河北省南宮市高中數(shù)學 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式的解法課件 新人教A必修5

1、一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法（一）（一）oxy復(fù)習回顧問題1：一元二次方程的解法有哪些呢？問題2：同學們還記得二次函數(shù)嗎？二次函數(shù)的形式是怎樣的？你記得二次函數(shù)的性質(zhì)嗎？提出問題今年的植樹節(jié)我校高一年級的同學去植樹時遇到一個這樣的問題，我們準備的樹苗恰好能夠栽滿面積為40平方米的空地，而要綠化的空地是一個長比寬多6 米的矩形，那么，矩形綠化帶長為多少時，準備的樹苗有剩余？建立數(shù)學模型：分析：設(shè)綠化帶長為建立數(shù)學模型：分析：設(shè)綠化帶長為 m.則依題意有則依題意有 .整理得整理得 .640 x x26400 xx問題：問題：（1 1）如何解一元二次方程）如何解一元二次方程（2 2）二次

2、函數(shù)）二次函數(shù) 的圖象是的圖象是 什么曲線？什么曲線？（3 3）一元二次方程）一元二次方程 的的 解與二次函數(shù)解與二次函數(shù) 的圖象的圖象 有什么聯(lián)系？有什么聯(lián)系？)0(02acbxax)0(2acbxaxy)0(02acbxax)0(2acbxaxy一元二次方程一元二次方程 的解實的解實際上就是二次函數(shù)際上就是二次函數(shù)與與x x軸交點的橫坐標。軸交點的橫坐標。)0(02acbxax)0(2acbxaxy下面我們來研究如何應(yīng)用二次函數(shù)的圖象下面我們來研究如何應(yīng)用二次函數(shù)的圖象來解一元二次不等式。來解一元二次不等式。首先，我們可以把任何一個一元二次首先，我們可以把任何一個一元二次不等式轉(zhuǎn)化為下列四

3、種形式中的一種：不等式轉(zhuǎn)化為下列四種形式中的一種：)0(0) 1 (2acbxax)0(0)2(2acbxax)0(0)3(2acbxax)0(0)4(2acbxax以上四個不等式中我們規(guī)定了以上四個不等式中我們規(guī)定了如果題目中給出的不等式中二次項系如果題目中給出的不等式中二次項系數(shù)小于數(shù)小于0，哪怎么辦呢？，哪怎么辦呢？0a對了，我們只要在不等式兩邊同乘對了，我們只要在不等式兩邊同乘-1，然后把不等式的方向改變一下，就可然后把不等式的方向改變一下，就可化為以上四種形式中的一種?；癁橐陨纤姆N形式中的一種。下面我們就利用二次函數(shù)的圖象來解下面我們就利用二次函數(shù)的圖象來解以上以上4個不等式。個不等

4、式。設(shè)設(shè)f(x)=f(x)=a ax x2 2+bx+c+bx+c( (a a0),0),且設(shè)方程且設(shè)方程f(x)=0f(x)=0在在0 0時的兩個根分別是時的兩個根分別是x x1 1、x x2 2，且且x x1 1x x2 2。下面我們一起來完成下表：下面我們一起來完成下表：b24ac 0 0 0f(x)0的解集f(x)0的解集f(x) 0的解集 f(x) 0的解集y=f(x)的圖象Oxyx1x212xxxxx或21xxxx12xxxxx或21xxxxOxyxb2aabxRx2abxx2OxyR R R填寫上表的依據(jù)是二次函數(shù)的圖象，這實際填寫上表的依據(jù)是二次函數(shù)的圖象，這實際上是一種數(shù)形結(jié)

5、合的思想。上是一種數(shù)形結(jié)合的思想。由此我們可以得出解一元二次不等式的一般由此我們可以得出解一元二次不等式的一般步驟：步驟：（1）把所給不等式化為四種標準形式之一；）把所給不等式化為四種標準形式之一；（2）判斷所對應(yīng)二次方程的根的情況；若）判斷所對應(yīng)二次方程的根的情況；若 有根，則求出其根。有根，則求出其根。（3）畫出所對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；）畫出所對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；（4）根據(jù)圖象寫出不等式的解集。）根據(jù)圖象寫出不等式的解集。例例1、求下列不等式的解集：、求下列不等式的解集：0156) 1 (2xx01544)2(2 xx325)3(2xx169)4(2xxxx453)5(2解解：（：（1）

