第四章 隨機(jī)隨機(jī)模擬方法1

1、第四章 隨機(jī)模擬方法第一節(jié) 概述第二節(jié) 隨機(jī)模擬方法的特點(diǎn)第三節(jié) 用蒙特卡羅方法求解確定性問題第四節(jié) 隨機(jī)模擬方法在隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的應(yīng)用第五節(jié) 集裝箱專用碼頭裝卸系統(tǒng)的隨機(jī)模擬第六節(jié) 隨機(jī)模擬方法在理論研究中的應(yīng)用1第一節(jié) 概述（一）隨機(jī)（統(tǒng)計(jì)）模擬的定義2 隨機(jī)模擬即是計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)模擬，它實(shí)質(zhì)上是計(jì)算機(jī)建模，而這里的計(jì)算機(jī)模型就是計(jì)算機(jī)方法、統(tǒng)計(jì)模型(如程序、流程圖、算法等)，它是架于計(jì)算機(jī)理論和實(shí)際問題之間的橋梁。它與統(tǒng)計(jì)建模的關(guān)系如下圖。（二）隨機(jī)模擬方法 一般地，隨機(jī)模擬分類如下： 若按狀態(tài)變量的變化性質(zhì)分為和。 而按變量是否隨時(shí)間變化又可分為和。 常用的隨機(jī)模擬方法主要有以下幾種： 包

2、括Bootstrap(自助法)、MCMC（馬氏鏈蒙特卡羅法）等。（三）puffon隨機(jī)投針實(shí)驗(yàn)1777年P(guān)uffon（法）提出用投針實(shí)驗(yàn)求圓周率Pi的問題。間距為a的平行線，隨機(jī)投擲一枚長為l（la）的針，試求此針與一平行線相交的概率P。456（四）Puffon投針的R實(shí)現(xiàn)7#應(yīng)用R軟件對buffon投針實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬pi的取值#先編寫“buffon”函數(shù)，buffon - function(n, l=0.8, a=1)k-0theta - runif(n, 0, pi); x - runif(n, 0, 1/2)for (i in 1:n)if (xi= l/2*sin(thetai)k so

3、urce(buffon.R)buffon(100000,l=0.8,a=1)#直接調(diào)用剛剛編寫好的“buffon”函數(shù)，當(dāng)然，l和a的取值由于在函數(shù)編寫中已經(jīng)給出了，因此這里不必再給出，可以直接用buffon（100000）。13.142986還可以更改n的數(shù)值，與l、a的數(shù)值（見表4-1） buffon(100000,l=0.8,a=1)1 3.119334 buffon(1000000,l=0.8,a=1)1 3.136941 buffon(10000000,l=0.8,a=1)1 3.142697 另一種求pi的方法8910MC1 - function(n)k - 0; x - runi

4、f(n); y - runif(n)for (i in 1:n)if (xi2+yi2 1)k source(MC1.R);MC1(100000)1 3.1426811（五）統(tǒng)計(jì)模擬的一般步驟第二節(jié) 隨機(jī)模擬方法的特點(diǎn)（一）方法新穎、應(yīng)用面廣、適用性強(qiáng)（二）隨機(jī)模擬方法的算法簡單，但計(jì)算量大（三）模擬結(jié)果具有隨機(jī)性，且精度較低（四）模擬結(jié)果的收斂過程服從概率規(guī)律性12第三節(jié) 用蒙特卡洛方法求解確定性問題（一）計(jì)算定積分為了簡化計(jì)算，a=0，b=1。計(jì)算定積分值也就是求曲邊梯形的面積S，常用方法有：(1).隨機(jī)投點(diǎn)法1314記錄實(shí)驗(yàn)次數(shù)N，成功次數(shù)M，用M/N作為概率p的估計(jì)值，即可得出定積分I

5、的近似解。1516(2).平均估值法1718例：趕火車問題例：趕火車問題火車離站時(shí)刻13:0013:0513:10概率0.70.20.1 一列列車從A站開往B站，某人每天趕往B站上車。他已經(jīng)了解到火車從A站到B站的運(yùn)行時(shí)間是服從均值為30min，標(biāo)準(zhǔn)差為2min的正態(tài)隨機(jī)變量。火車大約下午13：00離開A站，此人大約13:30到達(dá)B站。火車離開A站的時(shí)刻及概率如表1所示，此人到達(dá)B站的時(shí)刻及概率如表2所示。問此人能趕上火車的概率有多大？表1：火車離開A站的時(shí)刻及概率 表2：某人到達(dá)B站的時(shí)刻及概率 人到站時(shí)刻13:2813:3013:3213:34概率0.30.40.20.1這個問題用概率論的

6、方法求解十分困難，它涉及此人到達(dá)時(shí)刻、火車離開站的時(shí)刻、火車運(yùn)行時(shí)間幾個隨機(jī)變量，而且火車運(yùn)行時(shí)間是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，沒有有效的解析方法來進(jìn)行概率計(jì)算。在這種情況下可以用計(jì)算機(jī)模擬的方法來解決。進(jìn)行計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)模擬的基礎(chǔ)是抽象現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為了便于建模，對模型中使用的變量作出如下假定：火車從A站出發(fā)的時(shí)刻；：火車從A站到B站的運(yùn)行時(shí)間；：某人到達(dá)B站的時(shí)刻；：隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布的均值；：隨機(jī)變量 服從正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差；1T2T3T2T2T此人能及時(shí)趕上火車的充分必要條件為： ，所以此人能趕上火車的概率模型為： 。123TTT123p TTT為了分析簡化，假定13時(shí)為時(shí)刻t=0，則變

7、量 、 的分布律為：1T3T05100.70.20.1283032340.3 0.4 0.2 0.11/minT( )P t3/minT( )P tR軟件求解的總算法：關(guān)系式成立產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證模型成立次數(shù)k=k+1否是計(jì)算估計(jì)結(jié)果k/n成立次數(shù)不變試驗(yàn)次數(shù)是否達(dá)到n次是否編寫R程序借助區(qū)間(0,1)分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)，對變量 、 概率分布進(jìn)行統(tǒng)計(jì)模擬；1T3T根據(jù)變量 、 、 概率分布及模擬程序、命令產(chǎn)生n 個隨機(jī)分布數(shù)；1T2T3T使用隨機(jī)產(chǎn)生的n 組隨機(jī)數(shù)驗(yàn)證模型中的關(guān)系表達(dá)式是否成立；計(jì)算n 次模擬實(shí)驗(yàn)中，使得關(guān)系表達(dá)式成立的次數(shù)k ；當(dāng) 時(shí)，以 作為此人能趕上火車的概率p 的近似估計(jì)；nkn24windows(7, 2)#作圖窗口大小prb = replicate(10, #括號內(nèi)程序重復(fù)100次x = sample(c(0, 5, 10), 1, prob = c(0.7, 0.2, 0.1)y = sample(c(28, 30, 32, 34), 1, prob = c(0.3, 0.4, 0.2, 0.1)plot(0:40, rep(1, 41), type = n, xlab = time, ylab = ,axes = FALSE)axis(1, 0:40)r = rnorm(1, 30, 2)points(x, 1, pch = 15)