固體物理第五章_晶體的能帶理論

1、1第五章第五章 晶體中電子能帶理論晶體中電子能帶理論1.孤立原子中電子受原子束縛，處于分立能級(jí)；晶體中的電子不再束縛于個(gè)別原子，而是在一個(gè)周期性勢(shì)場(chǎng)中作共有化運(yùn)動(dòng)。在晶體中該類(lèi)電子的能級(jí)形成一個(gè)帶。2. 晶體中電子的能帶在波矢空間具有反演對(duì)稱性，且是倒格子的周期函數(shù)。3. 能帶理論成功的解釋了固體的許多物理特性，是研究固體性質(zhì)的重要理論基礎(chǔ)。2本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容5.1 布洛赫波函數(shù)5.2 一維晶格中的近自由電子 5.3 一維晶格中電子的布喇格反射 5.4 平面波法 5.5 布里淵區(qū) 5.6 緊束縛法 5.7 正交化平面波 贗勢(shì)5.8 電子的平均速度 平均加速度和有效質(zhì)量5.9 等能面 能

2、態(tài)密度5.10 磁場(chǎng)作用下的電子能態(tài)5.11 導(dǎo)體 半導(dǎo)體和絕緣體35.1 布洛赫波函數(shù)布洛赫波函數(shù)一、布洛赫定理（一、布洛赫定理（Bloch)k k 電子的波矢R Rn 格矢晶體中電子波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波平面波，電子波函數(shù)具有以下形式)(ue)(kikrrrknkkuuRrr)(332211aaaRnnnn其中1、布洛赫定理、布洛赫定理42.1 單電子近似單電子近似固體中存在大量電子，它們的運(yùn)動(dòng)是相互關(guān)聯(lián)的，是個(gè)多體問(wèn)題；可將多體問(wèn)題簡(jiǎn)化為單電子問(wèn)題，把每個(gè)電子運(yùn)動(dòng)看成是獨(dú)立地在一個(gè)等效勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)；單電子近似的步驟：（1）假定晶體中原子實(shí)固定不動(dòng)，電子運(yùn)動(dòng)和晶格振動(dòng)分開(kāi)；（

3、Born-Oppenheimer approximation）（2）假定電子間相互作用可用某種平均作用來(lái)代替，作用在每個(gè)電子上的勢(shì)場(chǎng)只與該電子的位置有關(guān)，與其它原子的位置和狀態(tài)無(wú)關(guān)。V(r)2、布洛赫定理的證明、布洛赫定理的證明)()(2)(22rrrVmH5由于晶格周期性，晶體中等效勢(shì)場(chǎng)V(r)具有晶格的周期性：)()(nVVRrr等效勢(shì)場(chǎng)V(r)的性質(zhì)6kjirzyxkjiRr)()()(nznynxnRzRyRx2222222)(zyxr在直角坐標(biāo)系中2.2 哈密頓算符具有平移對(duì)稱性哈密頓算符具有平移對(duì)稱性)()(2)(22rrrVmH7哈密頓算符)()(2)(22rrrVmH)()()

4、()(22222222nnznynxVRxRxRxmRr )()()(222nnnHVmRrRrRr哈密頓函數(shù)具有晶格的平移對(duì)稱性哈密頓函數(shù)具有晶格的平移對(duì)稱性82.3 電子波函數(shù)的特點(diǎn)電子波函數(shù)的特點(diǎn)任意一個(gè)函數(shù)f(r)經(jīng)過(guò)平移算符作用后變?yōu)?(f)(f )(TnnRrrR平移對(duì)稱操作算符作用在薛定諤方程左邊)()()()()()()()(rRrRrRrrrRnnnTHHHT平移對(duì)稱算符與哈密頓算符是對(duì)易的。（1）波函數(shù)(r r)是哈密頓算符和平移對(duì)稱操作算符的共同本征函數(shù)。9)()()()()(TnnnrRRrrR由本征值(Rn)必須滿足等式)()()(rRRrnn)nnn(T)(T332

5、211naaaR)()()(332211aaanTnTnT321)()()(321nnnTTTaaa(2) (2) 本征值本征值)(nRT根據(jù)平移特點(diǎn)a1a3Oa2 O Rn=2a1+2a2+2a31210設(shè)晶體在a1、 a2、a3三個(gè)方向各有個(gè)N1、N2、N3個(gè)原胞，利用周期性邊界條件有)()(11arrN)()()()()()(111111rarraraNNTN1)(11Nai1e)(a可以得到)()()()()()()()(321321raaarRrRnnnnnT321)()()()(321nnnnaaaR即321n3n2n1n)(T)(T)(T)(TaaaR111e1iN11ak為了將

6、與a1對(duì)應(yīng)起來(lái)，令k1a1，代入ie)(1al1為整數(shù)同理可以得到2222bkNl2222Nli2e)(aba3333bkNl3333Nli3e)(aba取1111bkNl滿足上式，得到1111Nli1e)(aba1111l2Nak211ab12333222111321NlNlNlbbbkkkk簡(jiǎn)約波矢簡(jiǎn)約波矢，對(duì)應(yīng)平移操作算符本征值量子數(shù)，物理意義是原胞之間電子波函數(shù)的位相變化。a1a3Oa2 O )(e)()()(Ti11rarra11akO 波函數(shù)O波函數(shù)具有波矢的意義13321)()()()(321nnnnaaaR晶體中電子波函數(shù)滿足方程)(e)()()(TninnrRrrRRknin

7、e)(RkR332211i3i2i1e)(,e)(,e)(akakakaaa332211nnnnaaaR本征值14當(dāng)波矢k增加一個(gè)倒格矢332211bbbKhhhh平面波rKkr)( ihe)(也滿足)(e)(ninrRrRk(3) 電子波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波電子波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波證明：rKkr)( ihe)()()( innhe)(RrKkRr)()( i)( iii)( iinhhnhnhneeeeeRrKkrKkRKRkrKkRk左右rkrie)(平面波滿足！構(gòu)造波函數(shù)！構(gòu)造波函數(shù)15電子的波函數(shù)可取為這些平面波的線性疊加rKrkrKkKkKkrhhihhi)( ih

8、hke )(aee )(a)(rKkr)( ihe)()(ue )( akihhhrKkrK)(ue)(kikrrrk)()(rRrknkuu電子波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波電子波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波16二、簡(jiǎn)約布里淵區(qū)二、簡(jiǎn)約布里淵區(qū)布洛赫函數(shù)布洛赫函數(shù) k(r)與與 k+Kn(r)描述同一電子態(tài)描述同一電子態(tài))(ue)(kikrrrkrKKkrhihhke )(a)(uk態(tài)和k+Kn態(tài)實(shí)際是同一電子態(tài)rKKKkrhnihhnKke )(a)(urKKKk)( illnle )(a)(ue)(nnnKk)( iKkrrrKk)()(rKkrKrkklilileae17同一個(gè)電子態(tài)對(duì)

