湖南師大附中2020—2021學(xué)年度高二第一學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、而加大耐中2020-2021考斗女W二第一學(xué)期期東考我時量：120分鐘 滿分：150分命題：審題：高二數(shù)學(xué)備課組得分:一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的 四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1 .設(shè)a為常數(shù),命題p ： IzW 0.1 , 2,一a2O,則力為真命題的充要條件是 A.aWlB.alC.D.2 .已知向量。與的夾角是費且|a| =l，l6=4,若（3a+如）J_g則實數(shù)入 O的值為A -B C -D 八.2口 2333 .已知（771）”的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為512,則這個展開 式中的常數(shù)項為A.-34B. -672C. 81D.

2、6724 .圍祺起源于中國.據(jù)先秦典籍世本記載:“堯造圍棋.丹朱善之”.至今已 有四千多年歷史.圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智. 而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關(guān)聯(lián).蘊含著中華文化的豐 富內(nèi)涵.在某次國際圍棋比賽中,甲、乙兩人進入最后決賽.比賽采取五局 匚勝制.即先勝1局的一方獲得比賽冠軍,比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽甲勝 乙的概率都為?9目各局比賽的勝負互不影響，則在不超過4局的比賽中 O甲獲得冠軍的概率為A 1_R _8_r 16n 17A. 9B. 27C. 27D. 8今 1+V?cos（2q一）5 .已知a是第四象限角，且cosG-a） = ，則;=5 sin（

3、f+a）A. 一看B. -yC.yriy6.已知拋物線G的頂點在坐標原點，焦點F在3,釉正半軸上.若點F到雙 曲線。2：卷一=1的一條漸近線的距離為2,則G的標準方程是A ,8/3R-16 月A. y 一一B. y C. / =8yD. i2 = 16）7.為了保障交通安全，某地根據(jù)道路交通安全法規(guī)定:汽車駕駛員血液中 的酒精含量不得超過0. 09 mg/mL.據(jù)儀器監(jiān)測，某駕駛員喝了二兩白酒 后，血液中的酒精含量迅速上升到0. 3 mg/mL,在停止喝酒后，血液中每 小時末的酒精含量都比上個小時末減少25%.那么此人在開車前至少 要休息 （ 參考數(shù)據(jù)：lg 20. 301.1g 3*0. 4

4、77）A. 4. 1小時 B. 4. 2小時 C. 4. 3小時 D. 4. 4小時8 .在三棱錐PARC中平面PBCL平面八BC,/ACB=900,BC=PC=2, AC=PB,則該三棱錐體積的最大值為C 3273D三二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選 項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分,有選錯 的得0分.9 .已知復(fù)數(shù)z=（l+2i）（2-i）*為之的共鈍復(fù)數(shù),則下列結(jié)論正確的是A n的虛部為3iB. |乏|=5C.之一4為純虛數(shù)D.之在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第四象限10.已知函數(shù) /（j）=Asin0 0,0中在一個周期內(nèi)的圖象如

5、圖所 示，其中圖象最高點、最低點的橫坐標分 別為京、浮圖象在軸上的截距為四則1時無零點B.當a = l時,/（1）只有一個零點C.當0,)0)的右焦點為F,點P在C的右支上, C)為坐標原點.若存在點P.使I尸F(xiàn)I = I OF I 且cosNOFP= 則雙曲 線的離心率為.16 .若過點A(a,0)的任意一條直線都不與曲線C：y=Q、一De”相切.則。的 取值范圍是.四、解答題：本大題共6個小題，共7()分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或 演算步驟.17 .(本小題滿分10分)在銳角ABC中，角A、3、C所對的邊分別為a已知2csin A=4a.(1)求角(?的大?。?2)若。=2, c=4

6、7 ,求ABC 的面積.高二數(shù)學(xué)試題(附中版)第3頁(共8頁)18 .（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列4的前項和為S“，已知內(nèi)=4,0=7二+2一4二GN”.（1）求數(shù)列.4的通項公式;設(shè)“產(chǎn)賓4一Z，數(shù)列,的前項和為T”求滿足丁 乙 I I .，1乙 I 1 7IXz的正整數(shù)的最小值.19 .（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊 長為3的正方形，PA_L平面ABCD.PA=3.點E 在側(cè)棱PC上（端點除外），平面ABE交尸D于點 F.（D求證:四邊形ABEF為直角梯形；若求直線PC與平而AJ3EF、所成角的正弦值.高二教學(xué)試即（附中版）第5頁（共8 M）20 .（本小

