概率與統(tǒng)計綜合復習

1、隨機變量隨機變量表示隨機試驗結果的變量表示隨機試驗結果的變量. .連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 可取某區(qū)間內一切值的隨機變量可取某區(qū)間內一切值的隨機變量. .離散型隨機變量離散型隨機變量 取值可按次序一一列出的隨機變量取值可按次序一一列出的隨機變量. .x x1 1x x2 2x xi ip pp p1 1p p2 2p pi i的分布列的分布列:離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質：，321, 0).1( ipi1).2(321 ppp( , ):()(1)kkn knB n ppkC p qpq二項分布1( , ):()(1)kkg k ppkqp

2、qp 幾何分布的期望的期望:1122nnEx px px p()E abaEb性質性質:( , ),B n pEnp若則( ,)ab 是隨機變量1( , ),.g k pEp若則的方差的方差:221122()()DxEpxEp性質性質:222();.D aba DDEE( , ),.(1)B n pDnpq pq若則2( , ),.qg k pp若則DD抽樣方法抽樣方法:簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣抽簽法抽簽法隨機數(shù)表法隨機數(shù)表法系統(tǒng)抽樣法系統(tǒng)抽樣法分層抽樣法分層抽樣法總體分布估計總體分布估計:頻率分布表頻率分布表頻率分布條形圖頻率分布條形圖(直方圖直方圖)累積頻率分布圖累積頻率分布圖(分布密度曲

3、線分布密度曲線) ,21222xexfx正態(tài)分布正態(tài)分布:2( ,)N 例例1 箱內有大小相同的箱內有大小相同的20個紅球個紅球,80個黑球個黑球,從中任取一個從中任取一個記錄它的顏色后再放回箱內記錄它的顏色后再放回箱內,進行攪拌后再任意取出一個進行攪拌后再任意取出一個,記錄它的顏色后再放回箱內攪拌記錄它的顏色后再放回箱內攪拌,假設三次都是這樣抽取假設三次都是這樣抽取,試回答下列問題試回答下列問題:求事件求事件A：“第一次取出黑球，第二次第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球取出紅球，第三次取出黑球”的概率；的概率；求事件求事件B：“三次三次中恰有一次取出紅球中恰有一次取出紅球”的概率

4、；的概率；如果有如果有50人進行這樣的人進行這樣的抽取，試推測約有多少人取出抽取，試推測約有多少人取出2個黑球，個黑球，1個紅球。個紅球。解：解： 每次抽得紅（黑）球的概率相等，取得紅（黑）球每次抽得紅（黑）球的概率相等，取得紅（黑）球次數(shù)復從二項分布。次數(shù)復從二項分布。(1,2,3),iAii (1)記事件 為第 次取到黑球804()(1,2,3).1005iP Ai12344 416( )() () ()(1).55 5125p AP A P A P A例例1 箱內有大小相同的箱內有大小相同的20個紅球個紅球,80個黑球個黑球,從中任取一個從中任取一個記錄它的顏色后再放回箱內記錄它的顏色后

5、再放回箱內,進行攪拌后再任意取出一個進行攪拌后再任意取出一個,記錄它的顏色后再放回箱內攪拌記錄它的顏色后再放回箱內攪拌,假設三次都是這樣抽取假設三次都是這樣抽取,試回答下列問題試回答下列問題:求事件求事件A：“第一次取出黑球，第二次第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球取出紅球，第三次取出黑球”的概率；的概率；求事件求事件B：“三次三次中恰有一次取出紅球中恰有一次取出紅球”的概率；的概率；如果有如果有50人進行這樣的人進行這樣的抽取，試推測約有多少人取出抽取，試推測約有多少人取出2個黑球，個黑球，1個紅球。個紅球。解：解： 每次抽得紅（黑）球的概率相等，取得紅（黑）球每次抽得紅（黑）球