9、應(yīng)同一能量)()(nEEKkk)()()()(rkrrkkEH)()()()(rkrrnnKkKkEH即同一個(gè)本征值E(k)，有無(wú)數(shù)個(gè)本征函數(shù)k+Kn(r) 。本征函數(shù)與本征值本征函數(shù)與本征值18簡(jiǎn)約布里淵區(qū)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)這個(gè)區(qū)間為簡(jiǎn)約布里淵區(qū)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)或第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)。為了使本征函數(shù)與本征值一一對(duì)應(yīng)，即使電子的波矢k與本征值E(k)一一對(duì)應(yīng)，必須把波矢的取值限制在一個(gè)倒格原胞區(qū)間內(nèi)3 ,2 , 1i22iiibkb19b1b3Ob2簡(jiǎn)約布里淵區(qū)20在簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的原胞數(shù)目：NN1N2N3。簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)目等于晶體的簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)，電子的波矢數(shù)

10、目等于晶體的原胞數(shù)目原胞數(shù)目22iiiNlNi=1,2,3將代入，得331221111bbbkNlNlNl22iiibkb21電子的波矢密度為3)2(cVc33332211V)2(N)2(N*)NbNb(Nb在波矢空間內(nèi)，N的數(shù)目很大，波矢點(diǎn)的分布準(zhǔn)連續(xù)。一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的體積為電子的波矢密度電子的波矢密度225.2 一維晶格中的近自由電子一維晶格中的近自由電子在金屬晶體中，原子實(shí)對(duì)價(jià)電子的束縛較弱，價(jià)電子的行為與自由電子相似。模型和零級(jí)近似模型和零級(jí)近似E0EE0一維周期場(chǎng)23平均勢(shì)，取為02a2a0dx)x(Va1Vn2a2a*x)n(a2i*nVdxe)x(Va1V周期場(chǎng)V(x)展成付里葉級(jí)

11、數(shù)nxa2inn00eVVVV)x(V其中2a2a*nxa2indxe)x(Va1V)ax(V)x(V微擾項(xiàng)24一維晶格中電子的薛定諤方程為)()()()(2222xxExxVdxdmkk晶格的周期勢(shì)k(x)=eikxuk(x)將零級(jí)哈密頓量分離出來(lái)00HHH其中22202220dxdm2Vdxdm2HVeVHnxa2inn25一維晶格長(zhǎng)度 L=NamkkE2)(220ikxkeLx1)(0)x()k(E)x(H0k00k0零級(jí)近似解零級(jí)近似解自由電子和平面波22202dxdmH26電子的能量可寫(xiě)成)()()()()2()1(0kEkEkEkEkkkkEkEHkE)()()(002)2(二級(jí)微

12、擾能量微擾計(jì)算微擾計(jì)算0dx)x(V)x(*H)k(EL00k0kkk)1(一級(jí)微擾能量0V)x(VVL00k0k0dx)x()x(V)x(*Vnxa2inneVVikx0keL1)x(27微擾矩陣元微擾矩陣元LkkkkdxxVxH000)()(*NanakkNanakkVnn)2()2sin(na2kk,0;na2kk,Vn當(dāng)當(dāng)lNa2k, lNa2kl和l都是整數(shù)nxa2inneVVikx0keL1)x(28若只考慮到電子能量的二級(jí)微擾nnnakkVmmkkE2222222)2(22)(電子的波函數(shù))()()()()(0000 xkEkEHxxkkkkkk)2(*21 122222nnxa

13、inikxnakkemVeL)(xuekikxnkkVHnakk,2當(dāng)ikx0keL1)x(291. 調(diào)幅因子是晶格的周期函數(shù)。2. 右端第一部分代表波矢為k的前進(jìn)平面波。3. 第二部分是電子在行進(jìn)中遭受到起伏勢(shì)場(chǎng)的散射作用所產(chǎn)生的散射波。4. 前進(jìn)波波矢k遠(yuǎn)離n/a時(shí)，Vn*是小量，第二部分貢獻(xiàn)很小，波函數(shù)主要由前進(jìn)平面波決定，此時(shí)電子的能量主部是2k2/2m，電子行為與自由電子近似。討論：)na2k(ke*mV21eL1)x(n2222nxa2inikxkn22222n22)na2k(kVm2m2k)k(E305.3 一維晶格中電子的布喇格反射一維晶格中電子的布喇格反射一、簡(jiǎn)并態(tài)微擾一、簡(jiǎn)

14、并態(tài)微擾)()()()()(0000 xkEkEHxxkkkkkk1. 原來(lái)零級(jí)波函數(shù)k0中將摻入與它有關(guān)的微擾矩陣元。2. 能量差E0(k)-E0(k)愈小，摻入的成分愈大。3. 摻入的成分也與Hkk 有關(guān)。31na2kk1. k0可能對(duì)原來(lái)零級(jí)波函數(shù)k0影響。2. 能否有影響或者影響的大小還取決定于該量子態(tài)的能量。nakknakkVHnkk2, 0;2,當(dāng)當(dāng)320m2k)k(E220E0(k)knak1nak12k2kna2kkna2kk22111. k10對(duì)原來(lái)零級(jí)波函數(shù)k10影響大，是簡(jiǎn)并態(tài)的微擾。2. k20對(duì)原來(lái)零級(jí)波函數(shù)k20影響較小，是非簡(jiǎn)并態(tài)的微擾。33二、前進(jìn)波與后退波二、

15、前進(jìn)波與后退波1. 前進(jìn)波的波矢k遠(yuǎn)離n/a時(shí)，散射波很微弱，波函數(shù)與平面波相近。2. 當(dāng)kn/a時(shí)， 波矢kn/a的散射波不能忽略。波矢kk，稱波矢為k的波為前進(jìn)前進(jìn)波波，波矢為k的波為后退波后退波。或相反。)na2k(ke*mV21eL1)x(n2222nxa2inikxk343. 前進(jìn)波與后退波的特點(diǎn)前進(jìn)波與后退波的特點(diǎn)(2) k=n/a=k, 2a=n的條件是一維布拉格反一維布拉格反射條件射條件，對(duì)應(yīng)sin=1。2ankkna 2(1) 前進(jìn)波與后退波的波長(zhǎng)相等，且滿足關(guān)系式35前進(jìn)波散射波格點(diǎn)2散射波與格點(diǎn)1散射波的波程差為2a，格點(diǎn)3散射波與格點(diǎn)1散射波的波程差為4a，。 當(dāng)kn/

