二面角習(xí)習(xí)題及答案

1、二面角DPCAB1.如圖三棱錐 P-ABC中，PC平面ABC，PC = ，D是 BC的中點(diǎn)，且ADC是邊長(zhǎng)為 2的正三角形，求二面角 P-ABC的大小。解 EDBASC 2.如圖在三棱錐 S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE 垂直平分SC，且分別交 AC、SC于D、E，又SA =AB，BS =BC， 求以BD為棱，BDE與BDC為面的二面角的度數(shù)。解： 3. 如圖：ABCD是矩形，AB =8，BC =4，AC 與 BD 相交于O點(diǎn)，P是平面 ABCD外一點(diǎn)，PO面ABCD，PO =4，M 是 PC 的中點(diǎn)，求二面角 M-BD-C 大小。SRNMOBDPAC解： DBAEC 4.如圖AB

2、C與BCD所在平面垂直，且AB =BC =BD，ABC =DBC =，求二面角 A-BD-C的余弦值。解： 5.已知正方體 AC'，M、N分別是BB'，DD'的中點(diǎn)，求截面 AMC'N與面ABCD，CC'D'D所成的角。DBDACBACMN解： BFEACD6.如圖 AC面BCD，BD面ACD，若AC =CD =1，ABC =30°，求二面角的大小。解： 7. 三棱錐 A-BCD中，BAC =BCD =90°，DBC =30°，AB =AC =，AD =4，求二面角 A-BC-D 的度數(shù)。DOABC解： 9. 如圖所

3、示，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的菱形，A60°，PC平面ABCD，PCa,E是PA的中點(diǎn).(1)求證平面BDE平面ABCD.(2)求點(diǎn)E到平面PBC的距離.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析： 10. 如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E、F分別在棱AB、BC上，G在對(duì)角線BD1上，且AE，BF，D1GGB12，求平面EFG與底面ABCD所成的二面角的大小. 11. 如圖，設(shè)ABCA1B1C1是直三棱柱，E、F分別為AB、A1B1的中點(diǎn)，且AB2AA12a,ACBCa.(1)求證：AFA1C(2)求二面角CAFB的大小 12如圖是長(zhǎng)方體，AB=2，求二平

4、面與所成二面角的大小 13. 在正方體中，且，.求：平面AKM與ABCD所成角的大小14. 如圖，將邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC按它的高AD為折痕折成一個(gè)二面角（1）若二面角是直二面角，求的長(zhǎng)；（2）求與平面所成的角；（3）若二面角的平面角為120°，求二面角的平面角的正切值參考答案DPCAB解：由已知條件，D是BC的中點(diǎn) CD =BD =2 又ADC是正三角形 AD =CD =BD =2 D是ABC之外心又在BC上 ABC是以BAC為直角的三角形， ABAC， 又 PC面ABC PAAB (三垂線定理) PAC即為二面角 P-AB-C之平面角， 易求 PAC =30°EDBA

5、SC2、解： BS =BC，又DE垂直平分SC BESC，SC面BDE BDSC，又SA面ABC SABD，BD面SAC BDDE，且BDDC 則 EDC就是所要求的平面角 設(shè) SA =AB =a， 則 BC =SB =a 且 AC = 易證 SACDEC CDE =SAC =60°3、SRNMOBDPAC解：取OC之中點(diǎn)N，則 MNPO PO面ABCD MN面ABCD 且 MN =PO/2 =2， 過 N 作 NRBD 于 R，連MR， 則 MRN即為二面角 M-BD-C的平面角 過 C 作 CEBD于S 則 RN =CE 在 RtBCD中，CD·BC =BD·

6、CE 4. 解：過 A作 AECB的延長(zhǎng)線于E， 連結(jié) DE， 面ABC面BCD AE面BCD E點(diǎn)即為點(diǎn)A在面BCD內(nèi)的射影 EBD為ABD在面BCD內(nèi)的射影 設(shè) AB =a 則AE =DE =ABsin60°= AD = ， sinABD = 又 5. DBDACBACMN解：設(shè)邊長(zhǎng)為a，易證 ANC'N是菱形 且MN =，A'C = AMC'N = 由于AMC'N在面ABCD上的射影即為正方形ABCD ABCD = 取CC'的中點(diǎn)M'，連結(jié)DM' 則平行四邊形DM'C'N是四邊形AMC'N在CC&#

7、39;D'D上的射影， DM'C'M = 6. BFEACD解：作DFAB于F，CEAB于E， AC =CD =1 ABC =30° AD =，BC = ， AB =2， BD = 在RtABC中， ， 同理 即所求角的大小為。DOABC7、解：由已知條件BAC =90°，AB =AC， 設(shè)BC的中點(diǎn)設(shè)為O，則OA =OC =BC = 解之得： 9、解析：(1)設(shè)O是AC，BD的交點(diǎn)，連結(jié)EO.ABCD是菱形，O是AC、BD的中點(diǎn)，E是PA的中點(diǎn)，EOPC，又PC平面ABCD，EO平面ABCD，EO平面BDE，平面BDE平面ABCD.(2)EOPC，

8、PC平面PBC，EO平面PBC，于是點(diǎn)O到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離.作OFBC于F，EO平面ABCD，EOPC，PC平面PBC，平面PBC平面ABCD，于是OF平面PBC，OF的長(zhǎng)等于O到平面PBC的距離.由條件可知，OB,OF×a，則點(diǎn)E到平面PBC的距離為a.(3)過O作OGEB于G，連接AG OEAC，BDAC AC平面BDEAGEB(三垂線定理) AGO是二面角AEBD的平面角OEPCa,OBa EBa.OGa 又AOa.tanAGOAGOarctan.評(píng)析 本題考查了面面垂直判定與性質(zhì)，以及利用其性質(zhì)求點(diǎn)到面距離，及二面角的求法，三垂線定理及逆定理的應(yīng)用.1

9、0、設(shè)G在底面ABCD上的射影為H，HBD，GH作HMEF于M，連GM，由三垂線定理知GMEF，則GMH就是平面BFG與底面ABCD所成的二面角的平面角，tan.下面求HM的值.建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，據(jù)題設(shè)可知.H(，)、E(，0)、F(1，)直線EF的方程為，即 4x-6y-10.由點(diǎn)到直線的距離公式可得HM，tg·，arctg.說(shuō)明 運(yùn)用解析法來(lái)求HM的值是本例的巧妙所在.11、分析 本小題考查空間幾何垂直的概念和二面角的度量等知識(shí).解 (1)ACBC，E為AB中點(diǎn)，CEAB又ABCA1B1C1為直棱柱，CE面AA1BB連結(jié)EF，由于AB2AA1AA1FE為正方形AFA1E，從而AFA1C(2)設(shè)AF與A1E交于O，連結(jié)CO，由于AFA1E，知AF面CEA1COE即為二面角CAFB的平面角AB2AA12a,ACBCaCEa,OEa,tanCOE2.二面角CAFB的大小是arctan2.12、解析：平面ABCD平面，平面與平面的交線l為過點(diǎn)且平