6、將原不等式變形為：）將原不等式變形為： 即即 原不等式的解集為原不等式的解集為01562 xx0) 1)(16(xx611xxx或解解：（：（2）將原不等式變形為）將原不等式變形為 原不等式的解集為原不等式的解集為0) 32)(52(xx2325xx解解：（：（3）將原不等式變形為）將原不等式變形為 方程方程 所對應(yīng)的所對應(yīng)的=-560 原不等式的解集為原不等式的解集為R。03252 xx03252 xx解解：（：（4）將原不等式變形為）將原不等式變形為 所對應(yīng)的二次方程的所對應(yīng)的二次方程的=0， 原不等式的解集為原不等式的解集為01692 xx31xRx解解：（：（5）將原不等式變形為）將原

7、不等式變形為 所對應(yīng)的二次方程的所對應(yīng)的二次方程的=-440， 原不等式的解集為原不等式的解集為05432 xx例例2、已知關(guān)于、已知關(guān)于x的不等式的不等式 的解集是的解集是xx-2或或x 求求 的解集。的解集。02cbxax2102cbxax分析：本題主要強化一元二次方程、一元分析：本題主要強化一元二次方程、一元 二次不等式與二次函數(shù)圖象間的關(guān)系。二次不等式與二次函數(shù)圖象間的關(guān)系。解法一：解法一： 由此可得由此可得a b c=(-2) (-5) (-2)且且a0, 所求解的不等式為：所求解的不等式為：0)21)(2(212xxxxxx或0252025222xxxxxx02522xx 即即(x

8、-2)(2x-1)0,解得解得 不等式不等式 的解集為的解集為 221 x02cbxax221xx解法二：由已知得解法二：由已知得 的兩個根，且的兩個根，且a0， 解得解得021, 22cbxax是方程02141024cbacbaacab,25 不等式不等式 即為即為 即不等式即不等式 的解集為的解集為02cbxax02522 xx221 x02cbxax221xx小結(jié)：兩種解法都是先試圖找出小結(jié)：兩種解法都是先試圖找出a、b、c的的 關(guān)系，再解出一元二次不等式的解集。關(guān)系，再解出一元二次不等式的解集。例例3、不等式、不等式 對任意對任意xR恒成立，求恒成立，求a與與m之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。

9、) 1() 1(22xxmaaxxa分析：不等式對任意分析：不等式對任意xR恒成立，就是恒成立，就是不等式的解集為不等式的解集為R。對于二次不等式。對于二次不等式 的解集為的解集為R的條件為的條件為 02cbxax0402acba解：將原不等式變形為解：將原不等式變形為 以上不等式對以上不等式對xR恒成立。恒成立。 當當a-m+1=0時，原不等式化為時，原不等式化為 x-10， 與與xR不符，應(yīng)舍去。不符，應(yīng)舍去。0)()() 1(2maxmaxma當當a-m+10時，時， 由得：由得： am，則有，則有a-m0 聯(lián)立得聯(lián)立得am。0)(1(4)(012mamamama0 1) 1(3)(ma

10、ma注意：二次項系數(shù)為注意：二次項系數(shù)為0的情況一定要考慮，的情況一定要考慮， 而這往往是容易忽略的，一定要引起大而這往往是容易忽略的，一定要引起大 家的高度重視。家的高度重視。例例4、解關(guān)于、解關(guān)于x不等式不等式0622aaxx解：原不等式可化為解：原不等式可化為 它所對應(yīng)的二次方程的兩它所對應(yīng)的二次方程的兩 根為根為-2a，3a。 當當-2a3a，即，即a0時，時，原不等式的解集為原不等式的解集為x3ax-2a； 當當-2a=3a，即，即a=0時，原不等式的解集為時，原不等式的解集為 ； 當當-2a3a，即，即a0時，原不等式的解集為時，原不等式的解集為x-2ax3a。0)2)(3(axax小結(jié)：解含有參數(shù)的不等式時，要利用分類小結(jié)：解含有參數(shù)的不等式時，要利用分類討論的思想，確定分類的標準，對參數(shù)進