16、a時(shí)， 2a=n，各格點(diǎn)產(chǎn)生的散射波波程差都是波長(zhǎng)整數(shù)倍，即相位差為2的整數(shù)倍。各各格點(diǎn)散射波相互加強(qiáng)，形成一個(gè)強(qiáng)烈散射波。格點(diǎn)散射波相互加強(qiáng)，形成一個(gè)強(qiáng)烈散射波。132132aa364. 一維情況下的布拉格反射條件（簡(jiǎn)并微擾計(jì)算）一維情況下的布拉格反射條件（簡(jiǎn)并微擾計(jì)算）當(dāng)kn/a，kn/a 時(shí)，電子的零級(jí)波函數(shù)是前進(jìn)波和反射波的線性組合（簡(jiǎn)并微擾）)x(B)x(A)x(0k0k0波矢接近布拉格反射條件時(shí)，近似認(rèn)為也是簡(jiǎn)并微擾。)1 (ank)1 (ank為小量也成立即近似認(rèn)為簡(jiǎn)并370m2k)k(E220E0(k)knak1nak1)1 (1 k)1 (1k波矢接近布拉格反射條件零級(jí)能量示

17、意圖38分別乘以k0*(x)和k0*(x)。對(duì)x積分0)(0BVAkEEn0)(0BkEEAVnnakknakkVdxxVxHnLkkkk2, 0;2,)()(*000當(dāng)當(dāng)0)x(E)x(Vdxdm20222)x(B)x(A)x(0k0k0)x()k(E)x(Vdxdm20k00k0222)x()k(E)x(Vdxdm20k00k02220)()()()(0000 xVEkEBxVEkEAkkVV)x(V03922)(2anmTn212222)4()1 (nnnTVT4)()()()(2121220000nVkEkEkEkEE電子的能量為)1 (ank)1 (ankmkkE2)(22040電子

18、遭受晶格最強(qiáng)散射時(shí)，電子有兩個(gè)能態(tài)： 一個(gè)高于動(dòng)能Tn ，一個(gè)低于動(dòng)能Tn。兩個(gè)能級(jí)的差值為ngV2E nnVTE212222)4()1 (nnnTVTE對(duì)這些特殊波矢，有兩個(gè)能級(jí)，在能量區(qū)間 Eg 內(nèi)沒(méi)有其它能級(jí)，稱能級(jí)間隙Eg為禁帶寬度禁帶寬度。當(dāng)0時(shí)0m2k)k(E220E0(k)knak1nak1)1 (1 k)1 (1k kn/a412122n2n2n)T4V()1(TE0m2k)k(E220E0(k)knak1nak1)1 (1 k)1 (1k 0但較小)1 (ank42適用于禁帶之上的能帶底部適用于禁帶之下的能帶頂部 0，Tn一般大于|Vn|22)(2)21 (ankmVTVTE

19、nnnn22)(2) 12(kanmVTVTEnnnn2122n2n2n)T4V()1(TE展開(kāi)，取到2項(xiàng)22)(2anmTn1nak)21 ()41 ()4(2222122221222nnnnnnnnVTVVTVTV43波矢接近布拉格反射條件能量示意圖0m2k)k(E220E0(k)kanan)1 (an)1(an44k遠(yuǎn)離n/a，電子的零級(jí)近似波函數(shù)為平面波，能量與自由電子的能量近似。較大0m2k)k(E220E0(k)knak1nak1)1 (1 k)1 (1k451. 能帶底部，能量隨波矢變化關(guān)系是向上彎的拋物線；能帶頂部，是向下彎曲的拋物線。E241300aa20a2ak12V近自由

20、電子能帶近自由電子能帶462. 在kn/a(布里淵區(qū)邊界)處，電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為2|Vn|。3. 1，3態(tài)具有相同的能量，相差一個(gè)倒格矢 2/a，屬于同一個(gè)態(tài)；2，4態(tài)具有相同的能量，相差一個(gè)倒格矢2/a，屬于同一個(gè)態(tài)。4. k遠(yuǎn)離n/a時(shí)，電子的能量與自由電子的能量近似。E241300aa20a2ak12V47電子能帶的繪制方法（三種）電子能帶的繪制方法（三種）晶體中電子的k態(tài)與k+Kh態(tài)是等價(jià)的，電子的能量在波矢空間內(nèi)具有倒格矢的周期性。第一能帶第三能帶能帶周期性表示Ea0akE能帶簡(jiǎn)約布里淵區(qū)表示0k-/a/a兩禁帶之間能量曲線是準(zhǔn)連續(xù)的第一禁帶第一禁帶第二禁帶第二禁帶48三

21、種表示方法等價(jià)；要標(biāo)志電子的狀態(tài)，必須指明它的簡(jiǎn)約波矢k k及所處能級(jí)編號(hào)。能帶序號(hào)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)132E0k能帶拋物線型表示491. 簡(jiǎn)約布里淵區(qū)表示和拋物線表示，每能帶對(duì)應(yīng)波矢區(qū)間恰好等于一個(gè)倒格原胞區(qū)間；2. 2. 每個(gè)能帶最多容納每個(gè)能帶最多容納2 2N N個(gè)電子（一維）：個(gè)電子（一維）：在一維情況下，一個(gè)波矢對(duì)應(yīng)的區(qū)間為2/L2/Na，一個(gè)能帶包含N個(gè)波矢狀態(tài)，計(jì)入自旋，每個(gè)能帶包含2N個(gè)量子態(tài)；3. 能帶序號(hào)越小，能帶寬度越小，能帶能態(tài)密度越大。結(jié)論：結(jié)論：505.4 平面波方法平面波方法1.1 三維勢(shì)場(chǎng)：三維勢(shì)場(chǎng)：周期勢(shì)，可將其展成傅立葉級(jí)數(shù)lille )(V)(VrKKr勢(shì)場(chǎng)的周

22、期性l)(ille )(V)(V)(VnnRrKKRrrKlRn必須是2的整數(shù)倍332211bbbKllllKl必須是倒格矢1. 中心方程中心方程將平均勢(shì)V0取作能量零點(diǎn)rKKrlill0e )(VVV)(V51認(rèn)定波矢k的波函數(shù)，k為常量，將a(k+Kh)中的k略去不寫(xiě)歸一化因子rKkKr)( immkme )(aN1)(rKKkrhihhke )( a)(u)(ue)(kikrrrk1.2 波函數(shù)波函數(shù)1.3 波動(dòng)方程波動(dòng)方程0)()()(222rkrkEVm0e )(ae )(V)(Em2N1)( immill2m2mlrKkrKKKkKkrKKrlill0e )(VVV)(V520)(

23、)()()(222mnmmnnnaVaEmKKKKkKkN,)( imnmndeN1KKrKKr對(duì)晶體體積積分 rKk)( ineN10e )(ae )(V)(Em2N1)( immill2m2mlrKkrKKKkKkKn、Km的取值無(wú)限多，方程為無(wú)限項(xiàng)?？扇∮邢揄?xiàng)近似。中心方程若取有限項(xiàng)平面波近似，則方程變?yōu)橛邢揄?xiàng)的方程，這些方程構(gòu)成齊次方程組。rKkKr)( immkme )(aN1)(1.4 中心方程中心方程53nmmnnm2n2,),(V),(Em2mnKKKKKKkKkKK當(dāng)當(dāng)Kn為行標(biāo)記Km為列標(biāo)記由行列式可求出電子的能量E(k)。a(Kn)，a(Km)有解的條件是它們系數(shù)行列式為

