大學(xué)物理(上) 5-3

1、簡諧振動(dòng)的能量及特征簡諧振動(dòng)的能量及特征簡諧振動(dòng)的圖示法簡諧振動(dòng)的圖示法1 1、振動(dòng)曲線圖示法：、振動(dòng)曲線圖示法：2 2、旋轉(zhuǎn)矢量圖示法（相量圖）：、旋轉(zhuǎn)矢量圖示法（相量圖）：阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)022022xdtdxdtxdtphxtddxtdxdcos22022 )cos()cos(ptAteAxt0上節(jié)回顧上節(jié)回顧受迫振動(dòng)受迫振動(dòng))cos( tAexttteCeCx)()(21tCex 共振共振)cos( ptAx2202 hA 2202 rp一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率諧振動(dòng)的合成)cos()(1011tAtx已已知知：)cos()(2022tAtx21xxx 求求：5

2、 53 3 簡諧振動(dòng)的合成簡諧振動(dòng)的合成研究方法：研究方法：1 1、解析法、解析法2 2、振動(dòng)曲線合成法、振動(dòng)曲線合成法)cos(10202122212 AAAAA2021012021010 coscossinsintgAAAA 3 3、旋轉(zhuǎn)矢量合成法（如圖）、旋轉(zhuǎn)矢量合成法（如圖）)cos(021 tAxxx設(shè)設(shè)同頻率諧振動(dòng)的合成A.exe2A1AA10200 1x2xx1M2MM12 102012 4 4、結(jié)果分析：、結(jié)果分析：一般情況一般情況合成運(yùn)動(dòng)是振幅為合成運(yùn)動(dòng)是振幅為A，初相為，初相為 的簡諧振動(dòng)的簡諧振動(dòng)0 A和和 取決于取決于A1、A2和和 、 0 1020同相振動(dòng)同相振動(dòng)相互

3、相互加強(qiáng)加強(qiáng)反相振動(dòng)反相振動(dòng)相互相互減弱減弱時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), 21021020kk21AAA 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)(210121020kk21AAA ,)(,2101221021020kkkk)cos(021 tAxxx2121AAAAA 果果？時(shí)時(shí)的的合合成成運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)是是什什么么結(jié)結(jié) )(,1221 kAA二二. . 同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成同方向不同頻率簡諧振動(dòng)的合成已知：已知：)2cos()cos(101110111 tAtAx)2cos()cos(202220222 tAtAx求：求：?21xxx 研究方法上仍有解析法、研究方法上仍有解析法、振動(dòng)曲線合成法和旋轉(zhuǎn)矢量合振動(dòng)曲線合成法和旋轉(zhuǎn)矢量合成

4、法三種，我們用旋轉(zhuǎn)矢量合成法三種，我們用旋轉(zhuǎn)矢量合成法。成法。根據(jù)余弦定理，由圖可見根據(jù)余弦定理，由圖可見2A1A? a1 2 0 1 2 ? 1x2xx1M2MM1210201212 t )()cos(212212221 AAAAa2021012021010coscossinsintgAAAA)cos(021taxxx設(shè)設(shè)在在A1=A2A,的的特特殊殊條條件件下下，可可得得02010 0,2cos2)2cos1(21cos()cos(1212)cos(2)cos(20122121222212212221 tAtAtAAAAAAAa應(yīng)用應(yīng)用2021012021010coscossinsintg

5、AAAA)cos(212212221 AAAAattAx cos2cos212 10201212 t比較等式兩端可知：比較等式兩端可知：于是于是,221 ttAtatAtAxxx2cos2cos2coscoscos21122121 ttAtAtAt2cos2cos2coscoscos121221 tatAtAxxx coscoscos2121 又又合振動(dòng)的振幅的變化范圍：合振動(dòng)的振幅的變化范圍：0a2A合振動(dòng)的振幅的變化周期：合振動(dòng)的振幅的變化周期： 1212,1T3 3、“拍拍”現(xiàn)象現(xiàn)象拍頻.avi2 2、合振動(dòng)的振幅周期性變化、合振動(dòng)的振幅周期性變化2121212121,22,2)(22

6、T1 1、合成運(yùn)動(dòng)不是簡諧振動(dòng)，但具有振動(dòng)的特征、合成運(yùn)動(dòng)不是簡諧振動(dòng)，但具有振動(dòng)的特征結(jié)果分析：結(jié)果分析：合振動(dòng)振幅隨時(shí)間周期性變化的現(xiàn)象合振動(dòng)振幅隨時(shí)間周期性變化的現(xiàn)象拍頻拍頻 : : 單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù)單位時(shí)間內(nèi)強(qiáng)弱變化的次數(shù) =| 2- 1| 12 拍拍122T或或：ttAx2222112 coscosxt tx2t tx1t t振動(dòng)曲線合成：振動(dòng)曲線合成：1 1、振動(dòng)方向相互垂直、頻率相同的簡諧振動(dòng)的合成、振動(dòng)方向相互垂直、頻率相同的簡諧振動(dòng)的合成求：合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程求：合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程和軌道方程)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx已