7、題滿分12分）國家發(fā)改委、城鄉(xiāng)住房建設(shè)部于2017年聯(lián)合發(fā)布了城市生活垃圾分類 制度實施方案,規(guī)定某46個大中城市在2020年底實施生活垃圾強制分 類，并且垃圾回收、利用率耍達標.某市在實施垃圾分類的過程中，從本 市人口數(shù)量在兩萬人左右的A類社區(qū)（全市共320個）中隨機抽取了 50 個進行調(diào)查，統(tǒng)計這50個社區(qū)某天產(chǎn)生的垃圾量（單位：噸），得到如下 頻數(shù)分布表,并將這一天垃圾數(shù)量超過28噸的社區(qū)定為,超標”社區(qū).垃圾量12.5J5.5)15.5.18.5)18.5.21.5)21. 5,2-1. 5)21. 5,27.5)27.5.30.5)30.5,33. 5頻數(shù)56912864Q）估計該市

8、A類社區(qū)這一天垃圾量的平均值不（2）若該市A類社區(qū)這一天的垃圾量大致服從正態(tài)分布N（.27. 04）,其 中/近似為50個樣本社區(qū)的平均值不（精確到0. 1噸），估計該市A 類社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)；（3）根據(jù)原始樣本數(shù)據(jù)，在抽取的50個社區(qū)中.這一天共有8個“超標”社 區(qū),市政府決定從這8個“超標”社區(qū)中任選5個跟蹤調(diào)查其垃圾來 源.設(shè)這一天垃圾量不小于30. 5噸的社區(qū)個數(shù)為X,求X的分布列 和數(shù)學(xué)期望.附:若X服從正態(tài)分布NJ./）,則尸（幺-YX/+#Q0. 6826/（一 2VX+28*0. 9544；P（-%1 都有/（/）wo成立.求實數(shù)4的取值范圍.鬲二教學(xué)試題（附中板）第8

9、頁（共8頁）掰南亞大附中20202021多寺女W二第一季颯期本老武數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題:本大題共8個小題,每小題5分.共4。分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目 要求的.1. C【解析】命題P為真當/長01：時2一能成立，即能成立，所以cW（2，）m=2,選C.2. A【解析】因為（3a+M）_L。則（3a+M） q=O,即3/+加 6=0,即3+2人=0,得;1=1，選A.3. B【解析】由已知.2=512.則=9.所以。+】=。（笈（Z） = （ 2）CU寧,令9一3r=0,得廠=3 .所以常數(shù)項為（一2。= -8X84=-672,選B.4 .C【解析】設(shè)甲以3 - 0獲

10、勝為事件小甲以3獲勝為事件B則A.B互斥，且P（八）=（等） =3 J乙/P（B） =Ci（-1） 母等=暴所以 P（A+B）=+3=相.選 C.r A .44匚、上 門 4 4c34 dlm、,1 +cos2z+sin 2a 2cos，+2sin qcos。05 . A 【解析】由 已知付 cos a = -z-,sin a=丁，則原式 = 2cos ar53cos acos a2sin a=_ff = 選 A.55 J6.D【解析】雙曲線C2的漸近線方程是今一q=0.即了= 士信r.因為拋物線的焦點廠（g）（P）到漸近 O V乙線、后上一y=0的距離為2.則“二=2.即力=8所以C,的標準

11、方程是川=16y選D.7.B【解析】設(shè)經(jīng)過H小時,血液中的酒精含量為?,則y=0. 3X（l-25%r=0. 3X0. 75由03乂0,75，0.09.得0.75，40.3,則工植0. 75lg 0. 3,因為1g 0.75 Vo則禺慘=禹又7右lg U. / 0 lg a lg 4器粵W歷=m=4.184*4.2.所以開車前至少愛休息4.2小時選B.u. 4/ / - U. 0U61Z0& D【解析】如圖因為平面PBQL平面ABC.平面PBCCI平面ABC=BC.ACU平面ABC.PAC_BC.則 ACJ_平面 PBC.取PB中點A九連接CM.因為BC= PC= 2 ,則GWBP./ 以興設(shè)