24、零注意：電子能帶依賴波矢的方向，i方向上的能帶E(ki)與j方向上的能帶E(kj)可能會(huì)有很大差別。0)()()()(222mnmmnnnaVaEmKKKKkKk2. 中心方程的解中心方程的解2.1 普遍情況普遍情況54電子近似于自由電子時(shí)，波函數(shù)與平面波相近rkri0keN1)(rKkKr)( immkme )(aN1)(電子的能量也與自由電子的能量接近mkE2)(220ka(0)1; a(Km)是小量電子的近自由電子行為是由勢(shì)場(chǎng)決定的rKKrlille )(V)(V小量2.2 近自由電子的解近自由電子的解55(1)|k+Kn|2遠(yuǎn)離k2，V(Kn)是小量，a(Kn)也是小量；(2)|k+K

25、n|2k2，a(Kn)變得很大，中心方程中除a(0)項(xiàng)和a(Kn)不能忽略外，其余項(xiàng)仍是二級(jí)小量。km2)(V)(a22n2nnKkKK0)0()()(222222aVamkmnnnKKKk忽略掉二級(jí)小量，中心方程簡(jiǎn)化0)()()()(222mnmmnnnaVaEmKKKKkKka(0)1; a(Km)是小量V(Kl)是小量56)(*)(nnVVKK)(2)(22nVmkEKk簡(jiǎn)化中心方程0)()()()(222mnmmnnnaVaEmKKKKkKk|k+Kn|2k20)()()0()(222nnaVaEmkKKk0)()(2)0()(22nnaEmkaVKkKKn=0, Km=KnKm=05

26、7)(2)(22nVmkEKk波矢滿足|k+Kn|2k2時(shí) ，波矢k對(duì)應(yīng)兩個(gè)能級(jí))(222nVmkEK)(222nVmkEK高于電子動(dòng)能的能級(jí)低于電子動(dòng)能的能級(jí)兩能級(jí)之間不存在允許的電子態(tài)，該能量區(qū)間稱為禁帶寬度)(V2EngK勢(shì)場(chǎng)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)決定禁帶寬度禁帶寬度58三維情況下，不同能帶在能量上不一定分隔開(kāi)，可能發(fā)生能帶之間的交疊。(a)EC EB，兩能帶發(fā)生交迭；(b)EB EC EA，兩能帶不發(fā)生交迭，但禁帶寬度Eg=EB-EC。kk OA BCE(k)0kE(k )0k ECEBEA59電子波矢特點(diǎn)電子波矢特點(diǎn)22kn Kk0)2(nnKkKk與k的模相等；k看作Kn中垂面的入射波矢，

27、k恰是Kn中垂面的反射波矢。波矢為k態(tài)的反射波就是與Kn垂直的晶面族引起的。幾何描述knK2nKknK0k=k+Knk60倒格矢中垂面是布里淵區(qū)邊界。當(dāng)電子波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí)，電子將遭受到與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族強(qiáng)烈散射，在反射方向上各格點(diǎn)的散射波相位相同，疊加成很強(qiáng)的反射波。sin2sin2 knKmdsin2晶面的面間距hdK2Kh=Kn/m，m為整數(shù)knK2nKk0k布拉格散射公式布拉格散射公式615.5 布里淵區(qū)布里淵區(qū)在波矢空間電子波矢是均勻分布的，簡(jiǎn)約布里淵區(qū)內(nèi)包含的波矢數(shù)目恰好等于原胞數(shù)目；當(dāng)電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時(shí)，電子將受到與布里淵區(qū)邊界平行晶面族的反射，此時(shí)電

28、子的能帶出現(xiàn)能隙；電子平行于布里淵區(qū)邊界的平均速度不為零；垂直于布里淵區(qū)邊界的速度為零；電子等能面在布里淵區(qū)邊界上與界面垂直。62一、二維方格子一、二維方格子設(shè)方格子的原胞基矢為jaiaa,a21jbiba2,a221倒格子的原胞基矢為2211,bbbb離原點(diǎn)最近的四個(gè)倒格點(diǎn)垂直平分線圍成的區(qū)域。簡(jiǎn)約布里淵區(qū)簡(jiǎn)約布里淵區(qū)a2a2a2a2二維方格子的布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)（簡(jiǎn)約布里淵區(qū)）（1塊）63離原點(diǎn)次近的4個(gè)倒格點(diǎn)分別是)(,),(,21212121bbbbbbbb垂直平分線與簡(jiǎn)約布里淵區(qū)邊界所圍成區(qū)域。第二布里淵區(qū)第二布里淵區(qū)a2a2a2a221bb 第二布里淵區(qū)（4塊）64離原點(diǎn)再遠(yuǎn)的倒

29、格點(diǎn)也為4個(gè)22112,2 ,2,2bbbb垂直平分線與第一、二布里淵區(qū)邊界所圍成的區(qū)域。第三布里淵區(qū)第三布里淵區(qū)a2a2a2a2第三布里淵區(qū)（8塊）651）從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)n個(gè)垂直平分面（線）方能到達(dá)的區(qū)域，為第（n+1）布里淵區(qū)。2）布里淵區(qū)的序號(hào)越大，分離的區(qū)域數(shù)目就越多。3）不論分離的區(qū)域數(shù)目是多少，各布里淵區(qū)的面積都相等。4）高序號(hào)的各區(qū)域可通過(guò)平移適當(dāng)?shù)垢袷付迫氲谝徊祭餃Y區(qū)。布里淵區(qū)的特點(diǎn)布里淵區(qū)的特點(diǎn)a2a2a2a221366二、簡(jiǎn)立方格子二、簡(jiǎn)立方格子正格子基矢為kajaiaaaa321,倒格子基矢為kbjbibaaa2,2,232167第一布里淵區(qū)體積為3)a2(*它們

30、的中垂面所圍成的區(qū)域就是第一布里淵區(qū)，為一個(gè)立方體。離原點(diǎn)最近的倒格點(diǎn)有6個(gè)，分別為321,bbb1、第一布里淵區(qū)、第一布里淵區(qū)b1/2-b1/2-b3/2b3/2-b2/2b2/26812個(gè)次近鄰的倒格點(diǎn),22,223221kjbbjibbaaaaikbbaa22132、第二布里淵區(qū)、第二布里淵區(qū)由這12個(gè)倒格矢的中垂面圍成一個(gè)菱形12面體，該體積為3)2(2a從該體積減去第一布里淵區(qū)體積即為第二布里淵區(qū)。PHzxyNxyb1+b2b1b2b1+b2b1b269三、體心立方格子三、體心立方格子體心立方正格子的原胞基矢為)(21kjiaa)(2a2kjia)(23kjiaa)(21kjba)(

