冪函數(shù)經(jīng)典例題

1、例1、下列結(jié)論中，正確的是()A.幕函數(shù)的圖象都通過點(0,0) , (1,1)B.幕函數(shù)的圖象可以出現(xiàn)在第四象限， 一 1 ,一一，“、，一，C.當?shù)踔笖?shù)a取1,3, 2時，號函數(shù)y=x是增函數(shù)D.當事指數(shù)a = 1時，幕函數(shù)y = x"在定義域上是減函數(shù)解析 當事指數(shù)a=1時，幕函數(shù)y = xT的圖象不通過原點，故選項 A 不正確；因為所有的幕函數(shù)在區(qū)間(0, 十°0)上都有定義，且 y=x“( a CR), y>0,所以幕函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，故選項B不正確；而當a=1時，y = x-在區(qū)間(8, 0)和(0, +OO)上是減函數(shù)，但它在定義域上不是減

2、 函數(shù).答案 C,一一 一Q1例2、已知號函數(shù)f(x) = (t3t + 1)xz(7 + 3t2t2) (t CZ)是偶函數(shù)且在(0, 十 5°°)上為增函數(shù)，求實數(shù)t的值.p分析 關(guān)于吊函數(shù)y=x ( a e R, a W0)的奇偶性問題，設(shè)史(| p|、|q|互 q質(zhì))，當q為偶數(shù)時，p必為奇數(shù)，y=xp是非奇非偶函數(shù)；當q是奇數(shù)時，y= qxp的奇偶性與p的值相對應(yīng). q解 ,葉(x)是幕函數(shù)，t3t + 1= 1, .t = 1,1 或 0.當t=0時，f(x)=x7是奇函數(shù)；21,e-,當t= 1時，f(x)=x£是偶函數(shù)； 5當t = 1時，f (x

3、) =x8是偶函數(shù)，且2和8都大于0, 55 5在(0 , 十°°)上為增函數(shù).故 t = 1 且 f (x) =x8或 t = 1 且 f (x) =x2. 55點評 如果題中有參數(shù)出現(xiàn)，一定要注意對參數(shù)的分類討論，尤其對題中的條件 t ez給予足夠的重視.例3、如圖是幕函數(shù)丫 = 乂'與丫 =必在第一象限內(nèi)的圖象，則()A. -1<n<0<m<1 B. n< 1,0<m<1 C . 1<n<0, m>1 D. n<-1, n>1 解析 在(0,1)內(nèi)取同一值x0,作直線x = x0,與各圖象

4、有交點，則“點低指數(shù) 大”.如圖，0<n<1, n<1.答案 B點評 在區(qū)間(0,1)上，幕函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越靠近 x軸；在區(qū)間(1 , + °°)±,幕函數(shù)的指數(shù)越大，圖象越遠離 x軸.例4、已知x2>x；,求x的取值范圍.21錯解 由于x2>0, x； R,則由x2>x3，可得xCR錯因分析 上述錯解原因是沒有掌握幕函數(shù)的圖象特征，尤其是 y = x"在 a >1和0<a <1兩種情況下圖象的分布.正解1作出函數(shù)y=x2和y=x3的圖象(如右圖所示)，易得x<0或x>1.例 5、函

5、數(shù) f(x)=(n2 m- 1)xm2 + m- 3 是幕函數(shù)，且當 x (0 , +oo)時，f (x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式.分析解答本題可嚴格根據(jù)幕函數(shù)的定義形式列方程求出m,再由單調(diào)性確解 根據(jù)幕函數(shù)定義得m2- nn-1 = 1,解得 mi= 2 或 m= - 1,當mi= 2時，f (x) =x3在(0 , +8)上是增函數(shù);.-3 4-.-當m= 1時，f(x)=x在(0 , +8)上是減函數(shù)，不符合要求.故 f(x)=x3.點評 幕函數(shù)y = x“( a e B ,其中a為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以幕的底 x為自變量，指數(shù)a為常數(shù)(也可以為0).這是判斷一個函數(shù)是否為幕函數(shù)的重

6、要依據(jù)和唯一標準.對本例來說，還要根據(jù)單調(diào)性驗根，以免增根.、,、，力1一一一 ，一一變式 已知y=(m+2m-2)xm2一1 + 2n3是吊函數(shù)，求 m n的值.m+2rn- 2= 12解由題意得m廿。，2n 3 = 0 3解得 3,n=23 所以 3, n = 2.例6、比較下列各組中兩個數(shù)的大小： 3322 (1) 1.55, 1.75 ; (2),; (3) (-1.2) 3 , (1.25) 3 .3解析：(1)考查幕函數(shù)y=x5的單調(diào)性，在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增,33. A 1.55 < 1.75 ,(2)考查幕函數(shù)y=x土的單調(diào)性，同理 (3)先將負指數(shù)幕化為正指數(shù)幕可知它