7、知：已知：)cos(11 tAx)cos(22 tAy三、相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成三、相互垂直的簡諧振動(dòng)的合成jtAitAj yi xr)cos()cos(2211 消去時(shí)間參數(shù)，可得其軌道方程消去時(shí)間參數(shù)，可得其軌道方程一般情況下，其運(yùn)動(dòng)方程為：一般情況下，其運(yùn)動(dòng)方程為：該結(jié)果說明，其合成運(yùn)動(dòng)一般情況下是橢圓運(yùn)動(dòng)該結(jié)果說明，其合成運(yùn)動(dòng)一般情況下是橢圓運(yùn)動(dòng)其具體軌跡依賴于兩分振動(dòng)的其具體軌跡依賴于兩分振動(dòng)的振幅和相位差振幅和相位差動(dòng)動(dòng)方方程程條條件件下下的的軌軌跡跡方方程程和和運(yùn)運(yùn)012 0)(221 AyAxxAAy12 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第一、合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第一、第三象

8、限內(nèi)的直線第三象限內(nèi)的直線12AA其其斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移(運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程)結(jié)果分析：結(jié)果分析：yx)cos(r1222122 tAAyx120AA時(shí)時(shí)，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)將將在在斜斜率率為為該該結(jié)結(jié)果果表表明明： 的的直直線線上上作作簡簡諧諧振振動(dòng)動(dòng))(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx動(dòng)動(dòng)方方程程條條件件下下的的軌軌跡跡方方程程和和運(yùn)運(yùn)120)(221 AyAxxAAy12 合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第二、合振動(dòng)的軌跡為通過原點(diǎn)且在第二、第四象限內(nèi)的直線第四象限內(nèi)的直線12AA 斜斜率率質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移（運(yùn)動(dòng)方程）質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的

9、位移（運(yùn)動(dòng)方程）yx)cos(r1222122 tAAyx)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx12AA 時(shí)時(shí)，質(zhì)質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)將將在在斜斜率率為為該該結(jié)結(jié)果果表表明明： 的直線上作簡諧振動(dòng)的直線上作簡諧振動(dòng)時(shí)時(shí)，212 1222212 AyAx合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓，運(yùn)動(dòng)方程為為軸線的橢圓，運(yùn)動(dòng)方程為)cos(11 tAx質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是順時(shí)針的。yx)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx2(4)12 合振動(dòng)的軌跡為以合振動(dòng)的軌跡為以x軸和軸

10、和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)cos(11 tAx質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。質(zhì)點(diǎn)沿橢圓的運(yùn)動(dòng)方向是逆時(shí)針的。)2cos(11 tAy)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx1222212 AyAx = 3 /4 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /20 時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。 0時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。時(shí)，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)。Q = /4PLsrt1.swf 可看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1隨隨t 緩慢變化，其合成運(yùn)動(dòng)軌跡將按上緩慢變化，其合成運(yùn)動(dòng)軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。頁圖依次緩慢變化。yxA1A2o o

11、- -A2- -A10t)()( xyxyt但在兩分振動(dòng)頻率相差很小的情況下但在兩分振動(dòng)頻率相差很小的情況下在兩振動(dòng)的頻率成在兩振動(dòng)的頻率成整數(shù)比整數(shù)比的的特殊情況下，其合成運(yùn)動(dòng)具有特殊情況下，其合成運(yùn)動(dòng)具有封閉的穩(wěn)定的軌跡。這些封閉的穩(wěn)定的軌跡。這些軌跡軌跡統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為李薩如圖形李薩如圖形2 2、振動(dòng)方向相互垂直、頻率不同的簡諧振動(dòng)的合成、振動(dòng)方向相互垂直、頻率不同的簡諧振動(dòng)的合成一般情況下的合成很難用函數(shù)來明確表達(dá)一般情況下的合成很難用函數(shù)來明確表達(dá) 垂直振動(dòng)的合成軌跡可垂直振動(dòng)的合成軌跡可利利用運(yùn)動(dòng)方程或旋轉(zhuǎn)矢量，通過用運(yùn)動(dòng)方程或旋轉(zhuǎn)矢量，通過作圖的方法獲得作圖的方法獲得 李莎茹圖23.

