最短路徑(將軍飲馬+造橋選址)PPT課件

1、鄖西縣河夾中學 段廉潔最短路徑問題將軍飲馬問題造橋選址問題最短路徑問題最短路徑問題垂線段最短。兩點之間，線段最短。LABABLC問題問題1 1 如圖，牧馬人從如圖，牧馬人從A A地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l l飲馬，然后到飲馬，然后到B B地地. .牧馬牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ ABCL兩種情形兩種情形 點A，B分別是直線l異側的兩個點 點A,B分別是直線l同側的兩個點ABllABCBC解決問題解決問題 1 1 作圖lABBC 證明lABBCClABBCC證明證明: :問題問題 2 2 （造橋選址問題）如

2、圖，（造橋選址問題）如圖，A A和和B B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋造一座橋MNMN，橋造在何處可使從，橋造在何處可使從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？（假定河的兩岸最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）是平行的直線，橋要與河垂直。）ABMNab解決問題解決問題 2 2 作圖 證明ABMNabAABMNabAMN證明證明: :ABMNabAMN練習練習 1 1、如圖、如圖1 1，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球桿去擊白球使其撞到，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球桿去擊白球使其撞到ABAB邊反彈后再撞到黑球邊反彈

3、后再撞到黑球? ?2 2、如圖、如圖2 2，四邊形，四邊形ABCDABCD中，中，BAD=120BAD=120，B=D=90B=D=90, ,在在BCBC，CDCD上分別找一上分別找一點點M M、N N，當，當AMNAMN周長最小時，周長最小時，AMN+ANMAMN+ANM的度數(shù)為多少？的度數(shù)為多少？DBAC圖 1ABDC圖 2AANM4/18/2022鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級中學鄖西縣河夾鎮(zhèn)初級中學段廉潔段廉潔4/18/2022造橋選址問題造橋選址問題如圖，如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從喬早在何處才能使從A到到B的路

4、徑的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）行的直線，橋要與河垂直）BA4/18/2022思維分析思維分析BA 1、如圖假定任選位置造、如圖假定任選位置造橋，連接和，從橋，連接和，從A到到B的路徑是的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短那么怎樣確定什么情況下最短呢？呢？ 2、利用線段公理解決問題我們遇到了什、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？么障礙呢？4/18/2022 我們能否在不改變我們能否在不改變AM+MN+BN的前提的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側呢？什么圖形變換能幫助下把橋轉(zhuǎn)化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？我們呢？思維火花

5、思維火花各抒己見各抒己見1、把、把A平移到岸邊平移到岸邊.2、把、把B平移到岸邊平移到岸邊.3、把橋平移到和、把橋平移到和A相連相連.4、把橋平移到和、把橋平移到和B相連相連.4/18/2022上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請不變呢？請檢驗檢驗.合作與交流合作與交流1、2兩種方法改變了兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？怎樣調(diào)整呢？把把A或或B分別向下或上平移一個橋長分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢那么怎樣確定橋的位置呢?4/18/2022問題解決問題解決BAA1MN如圖，平移如圖，平移A到到A1，使，使A1等于河寬，連接等于河寬，連接A1交河岸于作橋，此交

6、河岸于作橋，此時路徑時路徑最短最短.理由；另任作橋理由；另任作橋，連接，連接，.由平移性質(zhì)可知，由平移性質(zhì)可知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為.在在中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN4/18/2022問題延伸一問題延伸一如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN和和PQ.橋分別建在何處橋分別建在何處才能使從才能使從A到到B的路徑的路徑最短？（假定河的兩最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）要與河岸垂直）4/18/2022思維分析思維分

7、析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋橋MN和和PQ在中間，且方向不在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用能改變，仍無法直接利用“兩兩點之間，線段最短點之間，線段最短”解決問題，解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側或同一側先走橋長或同一側先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移平移的方法有三種：兩個橋長都平移到到A點處、都平移到點處、都平移到B點處、點處、MN平移平移到到A點處，點處，PQ平移到平移到B點處點處4/18/2022思維方法一思維方法一 1、沿垂直于第一條河岸的方向平移、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點至點至AA1使

8、使AA1=MN，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題型兩點（型兩點（A1、B點）和一條河建橋（點）和一條河建橋（PQ）4/18/20222、利用基本問題的解決方法確定橋、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1至至A2， 使使A1A2=PQ.（2）連接）連接A2B交交A2的對岸的對岸Q點，在點處建橋點，在點處建橋PQ.4/18/20223、確定、確定PQ的位置，也確定了的位置，也確定了BQ和和PQ，此時問題，此時問題可轉(zhuǎn)化為由可轉(zhuǎn)化為由A點、點、P點和第一條河確定橋點和第一條河確定橋MN的位置的位置.連接連接A1P

9、交的對岸于點，在點處建橋交的對岸于點，在點處建橋4/18/2022問題解決問題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把點、，使點、，使，；連接交于點相鄰連接交于點相鄰河岸于點，建橋；河岸于點，建橋；連接交的對岸連接交的對岸于點，建橋；于點，建橋；從點到點的最短路徑從點到點的最短路徑為為MMN4/18/2022思維方法二思維方法二 沿垂直于第一條河岸方沿垂直于第一條河岸方向平移點至點，沿向平移點至點，沿垂直于第二條河岸方向平移垂直于第二條河岸方向平移點至點，連接點至點，連接A1B1 分別交分別交A、B的對岸于的對岸于N、P兩點，建橋兩點，建橋MN和和PQ.最短路徑最短路徑AM+MN+NP

10、+PQ+QB轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.4/18/2022思維方法三思維方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B點平移至點平移至B、B，使，使BBPQ，BBMN；連接連接BA交于交于A點相鄰河點相鄰河岸于岸于M點，建橋點，建橋MN；連接連接BN交交B的對岸于的對岸于P點，建橋點，建橋PQ；從點到點的最短路徑從點到點的最短路徑為為MMNNP轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為AB2+B2B1+B1B4/18/2022問題延伸二問題延伸二如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN、PQ和和GH.橋分別建在橋分別建在何處才能使從何處才能

11、使從A到到B的的路徑最短？（假定河路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）橋要與河岸垂直）4/18/2022思維分析思維分析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB橋橋MN、PQ和和GH在中間，且方在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短兩點之間，線段最短”解決解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側或同一側先走橋長到兩側或同一側先走橋長.平移的方法有四種：三個橋長都平移平移的方法有四種：三個橋長都平移到到A點處；都平移到點處；都平移到B點處；點處；

12、MN、PQ平移到平移到A點處；點處；PQ、GH平移到平移到B點處點處4/18/2022問題解決問題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點平點平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點相鄰河岸于點相鄰河岸于H點，建橋點，建橋GH；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對岸的對岸的P點，建橋點，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對岸的對岸于于N點，建橋點，建橋MN.此時從此時從A到到B點路徑最短點路徑最短.4/18/2022沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點平點平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點相鄰河岸于點相鄰河岸于H點，建橋點，建橋GH；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對岸的對岸的P點，建橋點，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對岸的對岸于于N點，建橋點，建橋MN.此時從此時從A到到B點路徑最短點路徑最短.問題解決問題解決4/18/2022沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點