12、 AC=P8=2MOO2）.則 CM= y X2.rX /RZf。VA-nr=4-XT /PX2i=立衛(wèi)三.設(shè)t=:不（02）.則 匕-咖=”與山=絲3.JJ00因為/）=女等,則當0葷時，V）0,VC）單調(diào)遞增；當零f2時/（，）0,甘（）單調(diào)遞 戒，所以當零時丫（外皿=嚼選D.0乙，二、多項選擇題:本大題共4小題,每小題5分.共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選 對的得5分.部分選對的得3分有選錯的得0分.9. BCD【解析】因為z=（l+2i）（2i）=4+3i則之的虛部為3.團=|之| = JTTF=5.z4=3i為純虛數(shù) 對應(yīng)的點（4,一3）在第四舜限,選BCD

13、.10. BC【解析】由圖知C最小正周期T=2（一6）=江,則s=2.由 2X.+w=9 .得夕.由 /（0）=。，得 Asin 號=通則 A=2所以 /（%） = 2sin（2、THy ）.1乙乙JOJ當jre一雪時&+4W一希今則r）單調(diào)遞增.因為 / （1+手）=2sin2 Q+膏）+y = 2sin （ 2.r+y ）,則 /（i+得）不是偶函數(shù),選 BC.11. ACD【解析】因為拋物線開口向右.p=4則準線/的方程是1 = 一2.因為焦點F（2,0） ,則|ME| 一|,必比正產(chǎn)|=笈.當點尸在線段“后上時取等號.所以|建|一|M臼的最大 值為虛.過點M.E分別作準線/的垂戲,垂足

14、為八,所則|也定| + |尸| =也曰+ |初4|冽8|=5,當點”在線段 EB上時取等號，所以IMEI + IMFI的最小值為5.設(shè)點MQ1） y,） 線段MF的中點為D.則死=以4 =耳1 ,所以以線段MF為直徑的圓與）軸相切選 乙乙ACD.12. ABD【解析】令/Q）=0則 w+且一2=0,即 / 2w+a=0Q0） 即。=一/十21（1#0）.* ,考察直線y=a和拋物線y = /+2w（iK0）的位置關(guān)系，由圖可知.當al時JQD無零點；當a=或。=0時./G）只有一個零點當a且a0時,/1）有兩個零點；若戶匯）有兩個零點才】,則了】是方程；2才+口=0的兩根由韋達定理得力+4=2

15、選ABD.三、填空題:本大題共4個小題,每小題5分.共2。分.13.1 【解析】設(shè)球（）的半徑為R.八3c的外接圓半徑為小球心。到平面八3。的距離為d.由4nR2 = 167,得R=2；由2廠=高瑞 =2乃得廠=總,所以d= /J?2-；-=1.14.36 【解析】先將4名醫(yī)務(wù)人員分成無記號3組,其中有一紐2人.另兩組各1人，有C：=6種方法；再將三組人員安排到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn),有Ai =6種方法.據(jù)分步乘法計數(shù)原理.不同的安排方法共有6X6=36種.15.2 【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為E.在EFP中.|EW=2, . |PF|=c.cos/EFP=.由余弦定理，得|PE|2=4c2+c2-2 2r

16、1=4兒則|PE| =2。由雙曲線定義，得I PE| - I PP| =2a,則,=所以e= = 2.a16 . （-3-1）【解析】設(shè)點J3Crc .（加一1）小。）為曲線C上任意一點因為J = F 1） U =才小 則曲線C在點5處的切踐，的方程為了一（a一De% =z）M）（1一石）.據(jù)題意,切線I不經(jīng)過點A ,則關(guān)于我 的方程一 l）e。= aieo （一%）即城（a + 1 = 0無實 根,所以=（+l）24o.解得3Va0則 a = 3.所以的面積 S = JMsinC=X3X2sir）等 =峙. Z乙J 乙18 .【解析】（1）因為 S=a+i+2-4,如J Sfi i =aw+

