的階次高于分子多項式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 1( )NiaiiAHsss(6-3) 式中si為Ha(s)的單階極點。將Ha(s)進展逆拉氏變換得到ha(t)：NitsiatueAthi1)()( 式中u(t)是單位階躍函數(shù)。對ha(t)進展等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT(6-4

18、)對上式進展Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 11( )1iNis TiAH zez (6-5)設ha(t)的采樣信號用ha(t)表示，( )( ) ()aanhth ttnTNitsiatueAthi1)()( 對 進展拉氏變換，得到: ( )aht( )( )()()staastansnTHsht edth tnT edtnT e 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點t=nT時的幅度值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: ( )( )( )( )sTsTsnTnaz ez ennHsh n eh n zH z(6.3.5) 上式表示采樣信號的拉氏變

19、換與相應的序列的Z變換之間的映射關系可用下式表示： 我們知道模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號 的傅里葉變換 之間的關系滿足下式(采樣定理：sTze(6-8) ( )aht()aHj將s=j代入上式，得所以(6-9) (6-10) (6-11) ksaazksHTsHzHsT)j(1)()(eksaaksHTsH)j(1)(ksaakHTH)j(j1)(j 上式闡明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照(6-8)式映射關系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6-8)式可稱為規(guī)范映射關系。下面進一步分析這種映射關系。設jsjzre 按照(

20、6-8)式，得到:jTj Treee因此得到:TreT (6-12) 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，留意到z=esT是一個周期函數(shù)，可寫成2(),jM TsTTj TTTeeeeeM為恣意整數(shù)圖6-5 z=esT,s平面與z平面之間的映射關系圖6-6 脈沖呼應不變法的頻率混疊景象 假設 沒有頻率混疊景象，即滿足 按照(6-11)式，并將關系式s=j代入，=T，代入得到： 令()aHj()0,/aHjT 1()(),jaH eHjTT11( )()( )1()(/),iaNis Tijah nTh nTTAH zezH eHjT 普通Ha(s)的極點si是一個復數(shù)，且以共軛成對的方式

21、出現(xiàn)，在(6-3)式中將一對復數(shù)共軛極點放在一同，構成一個二階根本節(jié)。假設模擬濾波器的二階根本節(jié)的方式為1112211()sjs 極點為 可以推導出相應的數(shù)字濾波器二階根本節(jié)(只需實數(shù)乘法)的方式為 1111121211cos12cosTTTz eTz eTz e 假設模擬濾波器二階根本節(jié)的方式為 1111112211112121,()sin12cosTTTjsz eTz eTz e 極點為 例6-2 知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 用脈沖呼應不變法將Ha(s)轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：20.5012( )0.64490.7079aHsss0.

22、32240.3224( )0.32240.77720.32240.7772ajjHssjsj極點為12(0.32240.772),(0.32240.7772)sjsj 那么H(z)的極點為1212,s Ts Tzeze經(jīng)過整理，得到 設T=1s時用H1(z)表示，T=0.1s時用H2(z)表示，那么111212120.3276( )1 1.03280.2470.0485( )1 1.93070.9375zH zzzzHzzz圖6.3.3 例6.3.1的幅度特性6.2.2 用雙線性變換法設計用雙線性變換法設計IIR數(shù)字數(shù)字低通濾波器低通濾波器原理是由數(shù)字濾波器的差分方程模擬模擬濾波器的微分方程。

23、 Ha(s)微分方程差分方程H(z)以一階微分方程為例進展推導。設 asbsXsYsHa)()()(微分方程為 )()()(tbxtaydttdy對延續(xù)函數(shù)x(t)和y(t)進展等間隔采樣(間隔為T) ，得到離散值x(n)、x(n-1)、y(n)、y(n-1)，利用數(shù)值分析中的規(guī)范方法，可進展以下近似)1()(21nxnx)1()(21nyny)1()(1nynyT x(t) y(t) dy(t)/dt 將這些近似代入微分方程) 1(2)(2) 1()12()()12(nxbnxbnyTanyTa進展Z變換，得azzTbzXzYzH11112)()()(asbsXsYsHa)()()(對比可得