6、的概率相等，取得紅（黑）球次數(shù)復從二項分布。次數(shù)復從二項分布。(2)記事件B:任取一球,恰取得紅球.201( ).1005P B 則13 1331148(1)(1).55125pC 例例1 箱內有大小相同的箱內有大小相同的20個紅球個紅球,80個黑球個黑球,從中任取一個從中任取一個記錄它的顏色后再放回箱內記錄它的顏色后再放回箱內,進行攪拌后再任意取出一個進行攪拌后再任意取出一個,記錄它的顏色后再放回箱內攪拌記錄它的顏色后再放回箱內攪拌,假設三次都是這樣抽取假設三次都是這樣抽取,試回答下列問題試回答下列問題:求事件求事件A：“第一次取出黑球，第二次第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球取

7、出紅球，第三次取出黑球”的概率；的概率；求事件求事件B：“三次三次中恰有一次取出紅球中恰有一次取出紅球”的概率；的概率；如果有如果有50人進行這樣的人進行這樣的抽取，試推測約有多少人取出抽取，試推測約有多少人取出2個黑球，個黑球，1個紅球。個紅球。解：解：48(2)(),5021,125p D由知設人中恰有 人取出 黑 紅球記事件記事件D：1人有放回地取人有放回地取3球，恰有球，恰有2黑黑1紅球，紅球，48(50,),125B則485019.2,125E所以所以50人中約有人中約有19人取出人取出2個黑球，個黑球，1個紅球。個紅球。例例 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的甲、乙兩人參

8、加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的道試題中，甲能答對其中的6道，乙能答對其中的道，乙能答對其中的8道，規(guī)道，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答題進行測試，至少答對對2題才能合格。題才能合格。 （1）求甲答對題數(shù)）求甲答對題數(shù)的概率分布及數(shù)學期望；的概率分布及數(shù)學期望； （2）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。解：解：（1）依題意甲答對題數(shù)）依題意甲答對題數(shù)的分布列為的分布列為0123p1/303/101/21/61301303011923,265E (2)設甲、乙兩人至少有一設

9、甲、乙兩人至少有一人考試合格的事件為人考試合格的事件為A,B.2136463102( ),3C CCp AC21382831014( ),15C CCp BC故甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為故甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為11441()13 1545pp A B 例例 對三架儀器進行檢驗對三架儀器進行檢驗,各儀器產(chǎn)生故障是相互獨立的各儀器產(chǎn)生故障是相互獨立的,其其概率分別為概率分別為p1 ,p2 ,p3 .試證試證: 產(chǎn)生故障的儀器數(shù)的期望為產(chǎn)生故障的儀器數(shù)的期望為p1+p2 +p3證明：證明：設產(chǎn)生故障的儀器數(shù)為設產(chǎn)生故障的儀器數(shù)為(=0,1,2,3),其分布列為其分布列為:12

10、3(0)(1)(1)(1),pppp123213123(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)pppppppppp123123123(2)(1)(1)(1)pp pppppp p p123(3)pp p p其數(shù)學期望其數(shù)學期望為為:12312312312312311231231231230 (1)(1)(1) 1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)2 (1)(1)(1)(1)(1)(1)3Eppppppp pppppppppp pppppp p pppp 練習練習: 1.某廠生產(chǎn)電子元件時其產(chǎn)品的次品率為某廠生產(chǎn)電子元件時其產(chǎn)品的次品率為5%,現(xiàn)從一現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)選取出批產(chǎn)品中任意地連續(xù)選取出2件件,其中次品數(shù)其中次品數(shù)的分布列的分布列為為012P0.90250.0950.0025 2.從含有從含有500個個體的總體中一次性地抽取個個體的總體中一次性地抽取25個個體個個體,假定假定其中每個個體被抽取的概率相等其中每個個體被抽取的概率相等,那么總體中每個個體被抽那么總體中每個個體被抽取的概率等于取的概率等于_0.05 3.一個袋子里裝有大小相同的一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和個紅球和2個黃球個黃球,從中抽取從中抽取出出2個個,其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是其中含紅球個數(shù)的數(shù)學期望是_(用數(shù)字作答用數(shù)