7、是偶函數(shù)，2222242.( 1.2) 3 = 1.2 3,( 1.25) 3 = 1.25 3,又 1.2 3 >1.25 3 ,.( 1.2) 3£ > 1.25 3.點評：比較幕形式的兩個數(shù)的大小，一般的思路是：(1)若能化為同指數(shù)，則用幕函數(shù)的單調(diào)性；(2)若能化為同底數(shù)，則用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(3)若既不能化為同指數(shù)，也不能化為同底數(shù)，則需尋找一個恰當?shù)臄?shù)作為橋梁來比較大小.例7、比較下列各組數(shù)的大小5,5(1) 3 -2 與-21 79 8.分析 比較大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當不便利用單調(diào)性時，可用0與1去比較，這種方法叫“搭橋”法. 一 5， ,，一

8、解 (1)函數(shù)y = x 2在(0 , +8)上為減函數(shù)，55又 3<,所以 3 2> 2.(2) 8 7= 1 7,函數(shù) y=x7在(0 , +8)上為增函數(shù)，又1>1,則 3!88888988978，71 7從而8 8< 9 8.點評 比較大小的題，要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性的應(yīng)用，更善 于運用“搭橋”法進行分組，常數(shù) 0和1是常用的參數(shù).變式比較下列各組數(shù)的大小:7t621,3'3解22_3=33'23,一 2, 一 2 九函數(shù)y=x3在（0, +8）上為減函數(shù)，又= 3>否,2222冗2冗2. 一一一二一一一< = 33336

9、363.（2） |>l|=1,0<2<12=1, （ -|<0, 5 5335所以（-3<-2<2. 53 5例8、已知幕函數(shù)y=x3»9 （me N*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0 , +°°）上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足（a+1） m<（3 2a） mm勺a的范圍.解.函數(shù)在（0, +8）上遞減,3 ml- 9<0,解得 m<3, *又 m N , .1,2.又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，3m-9為偶數(shù)，故m= 1,11. .有（a + 1） <（3 2a）-. 33一1,又丁丫:乂一3在（一8, 0）

10、,（0, +8）上均遞減,.a+1>3 2a>0或 0>a+1>3 2a或 a+ 1<0<3 2a,-123解彳<<a<或 a<1. 32點評（1）解決與幕函數(shù)有關(guān)的綜合題時，一定要考慮幕函數(shù)的定義.幕函數(shù)y=x“，由于a的值不同，單調(diào)性和奇偶性也就不同.變式 已知幕函數(shù)y=xm22nn- 3 ( mC Z)的圖象與x軸、y軸都無公共點， 且關(guān)于y軸對稱，求m的值，且畫出它的圖象.解 由已知，得 m22m-3< 0, . . - K mK 3.又 丁 mE Z, ； m= 1,0,1,2,3 ,當nn= 0或m= 2時，y =

11、x-3為奇函數(shù)，其圖象不關(guān)于y軸對稱，不符合題意.當m= - 1或m= 3時，有y=x°,其圖象如圖所示.當m= 1時，y = x 4,其圖象如圖所示.練習一、選擇題1 .下列命題：幕函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0);幕函數(shù)的圖象不可能在第四象 限；n = 0時，y = xn的圖象是一條直線；幕函數(shù) y=xn,當n>0時，是增函 數(shù)；幕函數(shù)y = xn,當n<0時，在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小.其中正確的是()A.和B.和C.和D.和答案 D2,下列函數(shù)中，不是幕函數(shù)的是()A. y = 2x B . y = x 1C. y=yfx d . y = x2

12、答案 A3 .設(shè) a C 2, 1, -；, 1, 1, 1, 2, 3 ,則使 f(x)=x"為奇函數(shù)且在2 3 2A. 1 B . 2 C . 3 D . 4答案 A4 .當xC(1 , +8)時，下列函數(shù)圖象恒在直線y=x下方的偶函數(shù)是()A. y = x2 B .答案 B5.如果幕函數(shù)()A. -1<mK2答案 B解析由已知y = x 2 C . y = x2 D . y=x 答案0, +OO)解析 由 4 = 8",得 a =2, y=x2>0. 333.如圖所示是幕函數(shù)y=x a在第一象限內(nèi)的圖象，已知口取± 2, ±四個值，則相