31、22ikba)(23jiba倒格子的原胞基矢為abca1a2a3b2b1b3k4/aj4/ai4/a70jibbbaa22)(213kjbbbaa22)(321ikbbbaa22)(132離原點(diǎn)最近的12個(gè)倒格點(diǎn)簡(jiǎn)立方12個(gè)次近鄰的倒格點(diǎn)ikbbkjbbjibba2a2,a2a2,a2a2133221b2b1b3i4/aj4/ak4/axyb1+b2b1b2b1+b2b1b271由于12個(gè)最近鄰的倒格點(diǎn)與簡(jiǎn)立方正格子的12個(gè)次近鄰倒格點(diǎn)的直角坐標(biāo)完全相同。體心立方第一布里淵區(qū)也是菱形12面體，體積為3)2(2a第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū)典型對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo))21,21,21(a2:P),0

32、 ,21,21(a2:N),0 ,0 , 1(a2:H),0 ,0 ,0( :PHzxyN72 四、面心立方格子四、面心立方格子面心立方正格子原胞基矢為)(2),(2),(2321jiaikakjaaaa倒格子原胞基矢為)(21kjiba)(22kjiba)(23kjibak4/ab1b2b3j4/ai4/a73倒格子為體心立方，離原點(diǎn)最近的8個(gè)近鄰)(,321321bbbbbb3)a2(4*倒格子原胞的體積，也即布里淵區(qū)的體積為用直角坐標(biāo)表示，分別位于)1, 1, 1(a2),1 , 1 , 1(a2)1, 1 , 1(a2),1 , 1, 1(a2)1 , 1, 1(a2),1, 1 ,

33、1(a2)1, 1, 1(a2),1 , 1 , 1(a2b1b2b34/a74由這8個(gè)倒格點(diǎn)的中垂面圍成的是個(gè)正八面體，原點(diǎn)到每個(gè)面的垂直距離是相應(yīng)倒格矢模的一半a/3正八面體的體積為3)2(29a問(wèn)題：正八面體不是第一布里淵區(qū)，體積比第一布里淵區(qū)大3)2(21a3)a2(4*75它們的中垂面截去了正八面體的6個(gè)頂角，截去的體積為3)2(21a面心立方格子的第一布里淵區(qū)是個(gè)14面體。必須計(jì)入次近鄰倒格點(diǎn)，此次近鄰倒格點(diǎn)有6個(gè))0 , 0 , 2(2: )(32abb)0 , 2, 0(2: )(13abb)2, 0 , 0(2: )(21abbk4/ab1b2b3j4/ai4/a76有8個(gè)正

34、六邊形和6個(gè)正方形，稱為截角八面體。LKXxyz第一布里淵區(qū)的典型對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為)21,21,21(a2:L),0 ,43,43(a2:K),0 ,0 , 1(a2:X),0 ,0 ,0( :775.6 緊束縛方法緊束縛方法原子結(jié)合成晶體時(shí)，電子的狀態(tài)發(fā)生了根本性變化，電子從孤立原子的束縛態(tài)變?yōu)榫w中的公有化狀態(tài)。電子狀態(tài)變化大小取決于電子在某原子附近受該原子勢(shì)場(chǎng)的作用與其它諸原子勢(shì)場(chǎng)作用的相對(duì)大小。若電子所處原子勢(shì)場(chǎng)的作用比其它原子勢(shì)場(chǎng)的作用大得多（原子內(nèi)層電子，晶體中原子間距較大），近自由電子近似就不適用。電子公有化運(yùn)動(dòng)狀態(tài)與原子束縛態(tài)之間有直接聯(lián)系。一、引言一、引言78緊束縛方法出發(fā)點(diǎn)：緊

35、束縛方法出發(fā)點(diǎn)：（1）電子在一個(gè)原子附近時(shí)，將主要受到該原子場(chǎng)的作用，把其它原子場(chǎng)的作用看成是微擾作微擾作用用。（2）由此得到原子中電子能級(jí)與晶體中能帶的相互聯(lián)系。79二、原子軌道的線性組合（二、原子軌道的線性組合（LCMO）當(dāng)晶體中原子間距較大時(shí)，電子被束縛在原子附近的幾率比遠(yuǎn)離原子的幾率大得多，電子在某格點(diǎn)（設(shè)為簡(jiǎn)單晶格）附近的行為同孤立原子中電子的行為相似：（1）r偏離Rn較大時(shí)，波函數(shù)(k, r-Rn)是小量。此時(shí)原子波函數(shù)at(k, r-Rn)也是小量（2）rRn時(shí)，波函數(shù)(k, r-Rn)與孤立原子波函數(shù)at(k, r-Rn)相近用孤立原子波函數(shù)at(k, r-Rn) 來(lái)描述波函數(shù)

36、(k, r-Rn)能概括緊束縛條件下波函數(shù)的上述兩大特點(diǎn)。80設(shè)晶體中第n個(gè)原子的位矢為332211nnnnaaaR若將該原子看作一個(gè)孤立原子，則在其附近運(yùn)動(dòng)的電子將處于原子某束縛態(tài) at(r-Rn) 。)(E)()(Vm2natatnatnat22RrRrRr第n個(gè)原子的原子勢(shì)場(chǎng)束縛態(tài)對(duì)應(yīng)能量晶體為N個(gè)相同原子構(gòu)成的布喇菲格子，將有N個(gè)相同能量Eat 和at，是個(gè)N重簡(jiǎn)并系統(tǒng)。81取上述N個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)的線性組合nnatn)(aRr作為晶體中電子公有化狀態(tài)的波函數(shù)。nlnat)(V)(V)(VRrRrr把原子間的相互影響當(dāng)作周期勢(shì)場(chǎng)的微擾項(xiàng)，晶體勢(shì)場(chǎng)V(r)由原子勢(shì)場(chǎng)構(gòu)成)(E)(Vm222kr晶

37、體中電子薛定諤方程波函數(shù)波函數(shù)82三、微擾計(jì)算三、微擾計(jì)算在緊束縛近似下（原子間距較at軌道大得多），不同原子的重疊很少：mnnatmat)()(*RrRr以at*(r-Rm)乘并對(duì)整個(gè)晶體積分0d)()(V)(V)(*aEEanatnatnmatnatm rRrRrrRr電子薛定諤方程化為0)()(V)(V)EE(annatnatatnRrRrrnnatn)(aRr)(E)(Vm222kr)(E)()(Vm2natatnatnat22RrRrRr83積分項(xiàng)rRrRrrRrd)()(V)(V)(*natnatmat)(Jd)()(V)(V)(*nmatatnmatRRRRnRrV(r r)-V