17、2;z6（h2）. 當 “）2 時,a=StSi =*,十 1一。川+2,即 a, =勿精一2即人+I2 = 2（an 2）. 因為 m2=2取”=1.則 .-2=Si=ai=4=2Qi-2）. 所以%-2是首項和公比都為2的等比數(shù)列，從而即-2=2,所以% = 2+2. 、22內(nèi)+1 （2八+ 1）1（2,由題戲4一（2 + 1）（2 f+1） （2 + 1）（2川+1）一1-2田+1 則 T =（2Ti-22 + l ） +（22 + 1-24-1 卜 卜（212+1 ） =4_一尸? * 由十一懸于嚙，得懸百120.即/119,則66 所以正整數(shù)的最小值為6.分分分分分19 .【解析】（

18、1）因為ABCD.CDU平面PCD.八30平面PCD.則AB 平面PCD （1因為 ABU平面 ABEF,平面 ABEFCI平面 PCD=EF.則 ABEF. （2又EFCD=AB.所以四邊形A/3EF為梯形.（3因為PA_L平面ABCD,則八B_LP八，又八所以八B_L平面PAD （4又AFU平面PAD,則AB_LAF.所以四邊形A8EF為直角梯形. （5（2）解法一：因為AB_L平面PAD.則平面ABEEL平面PAD./人作 PMA.AF,垂足為 M,則 PMJ_平面 AI3EF./vK連接EM,則/PEM為直線PC與平面A3 所成的角. （7分） / ;在 RtNPAD 中.因為 PA=

19、AD=3.則 PD=3笈.因為 PF=2FD.則 PP=2虎/ ：俱（8分）/竺夢?在ZV1PF中.因為/APF=451由余弦定理得AF = 3? +（2笈產(chǎn)一2X3X29 任二二cos 450=5,則 AF=V （9分）3C由八尸乂只必=。八乂。55M45,將花尸=3乂2歷乂考,則/小4=強. （10分）因為 EFCD,CD_LPD,則 PE=2EC=-PC= 7PD2+CD3 =273. （11分）oO取y=1，則之二一2.所以;i=（0t 1, 2）.（11 分）高二數(shù)學(xué)參考答案（附中版）一 5因為 cos/至= 3+6 =/1!m |PC|-75X3y3 5，所以直線PC與平面ABEF

20、所成角的正弦值為牢. （12分）20 .【解析】（1）樣本數(shù)據(jù)各組的中點值分別為14,17,20,23262932,則一 14X5+17X6+20X9+23X12+26X8+29X6+32X4今今供=50=22. 76.估計該市人類社區(qū)這一天垃圾量的平均值約為2276噸. （3分）（2）據(jù)題意甲=22.8./=27 04.即。=5.2則 P（X28） = P（X+o） =匕竽螫=0. 1587.因為320X0.1587=50. 784*51,估計該市A類社區(qū)中“龍標”社區(qū)約51個.（6分）（3）由頻數(shù)分布表知.8個社區(qū)中這一天的垃圾量不小于30. 5噸的超標社區(qū)有4個則垃圾量在27.5.30.

21、 5）內(nèi)的“超標社區(qū)也有4個.則X的可能取值為1,2,3,4. （7分）尸（X=l） =若=吉,尸（X=2）=.P（X=3）=甯=半0*=4）=甯=（10分） 則X的分布列為：X1234P11433 T1 U所以 EX=lX1+2xg+3xU+4x = ?.14/ i 14 c（11 分）（12 分）21 .【解析】（1）由圓F的方程知圓心為F（LO） ,半徑為272. （1分）設(shè)圓M和圓F內(nèi)切于點D,則D.MF三點共緣且|QF|=2，/L因為圓 M過點E.MJ |ME| = |MD| .于是ME| + |MF| = |MD| + |MF| = |DF|=2|EF|=2, 所以圓心M的軌跡是以EF為焦點的橢圓.（3分）2因為2a = 2、笈則a=又c=l 則產(chǎn)=1 所以曲線C的方程是彳+丁 = 1. （5分）乙當直線，與工軸不重合時,設(shè)直線，的方程為n = T，+1 ,代入卷+丁 = 1,得（切+1）2+2；/=2,設(shè)點A（力八），B（ ,）,則y+=2t._1w*=一壬（7分）即（產(chǎn)+2）y2 + 2y1=0.設(shè)點 P（ni,O）,則 PA