13、應(yīng)于曲線 C1, C2, C3, C4的a依次為.11答案 2, 2, 2, 24.若幕函數(shù)y = f(x)的圖象經(jīng)過點(2,柩,則f(25)的值是.答案 5解析 設(shè)丫 = 乂“，二點(2,啦)在y = x "的圖象上，一11 .1./=2 , . .a=2, . .f(x)=x2.故 f(25)=252 = 5.5.幕函數(shù)y = x"( a C R)的圖象一定不經(jīng)過第 象限.答案四2512。1 03 26.把下列各數(shù)22, 3 3, -33, 5°, 3 3,按由小到大的排列順序為 22y = (m 3mH3) - xm- m-2的圖象不過原點，則m的取值是B

14、.1 或 m= 2 C ,2 D ,1m23mH 3=12m m- 2<0.rni= 1 或 mi= 2.6 .在函數(shù)y = L, y = 2x2, y = x2+x, y= 1 (xw0)中幕函數(shù)的個數(shù)為()xA. 1B. 0C 2D. 3答案 C解析依據(jù)幕函數(shù)的定義判定，應(yīng)選C.一一， 一、，1-，7 .吊函數(shù)f(x)的圖象過點4, 2 ,那么f(8)的值為()A. 2V6 B . 64答案 C一一 1 111A. y=2xB . y=x2解析 設(shè)f(x)=x ( a為常數(shù))，將4, 2點代入得3 = 4 , a = 2, f (x)答案 B解析根據(jù)函數(shù)圖象，選B.二、填空題1.若幕

15、函數(shù)y = f(x)的圖象經(jīng)過點9, 1 ,則f(25) =.3答案5解析 設(shè) f (x) =x",則 9" =；, a =； 321,c、 c 11 f(25) =25 2 = 5.2.設(shè)幕函數(shù)y = x”的圖象經(jīng)過點(8,4),則函數(shù)y=x"的值域是答案3V 5 < 313 2 2 17.已知號函數(shù)f(x)=x 2,若f(a+1)<f(102a),則a的取值范圍是答案 3<a<5解析f(x)=x1:9 ( x>0),由圖象知xC(0, +8)時為減函數(shù)，又f(a + 1)<f(10 2a),a+1>0,a>-1,

16、3<a<5.10-2a>0,得 a<5,a+1>10 2a.a>3.三、解答題211.求函數(shù) y= x5 +2x5 + 4 (x>-32)值域.1解析：設(shè) t=x5, ,.x>-32, .,.t>-2,貝 Uy=t2 + 2t + 4= (t + 1) 2+3.當 t = 一 1 時，ymin= 3 .2 1函數(shù) y= x5 +2x5 + 4 (x>-32)的值域為3, +).點評：這是復(fù)合函數(shù)求值域的問題，應(yīng)用換元法.2.已知f (x)=(吊+2m) - xni+m- 1, m是何值時，f (x)是(1)正比例函數(shù)； 反比例函數(shù)；(

17、3)二次函數(shù)；(4)幕函數(shù).解(1)若f(x)為正比例函數(shù)，則m+m-1=1 m + 2m0若f(x)為反比例函數(shù)，則m2+m-1 = 12 ,mi= 1.m + 2m0(3)若f(x)為二次函數(shù),則m+m-1 = 2-1±xH33 ,廣.m + 2m02(4)若 f (x)為幕函數(shù)，則 m2+ 2m= 1,m= -1土加。,i ，一一一一一. .1 ，一一一 一一4 .已知點(、/2, 2)在吊函數(shù)f(x)的圖象上，點 一2, 4在吊函數(shù)g(x)的圖 象上，問當x為何值時，(1)f(x)>g(x); (2)f(x)=g(x); (3)f(x)<g(x).解設(shè)f(x)=x

18、"，由題意得：2=(也)2? 5=2,f (x) =x解 (1)由題息，得a3a+2=1,.同理可求：g(x)=x-2 ,在同一坐標系內(nèi)作出y=f(x)與y=g(x)的圖象，如圖 所示.由圖象可知：(1)當 x>1 或 x<-1 時，f(x)>g(x).(2)當 x=±1 時，f(x)=g(x).(3)當-1<x<0 或 0<x<1 時，f(x)<g(x).5 .已知函數(shù) y=(a2 3a+2)xa2 5a+5 (a 為常數(shù)).(1) a為何值時此函數(shù)為幕函數(shù)？(2) a為何值時此函數(shù)為正比例函數(shù)？(3) a為何值時此函數(shù)為反比例函數(shù)？2即 a