牛頓二項式定理

1、牛頓二項式定理目錄二項式定理發(fā)現歷程應用1. 排列與組合2. 二項式定理3. 系數性質4. 賦值法二項式的遞推加法定理數形趣遇 算式到算圖二項式定理發(fā)現歷程應用1. 排列與組合2. 二項式定理3. 系數性質4. 賦值法二項式的遞推加法定理數形趣遇 算式到算圖展開編輯本段二項式定理  binomial theorem二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩克·牛頓于1664、1665年間提出。 此定理指出： 其中，二項式系數指. 等號右邊的多項式叫做二項展開式。 二項展開式的通項公式為 其i項系數可表示為:見圖右，即n取i的組合數目。   因此系數

2、亦可表示為帕斯卡三角形(Pascal's Triangle) 二項式定理(Binomial Theorem)是指(a+b)n在n為正整數時的展開式。(a+b)n的系數表為：   1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 1 6 15 20 15 6 1 n=6 （左右兩端為1，其他數字等于正上方的兩個數字之和） 編輯本段發(fā)現歷程在我國被稱為賈憲三角或楊輝三角，一般認為是北宋數學家賈憲所首創(chuàng)。它記載于楊輝的詳解九章算法(1261)之中。在阿拉伯數學家卡西的著作算術之鑰(142

3、7)中也給出了一個二項式定理系數表，他所用的計算方法與賈憲的完全相同。在歐洲，德國數學家阿皮安努斯在他1527年出版的算術書的封面上刻有此圖。但一般卻稱之為帕斯卡三角形，因為帕斯卡在1654年也發(fā)現了這個結果。無論如何，二項式定理的發(fā)現，在我國比在歐洲至少要早300年。 1665年，牛頓把二項式定理推廣到n為分數與負數的情形，給出了的展開式。 編輯本段應用二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數列求和，以及差分法中有廣泛的應用。 排列與組合1、Cn0+Cn1+Cn2CnkCnn=2n 2、Cno-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn=0 證明：由(a+b)n=C(n,0)an+C(n,1

4、)a(n-1)*b+C(n,2)a(n-2)*b2+.+C(n,n)bn 當a=b=1時，代入二項式定理可證明1 但a=-1，b=1時代入二項式定理可證明2 二項式定理二項式定理:叫二項式系數（0rn）.通項用Tr+1表示，為展開式的第r+1項，且, 注意項的系數和二項式系數的區(qū)別. 系數性質對稱性： 增減性和最大值：先增后減 n為偶數時，中間一項的二項式系數最大，為：Tn/21 n為奇數時，中間兩項的二項式系數相等且最大，為：T(n+1)/2，T(n+1)/21 賦值法掌握“賦值法”這種利用恒等式解決問題的思想. 證明：n個（a+b）相乘，是從（a+b）中取一個字母a或b的積。所以（a+b）

5、n的展開式中每一項都是)ak*b(n-k)的形式。對于每一個ak*b(n-k)，是由k個(a+b)選了a,（a的系數為n個中取k個的組合數（就是那個C右上角一個數，右下角一個數）。（n-k）個(a+b)選了b得到的（b的系數同理）。由此得到二項式定理。 二項式系數之和: 2的n次方 而且展開式中奇數項二項式系數之和等于偶數項二項式系數之和等于2的(n-1)次方 二項式定理的推廣： 二項式定理推廣到指數為非自然數的情況： 形式為 注意：|x|<1 (a+b)n=C(n,0)an+C(n,1)a(n-1)*b+C(n,2)a(n-2)*b2+.+C(n,n)bn 編輯本段二項式的遞推推廣公式

6、二項式展開后各項的系數依次為：圖推廣公式 其中，第1個數=1，從第2個數開始，后面的每一個數都可以用前面的那個數表示為 這就是二項式展開“系數遞推”的依據. 二項式系數遞推實際上是組合數由到的遞推. 編輯本段加法定理來自二項式性質 將楊輝三角形中的每一個數，都用組合符號表示出來， 則得圖右的三角形. 自然，“肩挑兩數”的性質可寫成組合的 加法式. 如 這里，（1）相加兩數和是“下標相等，上標差1” 的兩數；（2）其和是“下標增1，上標選大”的組合數. 一般地，楊輝三角形中第n+1行任意一數，“肩挑 兩數”的結果為組合的加法定理： 有了組合的加法定理，二項式(a+b)展開式的證明就變得非常簡便了

7、. 編輯本段數形趣遇 算式到算圖二項式定理與楊輝三角形是一對天然的數形趣遇，它把數形結合帶進了計算數學. 求二項式展開式系數的問題，實際上是一種組合數的計算問題. 用系數通項公式來計算，稱為“式算”；用楊輝三角形來計算，稱作“圖算”. 【圖算】 常數項產生在展開后的第5、6兩項. 用“錯位加法”很容易“加出”楊輝三角形第8行的第5個數. 簡圖如下： 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 15 20 15 6 1 35 35 21 70 56 圖上得到=70，=56. 故求得展開式中常數項為70 2×56 = 42 【點評】 “式算”與“圖算”趣遇，各揚所長，各補所短.<

8、;, /o:p> 楊輝三角形本來就是二項式展開式的算圖. 對楊輝三角形熟悉的考生，比如他熟悉到了它的第6行： 1，6，15，20，15，6，1 那么他可以心算不動筆，對本題做到一望而答. 楊輝三角形在3年內考了5個（相關的）題目，這正是高考改革強調“多想少算”、“邏輯思維與直覺思維并重”的結果. 這5個考題都與二項式展開式的系數相關，說明數形結合思想正在高考命題中進行深層次地滲透. 利用二項式推出牛頓切線法開方開立方公式： 設A = X3,求X.稱為開立方。 開立方有一個標準的公式： X(n+1)=Xn+(A/X2-Xn)1/3 (n，n+1是下角標） 例如，A=5，,即求 5介于1的3

9、次方;至2的3次方;之間（1的3次方=1，2的3次方=8） 初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，都可以。例如我們取X0 = 1.9按照公式： 第一步：X1=1.9+（5/1.92;-1.9)1/3=1.7。 即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.5149584×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。即取2位數值,，即1.7。 第二步：X2=1.7+（5/1.72;-1.7)1/3=1.71。 即5/1.7×1.7=1.7

10、3010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位數，比前面多取一位數。 第三步：X3=1.71+（5/1.712;-1.71)1/3=1.709. 第四步：X4=1.709+（5/1.7092;-1.709)1/3=1.7099 這種方法可以自動調節(jié)，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以后輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值 偏小，輸出值自動轉大。即5=1.70993; 當然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。1.8，1.9中的任何一個,都是X1 = 1.7 > 。當然，我們在實際中初始值最好采用中間值，即1.5。

11、 1.5+（5/1.5&sup2;-1.5）1/3=1.7。 如果用這個公式開平方，只需將3改成2，2改成1。即 X(n + 1) = Xn + (A / Xn ? Xn)1 / 2. 例如，A=5： 5介于2的平方至3的平方;之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取 中間值2.5。 第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2； 即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。 第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23； 即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.036=2.23。取3位數。 第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。 即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236. 每一步多取一位數。這個方法又叫反饋開