時(shí)間序列ARIMA期末論文

1、精選文檔ARIMA模型在總?cè)丝陬A(yù)測(cè)中的應(yīng)用【摘要】人口發(fā)展與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展是密不可分的,研究我國(guó)總?cè)丝诘陌l(fā)展,對(duì)我國(guó)人口數(shù)進(jìn)行分析和預(yù)測(cè),有利于及時(shí)控制人口的增長(zhǎng)調(diào)節(jié)人口平衡,利于政府及時(shí)了解發(fā)展趨勢(shì)并做出反應(yīng)對(duì)策使我國(guó)人口發(fā)展步入健康的軌道。本文利用時(shí)間序列建模原理和思路，并結(jié)合R3.2.1軟件對(duì)1962年2014年我國(guó)年底總?cè)丝跀?shù)據(jù)做分析和預(yù)測(cè)。找到對(duì)原始數(shù)據(jù)有著較好的擬合度和較高的預(yù)測(cè)精度的模型。利用此模型可對(duì)我國(guó)年底總?cè)丝谶M(jìn)行合理的預(yù)測(cè)。 【關(guān)鍵詞】ARIMA建模總?cè)丝谌丝陬A(yù)測(cè) 目錄一、引言31.1研究背景31.2研究現(xiàn)狀4二、模型建立5 2.1模型識(shí)別52.2模型的參數(shù)估計(jì)82.3模

2、型的診斷102.模型的預(yù)測(cè)123、 模型的優(yōu)缺點(diǎn)及推廣133.1模型的優(yōu)缺點(diǎn)133.2模型的推廣13結(jié)束語(yǔ).14【參考文獻(xiàn)】. 15附錄.16一、 引言1.1研究背景 我國(guó)是世界上人口最多的國(guó)家，自1980年開(kāi)始，年末中國(guó)大陸總?cè)丝诰鸵呀?jīng)超過(guò)了10億，并一直保持約占世界總?cè)丝诘奈宸种唬瑏喼奕丝诘娜种?。中?guó)人口的發(fā)展同中國(guó)社會(huì)的發(fā)展一樣經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)而曲折的道路。在世紀(jì)的進(jìn)程中，目前我國(guó)進(jìn)入了一個(gè)全新的時(shí)代，要想在21世紀(jì)這個(gè)充滿(mǎn)競(jìng)爭(zhēng)與挑戰(zhàn)的時(shí)代中變的富強(qiáng)、屹立于世界民族之林，實(shí)現(xiàn)我們的中國(guó)夢(mèng)，這全取決于人。能否順利解決人口現(xiàn)狀等問(wèn)題，是我國(guó)乃自世界共同面臨的問(wèn)題，由于地球的資源是有限的，它不

3、可能無(wú)限制的容納人口，當(dāng)人口過(guò)多，會(huì)由于經(jīng)濟(jì)跟不上，工作崗位欠缺，醫(yī)療等水平不足，從而導(dǎo)致整個(gè)社會(huì)處于一種動(dòng)蕩之中；然而如果人口過(guò)少，又會(huì)由于人員不足，導(dǎo)致各方面人力資源不足，無(wú)法正常完成各項(xiàng)必須社會(huì)活動(dòng)，這也會(huì)極大地限制一個(gè)國(guó)家的發(fā)展，因此，對(duì)人口的研究是具有相當(dāng)?shù)囊饬x的。我國(guó)由于幅員廣闊，民族眾多，各民族發(fā)展水平不一，同時(shí)作為世界第一人口大國(guó)，我國(guó)的耕地面積卻相對(duì)不足，因此我國(guó)每年都需要從國(guó)外大量進(jìn)口糧食，由于過(guò)分依賴(lài)于進(jìn)口這對(duì)我國(guó)的發(fā)展影響巨大，為此甚至有國(guó)外反華勢(shì)力叫囂只要斷絕給中國(guó)供糧，三五年之內(nèi)中國(guó)必定大亂。當(dāng)然那只是敵對(duì)勢(shì)力的一廂情愿與惡意詆毀，但我們自己卻必須認(rèn)識(shí)到在由于人口的

4、問(wèn)題而導(dǎo)致的一系列問(wèn)題，關(guān)于人口問(wèn)題我國(guó)必須重視,并根據(jù)其趨勢(shì)做出反應(yīng)對(duì)策。因此，認(rèn)真分析我國(guó)當(dāng)前人口現(xiàn)狀，從中發(fā)現(xiàn)其變化的趨勢(shì)，并對(duì)未來(lái)總?cè)丝谶M(jìn)行短期預(yù)測(cè)，及時(shí)采取必要的政治及經(jīng)濟(jì)措施來(lái)解決人口發(fā)展問(wèn)題，對(duì)樹(shù)立未來(lái)的發(fā)展目標(biāo)很有必要。總之，人口是構(gòu)成社會(huì)的主體，在我國(guó)社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)中，人口問(wèn)題始終是極為重要的問(wèn)題，而人口問(wèn)題的本質(zhì)是發(fā)展問(wèn)題。人口發(fā)展與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展也是密不可分的?；诖耍覀兝脮r(shí)間序列中的ARMA模型對(duì)我國(guó)人口進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)人口的控制起到指導(dǎo)作用，有利于政府采取必要的政治及經(jīng)濟(jì)措施來(lái)進(jìn)行調(diào)控。所以，對(duì)其進(jìn)行分析和測(cè)試是非常有意義的工作。 1.2研究現(xiàn)狀在對(duì)人口問(wèn)題的研究

