等差數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)

1、高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一第二章第二章 數(shù)數(shù) 列列2.3 2.3 等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一1.1.等差數(shù)列的遞推公式是什么？等差數(shù)列的遞推公式是什么？ an1an12an（n2） an an1d（n2）【問題提出問題提出】2.等差數(shù)列通項(xiàng)公式是什么？結(jié)構(gòu)上它有什么特征？等差數(shù)列通項(xiàng)公式是什么？結(jié)構(gòu)上它有什么特征？ 在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于n的一次函數(shù)的一次函數(shù).

2、ana1(n1)dam(nm)dpnk.高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一3.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式是什么？項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式是什么？，1()2nnn aaS+=2) 1(1dnnnaSn4.深入研究等差數(shù)列的概念與前深入研究等差數(shù)列的概念與前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對此作些簡單探究將對此作些簡單探究.高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 202

3、2年年4月月18日星期一日星期一思考思考1：若若數(shù)列數(shù)列an的前的前n和和 那么那么數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？，1()2nnn aaS+=an是等差數(shù)列是等差數(shù)列 【知識探究知識探究】知識探究（一）知識探究（一）等差數(shù)列與前等差數(shù)列與前n項(xiàng)和的關(guān)系項(xiàng)和的關(guān)系2)(1nnaanS 高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一思考思考2：將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式看作是一個(gè)關(guān)于看作是一個(gè)關(guān)于n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d0時(shí)，時(shí)，Sn是

4、常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù).ndandSn)2(212高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一思考思考3：一般地，若數(shù)列一般地，若數(shù)列an的前的前n和和SnAn2Bn，那，那么數(shù)列么數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？若是等差數(shù)列嗎？若SnAn2BnC 呢？呢？（1）數(shù)列）數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列 SnAn2Bn（2）數(shù)列）數(shù)列an 的前的前n項(xiàng)和是項(xiàng)和是SnAn2BnC ，則：，則：若若C0，則數(shù)列，則數(shù)列an是等差數(shù)列；是等差數(shù)列；若若C0，則數(shù)列，則數(shù)列an從第從第2項(xiàng)起是等差數(shù)列。項(xiàng)起是等差數(shù)列。高二高

5、二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一思考思考4：若若an為等差數(shù)列，那么為等差數(shù)列，那么 是什么數(shù)列？是什么數(shù)列？nSn數(shù)列數(shù)列an是等差數(shù)列是等差數(shù)列 為等差數(shù)列為等差數(shù)列nSn 即等差數(shù)列即等差數(shù)列an的前的前n項(xiàng)的平均值組成的數(shù)列仍項(xiàng)的平均值組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列，且公差是數(shù)列然是等差數(shù)列，且公差是數(shù)列an的公差的一半。的公差的一半。高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一知識探究（二）知識探究（二）等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)

6、和的性質(zhì)思考思考1：在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，每連續(xù)中，每連續(xù)k項(xiàng)的和組成的數(shù)列，項(xiàng)的和組成的數(shù)列，即數(shù)列即數(shù)列a1a2ak， ak+1ak+2a2k，a2k+1a2k+2a3k， 是等差數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？性質(zhì)：性質(zhì)：若數(shù)列若數(shù)列an是是等差數(shù)列等差數(shù)列，那么數(shù)列，那么數(shù)列Sk，S2kSk，S3kS2k , 仍然成等差數(shù)列仍然成等差數(shù)列高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一思考思考3：在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，設(shè)中，設(shè)S偶偶a2a4a2n，S奇奇a1a3a2n1，則，則S偶偶S奇奇與與 等于什么？等于什么？

7、SS偶奇S偶偶S奇奇nd1=nnSaSa偶奇思考思考2：在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，中，Sn，S2n，S3n三者之間有什三者之間有什么關(guān)系？么關(guān)系？S3n3(S2nSn)高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一思考思考4：設(shè)設(shè)等差數(shù)列等差數(shù)列an、bn的前的前n項(xiàng)和分別為項(xiàng)和分別為Sn、Tn，則則 等于什么？等于什么？思考思考5：在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，若中，若a10， d0，則，則Sn是否是否存在最值？如何確定其最值？存在最值？如何確定其最值？ 2121nnnnaSbT 當(dāng)當(dāng)ak0，ak10時(shí)時(shí)，Sk為最大為最

8、大.nnab高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一【題型分類題型分類 深度剖析深度剖析】題型題型1 1：等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和性質(zhì)的簡單應(yīng)用項(xiàng)和性質(zhì)的簡單應(yīng)用例例1：（1）若一個(gè)等差數(shù)列前）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為34，最后，最后3項(xiàng)項(xiàng)的和為的和為146，且所有項(xiàng)的和為，且所有項(xiàng)的和為390，則該數(shù)列有，則該數(shù)列有( )項(xiàng)。項(xiàng)。 A.13 B.12 C.11 D.10高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一變式探究變式探