12、avi李薩如圖形李薩如圖形21:31:32 : 例例 圖中所畫的是兩個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線圖中所畫的是兩個(gè)簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線. . 若這若這兩個(gè)簡諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相為兩個(gè)簡諧振動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相為A/2-AOxt（1） （2）2/3（4）0（3）2/ 例例 一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，周期為一質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)，周期為T，當(dāng)它由平衡位置，當(dāng)它由平衡位置向向 x 軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，從二分之一最大位移處到最大位移處這段路程所需要的時(shí)間為位移處這段路程所需要的時(shí)間為（1）T/4 （2）T/12 （3）T/6 （4）T/8xAA0aAbA2ATt23

13、26Tt 例例 已知一諧振動(dòng)曲線如圖所示，由圖確定：已知一諧振動(dòng)曲線如圖所示，由圖確定：（1）在）在_s時(shí)速度為零時(shí)速度為零 （2）在）在_s時(shí)動(dòng)能最大時(shí)動(dòng)能最大（3）在）在_s時(shí)加速度取正的最大值時(shí)加速度取正的最大值kk+1/22k+1/2ox(cm)12t（s）（2） 為最小時(shí)，為最小時(shí)， 為為_ 21xx 則（則（1） 為最大時(shí)，為最大時(shí)， 為為_21xx 3/2k3/42k 例例 已知兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)：已知兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)：),310(cos04. 01tx)10cos(03. 02tx)cos(tAx000vxt2xAA0vmx00AAx2TTt例例 用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相位用旋

14、轉(zhuǎn)矢量法求初相位2A 例例 一簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)一簡諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)曲線如圖所示，曲線如圖所示，求求振動(dòng)周振動(dòng)周期期 .020vAxt0t00s5 . 7vxt65TTt5 .72s18Tst5 . 70Ax)(st2A0Av5 .7xAA00 AAx2A*abt 例例 已知諧振動(dòng)的已知諧振動(dòng)的 A 、T ，求，求 1）如圖簡諧運(yùn)動(dòng)方）如圖簡諧運(yùn)動(dòng)方程，程， 2）到達(dá)）到達(dá) a、b 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的時(shí)間點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的時(shí)間 . )cos(tAx解法一解法一從圖上可知從圖上可知0,2, 0vAxtcos2AA21cos)35,3(3或或0sin,00v353或或)3cos(tAxv)3cos(tAx)3cos(

15、atAA4,2,03at2)3(at032atT6Tta)3cos(2btAA37,35,33bt2)3(bt332btT3Ttb0 AAx2A*abvt解法二解法二)cos(tAxA/20,2,0vAxt3xAA0矢量位于矢量位于 軸軸下方下方時(shí)時(shí)0vx0 AAx2A*abvt用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相位用旋轉(zhuǎn)矢量法求初相位A/2)3cos(tAx0txAA0A/262TTtaatt 3)3(00 AAx2A*abvt)3cos(tAxbtt 32)3(332TTtb 例例 求兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的合振幅求兩個(gè)同方向同頻率的簡諧振動(dòng)的合振幅)6cos()m103(21tx)3cos()m104

16、(22tx2)6(312A2221AAAm10520 x1A2A12)cos(212212221AAAAA 例例 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧振一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上的簡諧振動(dòng)，求合振動(dòng)的振幅和初相位。動(dòng)，求合振動(dòng)的振幅和初相位。)(cos()(mtx6210421 )(cos()(mtx65210322 m1012A61)6s2cos()m101 (12tx1A2A12x0A323N2N0321xxxx0A例例 已知如下的三個(gè)簡諧振動(dòng)，已知如下的三個(gè)簡諧振動(dòng)，求求合振動(dòng)合振動(dòng).tAxcos11)32cos(22tAx)34cos(33tAx321xxx求求：321AAA已知已知321A2A3AOx32火車的危險(xiǎn)速率與軌長火車的危險(xiǎn)速率與軌長 例例 車輪行駛到兩鐵軌接縫處時(shí)，受到一次撞擊，使車輪行駛到兩鐵軌接縫處時(shí)，受到一次撞擊，使車廂受迫振動(dòng)車廂受迫振動(dòng) 當(dāng)車速達(dá)某一速率時(shí)（使撞擊頻率與車當(dāng)車速達(dá)某一速率時(shí)（使撞擊頻率與車廂固有頻率相同）發(fā)生激烈顛簸，這一速率即為危險(xiǎn)速廂固有頻率相同）發(fā)生激烈顛簸，這一速率即為危險(xiǎn)速率率 設(shè)車廂總負(fù)荷為設(shè)車廂總負(fù)荷為 m = 5.5104 kg，車廂彈簧每受力，