38、at(r r)是負(fù)值，J(Rm-Rn)0V(x)-Vat(x)xV(r)-Vat(r)的示意圖V(r r)是周期函數(shù)840d)()(V)(V)(*aEEanatnatnmatnatm rRrRrrRrnnnmatm0a)(JEEaRRN個(gè)以am為未知數(shù)的齊次線性方程方程組中系數(shù)只由(Rm-Rn)決定，方程有下列簡(jiǎn)單形式解nineN1aRk85nnatineN)(1),(RrrkRk證明：nineN1aRk),() )(1)(1),()(rkR(RrRRrRrklnlRknR-RkRklRklinlatiinnatieeeNeNln86ninmiatnme )(JeEERkRkRRsisatni

39、nmatsnmeJEeJEERkR-RkRRR)()()(Rs=Rn-RmnnatineN)(1),(RrrkRk布洛赫函數(shù)nnatn)(aRrnineN1aRknnnmatm0a)(JEEaRR87四、簡(jiǎn)約波矢四、簡(jiǎn)約波矢22iiiNlNi=1,2,3331221111bbbkNlNlNl22iiibkb簡(jiǎn)約波矢設(shè)晶體由N=N1N2N3個(gè)原子組成，利用周期性邊界條件3 ,2 , 1i)N,(),(iiarkrk )(1)(1),()(nnatiinnatinneeNeNRrRrrkR-rkrkRk88五、非簡(jiǎn)并五、非簡(jiǎn)并s態(tài)電子的能帶態(tài)電子的能帶sisatse )(JEERkRRRd)()(

40、V)(V)(*)(Jatatsats*( Rs)和 ( )為相距Rs兩原子的s波函數(shù)Rs=0，波函數(shù)重疊最大，將積分記為CsNatsatatssdVVCrrrrr)()()()(*積分值為負(fù)值89Rs0，相鄰兩格點(diǎn)上的孤立電子波函數(shù)交疊很少，只計(jì)及相鄰格點(diǎn)的交疊積分。s態(tài)為球?qū)ΨQ，最近鄰的分布總是對(duì)稱的，V(r)-Vat(r-Rn)也是對(duì)稱的。Rn為最近鄰格點(diǎn)時(shí)NnatsnatatssdVVJrR-rR-rrr)()()()(*值都是相同的。負(fù)號(hào)保證Js為正值R Rn n為最近鄰格矢綜合Rs0和Rs0，第二部分簡(jiǎn)化為nissneJCRksisatse )(JEERkR90由第一、二部分得到s態(tài)

41、緊束縛電子能帶為nissatssneJCE)(ERkkRn為最近鄰格矢簡(jiǎn)單立方晶體，最近鄰有6個(gè)原子), 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(aaanissatssneJCE)(ERkk)akcosakcosak(cosJ2CE)(Ezyxssatssk91能量極大值為ssatssJCEE6max對(duì)應(yīng)第一布里淵區(qū)的8個(gè)角頂aaa,極小值在kx=ky=kz=0處（）。能量最小值為ssatssJCEE6min)coscos(cos2)(akakakJCEEzyxssatsskkzkxkyXRMssatssJ2CE)X(EX點(diǎn)XMkssatsJ6CEssatsJ2CE92能帶寬度E=12

42、Js。決定能帶寬度： Js的大小，取決于交疊積分 Js前的數(shù)字，取決于最近鄰格點(diǎn)的數(shù)目，即晶體的配為數(shù)。波函數(shù)交疊程度大，配為數(shù)高，能帶越寬；反之，能帶越窄。晶體中電子的能帶與孤立原子中電子的能級(jí)關(guān)系CsEsat晶體中電子的能帶孤立原子中電子的能級(jí)12Js93六、簡(jiǎn)立方晶格六、簡(jiǎn)立方晶格p態(tài)電子的能帶態(tài)電子的能帶原子p態(tài)是三重簡(jiǎn)并的，三個(gè)原子的p軌道)(rxfxpyzxyz)(rzfzpxyz)(ryfyp94根據(jù)簡(jiǎn)立方晶格的對(duì)稱性，三個(gè)p軌道各自形成一個(gè)能帶，其波函數(shù)為各自原子波函數(shù)的布洛赫和nnpipxnxeN)(1),(RrrkRknnpipynyeN)(1),(RrrkRknnpipz

43、nzeN)(1),(RrrkRkxyxypx軌道py軌道95xy電子云主要集中在x方向，六個(gè)近鄰重疊積分：沿x軸(a, 0, 0)和(-a, 0, 0)重疊積分大，用J1表示（0）p態(tài)緊束縛電子能帶sispatppsiieJCEERkRk)()(RRdVVJatpatsatpsii)()()()(*)(（1）px帶)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzyxpatppxkppppCCCCzyxizyx,J1J296（2）Py和Pz帶)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzxypatppyk)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEyxzpatp

44、pzkkzkxkyXRM: (0, 0, 0)；: (/2a, 0, 0)；X: (/a, 0, 0)cos(cos2cos2)(21akakJakJCEEzyxpatppxkXkxssatsJ6CEssatsJ2CE2142JJCEpatp2142JJCEpatp2142JJCEpatpS帶px帶py，pz帶97七、孤立原子能級(jí)與晶體能帶的對(duì)應(yīng)七、孤立原子能級(jí)與晶體能帶的對(duì)應(yīng)E123原子晶體能帶的寬窄與軌道重疊及配位數(shù)有關(guān)98八、萬(wàn)尼爾（八、萬(wàn)尼爾（Wannier）函數(shù)）函數(shù)nnati)(eN1),(nRrrkRk緊束縛近似中，能帶中電子波函數(shù)為原子波函數(shù)的布洛赫和nnatn)(aRrnni

45、),(WeN1),(nrRrkRk對(duì)于任何能帶布洛赫函數(shù)都可以寫(xiě)成類(lèi)似的形式萬(wàn)尼爾數(shù)萬(wàn)尼爾數(shù)kin),(eN1),(WnrkrRRk能帶萬(wàn)尼爾數(shù)由其布洛赫函數(shù)定義定義定義研究電子空間局域性的工具99性質(zhì)性質(zhì)（1）萬(wàn)尼爾數(shù)之間是完全正交的）萬(wàn)尼爾數(shù)之間是完全正交的nnnnd )(W)(*Wrr ,Rr ,R布洛赫函數(shù)的集合和萬(wàn)尼爾數(shù)的集合是兩組完備的正交函數(shù)集，它們之間由幺正矩陣相聯(lián)系。kinneNW),(1),(rkrRRk),(),(),(1),(),(),(),(1),(22211121rkrkrkrRrRrRrkrRN21RkRkRkRkRkRkRkRkRkRkN21N21N21NnNn