24、H(z)與Ha(s)的關系11112)()(zzTsasHzH以上結論雖然是以一階微分方式為例得出的，但由于恣意高階的Ha(s)都可以分解為一階系統(tǒng)的并聯(lián)，因此以上的推導具有普遍規(guī)律。s平面與z平面的轉換關系為11112zzTssTsTz22轉換關系分析轉換關系分析(1)s平面到z平面的映射關系設s=+j，z=rejw,由sTsTz22j2j2TTz2222)2()2(TTr當0時，r=1, s平面虛軸映射到Z平面的單位圓上；當0時，r0時，r1, s平面右半平面映射到Z平面的單位圓外。這闡明雙線性變換法滿足s到z的兩個轉換條件。即假設Ha(s)因果穩(wěn)定，轉換后得到H(z)也因果穩(wěn)定，數(shù)字濾波

25、器頻率呼應H(ejw)模擬模擬濾波器頻響Ha(j )。 (2)消除頻率混疊的緣由添加一個過渡平面s1，將sz的轉換分成兩步，即ss1z.設Tsez111112zzTs由得TsTseeTs11112第一步轉換，將 js11js代入上式，可得 TTTeeTTT11jj21cos21sin2j112j11TT121tan2T是采樣間隔，當 從 經(jīng)過0變化到 時，那么從-經(jīng)過0變化到 +實現(xiàn)了s平面上整個虛軸完全緊縮到 s1平面上虛軸的之間的轉換。 1T/T/T/第二步轉換 ，將 ， 代入TT121tan2zs 1111jswrzjeTsez1TrT11e所以s1到z平面，實現(xiàn)了s1左半平面(10)映

26、射z平面的單位圓(r0)映射z平面的單位圓(r1)內, s1平面虛軸(10)映射z平面的單位圓(r1)。,21tan2T圖6-9 雙線性變換法的映射關系 設 kkkkasBsBsBBsAsAsAAsH22102210)(TCsHzHzzCsa2,)()(1111kkkkzbzbzbzazazaazH2211221101)( 表6-2 系數(shù)關系表 例6-3試分別用脈沖呼應不變法和雙線性不變法將圖示的RC低通濾波器轉換成數(shù)字濾波器。 解 首先按照圖寫出回路方程1( ),aHssRC 利用脈沖呼應不變法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為 11( )1TH zezx(t)u(t)()()()()(

27、)()(tCutqdttdqtitutRitx整理并拉氏變換得該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 利用雙線性變換法轉換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為 H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡構造分別如以下圖所示。H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡構造 (a)H1(z); (b)H2(z) 121111221)1 ()()(11zzsHzHzzTsa22,221TTTT數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性 下面我們總結利用模擬濾波器設計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術目的：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術目的轉換成模擬低通濾波

28、器的技術目的。 假設采用雙線性變換法，邊境頻率的轉換關系為假設采用脈沖呼應不變法，轉換關系為(3)按照模擬低通濾波器的技術目的設計模擬低通濾波器。21tan2TT/ (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 脈沖呼應不變法轉換關系為 雙線性變換法轉換關系為(5)畫出頻率呼應 ，校核能否滿足設計目的。 例6-4 設計低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內頻率低于0.2rad時，允許幅度誤差在1dB以內；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖呼應不變法和雙線性變換法設計濾波器。1e1zAssATsiiii1

29、1112)()(zzTasHzHjej)()(ezzHH 解 (1) 用脈沖呼應不變法設計數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術目的為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 設T1s,那么模擬低通的技術目的為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dBT/(頻率轉換關系為 ,衰減不變 設計巴特沃斯低通濾波器。先計算階數(shù)N及3dB截止頻率c。 0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 取N=6。為求3dB截止頻率c,將p和p代入(5-18)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術要求，同時給阻帶衰減留一定余量，這對防止頻率混