9、究1.已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an滿足滿足a1+a2+a3+a101=0，則有，則有( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=512.等差數(shù)列等差數(shù)列an 前前n項(xiàng)和項(xiàng)和Snan2(a1)na2， 則則an .3. 等差數(shù)列等差數(shù)列an中，已知中，已知S42，S87，則，則S12=_；高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一4. 等差數(shù)列等差數(shù)列an的前的前m項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為30，前，前2m項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為100，則它的前則它的前3m項(xiàng)的和為項(xiàng)的和為 () A. 130 B

10、. 170 C. 210 D. 2605.等差數(shù)列等差數(shù)列an中，中，Sn是其前是其前n項(xiàng)和，項(xiàng)和，a12011， ，則，則S2011的值為的值為() A.0 B.2011 C.2011 D.2011201120092007220092007SS高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一題型題型2 2：等差數(shù)列最值問題等差數(shù)列最值問題例例2：等差數(shù)列等差數(shù)列an中，中，a1高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一小結(jié)：小結(jié)：求等差數(shù)列求等差數(shù)

11、列an前前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn的最值常用方法：的最值常用方法：方法方法1：二次函數(shù)性質(zhì)法，即求出二次函數(shù)性質(zhì)法，即求出Sn=an2+bn， 討論二次函數(shù)的性質(zhì)討論二次函數(shù)的性質(zhì)方法方法2：討論數(shù)列討論數(shù)列an 的通項(xiàng)，找出正負(fù)臨界項(xiàng)。的通項(xiàng)，找出正負(fù)臨界項(xiàng)。（1）若）若a10，d0，則，則Sn有大值，且有大值，且Sn最大時(shí)的最大時(shí)的n滿足滿足an0且且an+10;（2）若）若a10，則，則Sn有小值，且有小值，且Sn最小時(shí)的最小時(shí)的n滿足滿足an0且且an+10;高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一變式探究變式探究1.

12、首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列an，它的前，它的前3項(xiàng)和與前項(xiàng)和與前11項(xiàng)項(xiàng)和相等，則此數(shù)列前和相等，則此數(shù)列前_項(xiàng)和最大？項(xiàng)和最大？2.等差數(shù)列等差數(shù)列an 前前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn中，以中，以S7最大，且最大，且|a7|0的的n的最大值為的最大值為_3.等差數(shù)列等差數(shù)列an中，已知中，已知|a7|=| a16|=9，且，且a14=5，則使，則使an0時(shí)，求時(shí)，求n的最大值；的最大值；高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一題型題型3 3：等差數(shù)列中的等差數(shù)列中的a an n與與SnSn的關(guān)系的關(guān)系例例3：Sn

13、，Tn分別是等差數(shù)列分別是等差數(shù)列an、bn的前的前n項(xiàng)的和，項(xiàng)的和，且且 ，則，則55ba . 327nnTSnn高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一1.已知兩個(gè)等差數(shù)列已知兩個(gè)等差數(shù)列an和和bn的前的前n項(xiàng)和分別為項(xiàng)和分別為An和和Bn，且，且 ，則使得，則使得 為整數(shù)的正整數(shù)為整數(shù)的正整數(shù)n的的個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是() A2 B3 C4 D53457nnBAnn變式探究變式探究nnba高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一例例4：已知

14、數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn12nn2，求數(shù)列，求數(shù)列|an|的前的前n項(xiàng)和項(xiàng)和Tn. 當(dāng)當(dāng)n1時(shí)，時(shí)，a1S1121211；當(dāng)；當(dāng)n2時(shí)，時(shí)，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1時(shí)適合上式，時(shí)適合上式，an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為an132n.由由an132n0，得，得n ，即當(dāng)即當(dāng)1n6(nN*)時(shí)，時(shí)，an0；當(dāng)；當(dāng)n7時(shí)，時(shí)，an0.解析：解析：題型題型4 4：求等差數(shù)列的前求等差數(shù)列的前n n項(xiàng)的絕對值之和項(xiàng)的絕對值之和 高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一(1)當(dāng)當(dāng)1

15、n6(nN*)時(shí)，時(shí)，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)當(dāng)當(dāng)n7(nN*)時(shí)，時(shí)，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一變式探究變式探究1數(shù)列數(shù)列an中，中，a18，a42，且滿足，且滿足an22an1an0，nN*.(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)；的通項(xiàng)；(2)設(shè)設(shè)Sn|a1|a2|an|，求，求Sn. (1)由由an22an1an0得，得，2an1anan2，所以數(shù)列所以數(shù)列an是等

16、差數(shù)列，是等差數(shù)列，d 2，an2n10，nN*.解析：解析：高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一當(dāng)當(dāng)n6，nN*時(shí)，時(shí)，高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一題型題型5 5：等差數(shù)列的綜合應(yīng)用等差數(shù)列的綜合應(yīng)用高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一22得得4anan2an122an2an1，即即(anan1)(anan12)0.an0，anan10， anan12，數(shù)列數(shù)列an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為1，公差為，公差為2的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，an1(n1)22n1.高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組 2022年年4月月18日星期一日星期一高二高二必修必修5數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)廣東省普寧市第二中學(xué)數(shù)學(xué)組廣東省普寧市