46、NnnnnnnnNniiiiiiiiinnnkineeeeeeeeeNWWWeNW100mnnatmat)()(*RrRr（2）緊束縛近似下萬(wàn)尼爾數(shù)就是各格點(diǎn)上孤立原）緊束縛近似下萬(wàn)尼爾數(shù)就是各格點(diǎn)上孤立原子波函數(shù)子波函數(shù)（3）能帶偏離緊束縛近似模型很遠(yuǎn)時(shí)，萬(wàn)尼爾數(shù)）能帶偏離緊束縛近似模型很遠(yuǎn)時(shí)，萬(wàn)尼爾數(shù)很少保留孤立原子波函數(shù)的信息很少保留孤立原子波函數(shù)的信息1015.7 正交化平面波正交化平面波 贗勢(shì)贗勢(shì)一、引言一、引言在近自由電子近似中，假定周期勢(shì)場(chǎng)起伏很小， 可將其展成傅立葉級(jí)數(shù)lille )(V)(VrKKr意味著系數(shù)V(Kl)很小V(Kl)是聯(lián)系k態(tài)和k+Kl態(tài)之間的矩陣元V(Kl)

47、很小指下述不等式能夠經(jīng)常被滿足)()()(00llVEEKKkkkimkmeaNrKkKr)()(1)(從而使計(jì)算大為簡(jiǎn)化2)()(222kmVammmKkKK102實(shí)際材料中，周期勢(shì)場(chǎng)起伏并不很小，在原子核附近，庫(kù)侖吸引作用使V(r)偏離平均值很遠(yuǎn)因此)()()(00llVEEKKkk并不是經(jīng)常能滿足使得k態(tài)的微擾計(jì)算需包含很多k+Kl態(tài)平面波的疊加，增加了計(jì)算的困難，甚至是不可能完成103另一方面，在固體中，人們關(guān)心的是價(jià)電子，在原子結(jié)合成固體的過(guò)程中，價(jià)電子的狀態(tài)發(fā)生了很大變化，而內(nèi)層電子的變化較小。價(jià)電子波函數(shù)與平面波的顯著區(qū)別是，在原子實(shí)附近電子波函數(shù)急速振蕩。平面波波函數(shù)價(jià)電子波函

48、數(shù)104rR(r)O1srR(r)O2srR(r)O3s氫原子1s, 2s, 3s態(tài)的徑向函數(shù)內(nèi)層電子的波函數(shù)在原子實(shí)附近也是含有多次振蕩。價(jià)電子與內(nèi)層電子屬于不同的能態(tài)，即對(duì)應(yīng)不同的本征值，它們的波函數(shù)正交。105為什么近自由電子近似的計(jì)算結(jié)果對(duì)于實(shí)際能帶是適合的？贗勢(shì)可以說(shuō)明上述問(wèn)題。利用正交化平面波可以證明：與內(nèi)層電子波函數(shù)正交的要求，起著一種排斥勢(shì)能的作用，它在很大程度上抵消了在離子實(shí)內(nèi)部V(r)的吸引作用。106價(jià)電子波函數(shù)與平面波的顯著區(qū)別：在原子實(shí)附近電子波函數(shù)急速振蕩。內(nèi)層電子的波函數(shù)在原子實(shí)附近也含有多次振蕩。為了克服平面波描述布洛赫波收斂慢的缺點(diǎn)，赫令（1940）提出了正交

49、化平面波正交化平面波方法。一、正交化平面波一、正交化平面波107內(nèi)層電子波函數(shù)用緊束縛模型來(lái)描述nnatjijk)(eN1nRrRk為反映價(jià)電子遠(yuǎn)離格點(diǎn)時(shí)，波函數(shù)近似平面波，而在原子實(shí)附近多次振蕩的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)正正交化平面波：平面波和內(nèi)層電子波函數(shù)的線性組合。倒格矢由正交條件求出Nijk0d ),(*rrkij正交化平面波正交化平面波l1jjkij)( iiieN1),(rKkrk正正交化平面波108價(jià)電子波函數(shù)由正交化平面波構(gòu)造：piiik1),()(rkr變分參量p的個(gè)數(shù)根據(jù)具體情況確定如何求價(jià)電子能量的期待值？?jī)r(jià)電子波函數(shù)價(jià)電子波函數(shù)109piiik1),()(rkr0)()EH(kr

50、ijjijiijkNkEJHdEHI,*)()( )(*rrrNijjiNijjidH*Hd*Jrr由I對(duì)j*的變分I/j*=0pjEJHpijijii, 2 , 1, 01由i系數(shù)行列式為零的條件，求出E的最小值即為價(jià)電子能量的期待值。用變分法求價(jià)電子能量的期待值用變分法求價(jià)電子能量的期待值110二、贗勢(shì)二、贗勢(shì)價(jià)電子波函數(shù)在原子實(shí)附近起伏劇烈，有多次振蕩，這與近自由電子平滑的零級(jí)波函數(shù)有顯著區(qū)別。采用近自由電子模型的原因在于該模型簡(jiǎn)單明了，能解釋許多金屬晶體的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。贗勢(shì)理論可解釋這一矛盾。111內(nèi)層電子的能量piljjkjijiEEEVm11220)()()(2rrjkjjkEVm)(

51、222rkk22E)(Vm2rpiljjkijik11)()(rrp1i)( ii)(eNirrKkpiiik1),()(rkr rrrKkde*1iiatjijl1jjkij)( iiieN1),(rKkrkNijk0d ),(*rrk價(jià)電子波動(dòng)方程價(jià)電子波動(dòng)方程112贗勢(shì)贗波函數(shù)由有限的平面波構(gòu)成，它必定是光滑的，光滑的波函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)起伏很小的勢(shì)場(chǎng)。贗勢(shì)一定是一個(gè)較小的量。)()(222rrEVmp1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkrpiljjkjijiEEEVm11220)()()(2rr贗勢(shì)方程贗波函數(shù)p1i)( iiieN)(rKkr贗勢(shì)方程贗勢(shì)方程1

52、13贗勢(shì) 贗波函數(shù)p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr)(V rpiljjkijik11)()(rrp1i)( iiieN)(rKkr114贗勢(shì)方程與實(shí)際方程的比較贗勢(shì)方程與實(shí)際方程的比較p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr)(V rp1i)( iiieN)(rKkrpiljjkijik11)()(rr)()(222rrEVm)(E)(Vm2kk22rr求價(jià)電子能量E115V(r)是一負(fù)值，是吸引勢(shì)。價(jià)電子的能量大于內(nèi)層電子的能量，E-Ej總是正值，相當(dāng)于排斥勢(shì)；贗勢(shì)的第二項(xiàng)抵消部分吸引勢(shì)，使得有效勢(shì)即贗勢(shì)成為一個(gè)較小的量。這

53、就是金屬中的價(jià)電子可作為近自由電子看待的理由。為什么贗勢(shì)一定是個(gè)較小的量？為什么贗勢(shì)一定是個(gè)較小的量？p1i)( iip1il1jjkjijiieN)EE()(VVrKkr1165.8 電子的平均速度電子的平均速度平均加速度和有效質(zhì)量平均加速度和有效質(zhì)量一、晶體中電子的平均速度一、晶體中電子的平均速度電子不能同時(shí)具有確定的位置和速度，但其平均位置和平均速度是確定的。電子的平均速度HHi1dtdrrr rrrrrrrdHH*HHkNk表達(dá)式表達(dá)式117)(ueH)(Hi)(H)(Hkkikkkkkrrrrrrk)(ue )(E)(Hi)()(E)()(Ekkikkkkkrkrrrkrkrk)()

54、()(rkrkkEHkjizyxkkkkkjizyxkkkk)(ue)(kikrrrk)(ue)(i)(kkikkkrrrrrkHH iEkrr)(ue )EH()(HiHiEkkikkrrrrrk118乘以k*(r)并對(duì)晶體積分NkkikNkkikkkiNkd)(uEe)(*d)(ue*)(Hd)(ueH)(*rrrrrrrrrrkrkrkNkkk0d)(HiHiE)(*rrrrr)(ue )EH()(HiHiEkkikkrrrrrkNkkkd)(HiHi)(*ErrrrrHHi1dtdrrr)(1kEk平均速度平均速度119二、電子的平均加速度和有效質(zhì)量二、電子的平均加速度和有效質(zhì)量dt是

55、一個(gè)很小時(shí)間間隔，遠(yuǎn)小于電子平均自由時(shí)間，則在dt時(shí)間內(nèi)外力F作的功使電子能量增加dtdEF 電子的準(zhǔn)動(dòng)量dE又可表示為kkddEdEk)(E1kk0dt)(dk-FFk )(dtd該式對(duì)所有波矢狀態(tài)成立平均加速度平均加速度120電子的平均加速度dt)(dE1dtdE1dtdE1Edtd1dtdkk2kkkkkkaFaE1kk2Fk )(dtd121zyx2z2yz2xz2zy22y2xy2zx2yx22x22zyxFFFkEkkEkkEkkEkEkkEkkEkkEkE1aaa晶體中電子相應(yīng)質(zhì)量是個(gè)張量，稱有效質(zhì)量。kkEm22*Fam1有效質(zhì)量有效質(zhì)量FaE1kk2122簡(jiǎn)立方晶體，緊束縛簡(jiǎn)

56、立方晶體，緊束縛s態(tài)電子的有效質(zhì)量態(tài)電子的有效質(zhì)量其它交叉項(xiàng)的倒數(shù)全為零)coscos(cos2)(akakakJCEEzyxssatssk電子的能量為電子的有效質(zhì)量分量為122122122)(cos2*)(cos2*)(cos2*akJamakJamakJamzszzysyyxsxxkkEm22*123能帶頂，處)a,a,a(k02*22szzyyxxJammm處，m*xx，m*yy，m*zz都變成)a2,a2,a2(k能帶底，k=(0, 0, 0)處02*22szzyyxxJammmkzkxkyRMXMkssatsJ6CEssatsJ2CE122122122)(cos2*)(cos2*)(

57、cos2*akJamakJamakJamzszzysyyxsxx有效質(zhì)量與電子狀態(tài)有關(guān)，可正，可負(fù)，有時(shí)還為無(wú)窮124晶體中電子的有效質(zhì)量可能成為負(fù)值，甚至?xí)兙w中電子的有效質(zhì)量可能成為負(fù)值，甚至?xí)優(yōu)闊o(wú)窮大為無(wú)窮大! ？在電子的能帶中，晶格勢(shì)場(chǎng)對(duì)電子有作用，而我們?cè)诳紤]有效質(zhì)量時(shí)只考慮外力和加速度的關(guān)系。有效質(zhì)量實(shí)際上包含了晶格對(duì)電子的貢獻(xiàn)。E241300aa20a2ak12V近自由電子能帶125若電子與晶格的相互作用力為Fl ，牛頓定律記為)FF(m1alF l的具體表達(dá)式難以得知，要使上式中不出現(xiàn)F l又要保持式子恒等，上式可改寫(xiě)為Fma*1電子的有效質(zhì)量本身包含了晶格的作用F 外力1

58、26mdtFmFdtmFdtl*F*m1a),FF(m1al電子給予晶格的外力給予電子的晶格給予電子的外力給予電子的)P()P(m1)P()P(m1*mP用動(dòng)量的增量代換沖量127討論：討論：1) 當(dāng)電子從外場(chǎng)中獲得的動(dòng)量大于電子傳遞給晶格的動(dòng)量時(shí)，有效質(zhì)量m*0（能帶底）；2) 當(dāng)電子從外場(chǎng)獲得的動(dòng)量小于電子傳遞給晶格的動(dòng)量時(shí)，m* B1，U2 B2， U3U2磁場(chǎng)變化引起電子量子態(tài)分布的變化和內(nèi)能的變化2n130kykxB1，U1EFEU,m2kkm2m2k21nE2z22r22z2ckr175（2）磁場(chǎng)增加，使第n個(gè)子能帶的臨界能量FcnE)21n(原來(lái)填充第n個(gè)子能帶的電子現(xiàn)在全部落入

59、第n-1及其之下各子能帶中，電子體系總能量E減少。（3）然后隨磁場(chǎng)增加，總能量又上升直到Fc1nE)211n(總能量又下降（1）隨著磁場(chǎng)增加子能帶的能量和狀態(tài)數(shù)都相應(yīng)地增加，能量間隔c也增加，而總電子數(shù)不變，電子將在各個(gè)子能帶中重新分配。176設(shè)相鄰兩極值對(duì)應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為Bn和Bn+1FnFnEmeBnEmeBn1)211(,)21(FnnmEeBBB111)1(兩1/B間距等于e/mEF，磁化率曲線就多一極值?？偰芰恳?1/B)周期隨1/B變化，體系的磁矩和磁化率都隨1/B作振蕩。（4） 電子總能量隨磁場(chǎng)的變化周期電子總能量隨磁場(chǎng)的變化周期177應(yīng)用應(yīng)用費(fèi)米面的測(cè)定費(fèi)米面的測(cè)定F22F2F1iiEm2kAAe2mEeB1B1)B1(m2kE2F2FA為費(fèi)米面垂直于B的極大或極小截面面積。原則上，改變磁場(chǎng)的方向，測(cè)出振蕩周期就可以得到垂直于該方向費(fèi)米面的A；根據(jù)不同方向的A就可決定費(fèi)米面的形狀。178磁場(chǎng)沿磁場(chǎng)沿方向時(shí)銀的迪方向時(shí)銀的迪 哈斯哈斯范范 阿耳芬效應(yīng)阿耳芬效應(yīng)面心立方結(jié)構(gòu)兩個(gè)周期對(duì)應(yīng)的極值軌道