5、上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了相當(dāng)多的工作。在國(guó)內(nèi)程等利用自限模型對(duì)我國(guó)的人口增長(zhǎng)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，認(rèn)為中國(guó)在2010年-2019年人口數(shù)依次會(huì)緩慢增加，2016年突破14億大關(guān)，且未來(lái)15年人口凈增加量不會(huì)超過(guò)1億；蔣慧基于多元統(tǒng)計(jì)模型對(duì)廣西人口增長(zhǎng)進(jìn)行了分析，得出了人口增長(zhǎng)的綜合因子，并提出了穩(wěn)定人口增長(zhǎng)的建議；丁明等運(yùn)用相空間重構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，很好的解決了非線性的問(wèn)題，為我國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)提供了一種新的方法；王保等，利用Logistic模型進(jìn)行人口預(yù)測(cè)，并檢驗(yàn)了2005年2007年的數(shù)據(jù)誤差，取得了理想的效果。在國(guó)外，Rosen利用Malthusian模型對(duì)人口進(jìn)行研究，也取得了不錯(cuò)的

6、成績(jī)。本文基于時(shí)間序列在研究時(shí)間相關(guān)問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)，以1949年-2014年的年末總?cè)丝跀?shù)據(jù)，利用時(shí)間序列知識(shí)建模，找到適合人口增長(zhǎng)的過(guò)程的時(shí)間序列模型（模型識(shí)別），然后利用參數(shù)估計(jì)估計(jì)出模型的參數(shù)（參數(shù)估計(jì)），再對(duì)模型進(jìn)行診斷，判斷模型的好壞（模型診斷），最后利用已經(jīng)建立的模型對(duì)未來(lái)的給定的時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)（預(yù)測(cè)）。 二、 模型建立2.1模型識(shí)別首先需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)先的處理，觀察其時(shí)間序列圖是否為平穩(wěn)序列，可以用R軟件完成（具體程序見(jiàn)于附錄1），可得到時(shí)間序列圖為：圖1：人口時(shí)間序列圖 由圖一可以看出，年底總?cè)丝跀?shù)隨著時(shí)間增加的同時(shí)也在逐年上漲，有著明顯的上升趨勢(shì)。因此可得出這列數(shù)據(jù)是不平穩(wěn)的、方

7、差也是不平穩(wěn)的結(jié)論。并且數(shù)據(jù)大致是呈線性變化的，因此可以考慮做差分變換。 先對(duì)數(shù)據(jù)做一階差分變換后再觀察序列是否平穩(wěn)，可運(yùn)用R軟件編程得其變換后的序列及變換后序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖(具體程序見(jiàn)附錄2)：圖二：一階差分序列圖及其ACF、PACF圖由圖二可知，對(duì)原始數(shù)據(jù)在進(jìn)行一階差分之后的時(shí)間序列圖顯示并不算平穩(wěn)，并且一階差分后的ACF圖仍呈現(xiàn)出近似直線下降趨勢(shì)，因此可以考慮再做一次差分運(yùn)算。通過(guò)編程可以得到（具體程序見(jiàn)附錄3）：圖三：對(duì)數(shù)二階差分序列圖及其ACF、PACF圖再觀察其二階差分后的時(shí)間序列圖，基本上趨于平穩(wěn)，而其自相關(guān)圖(ACF)和偏自相關(guān)圖（PACF）呈現(xiàn)出明顯的拖尾形式，且P

8、ACF圖在滯后6階比較顯著，ACF在滯后1,3,6階相對(duì)較顯著，由此可以認(rèn)為原序列基本上可以用ARIMA(1,2,1)，ARIMA(1,2,2)，ARIMA(1,2,3)，進(jìn)行擬合。對(duì)ARIMA(1,2,1)模型序列滿(mǎn)足： Yt+Yt-2-2Yt-1=Yt-1+Yt-3-2Yt-2+et-i=16iet-i 由式可以得到： Yt=2+Yt-1+1-2Yt-2-Yt-3+et-et-1 同理可以得到 ARIMA(1,2,2)模型： Yt=2+Yt-1+1-2Yt-2-Yt-3+et-i=12iet-i ARIMA(1,2,3) 的模型為： Yt=2+Yt-1+1-2Yt-2-Yt-3+et-i=

9、13iet-i 2.2模型的參數(shù)估計(jì)根據(jù)2.1節(jié)，已經(jīng)找到幾個(gè)可能用于擬合的模型，分別為ARIMA(1,2,1)，ARIMA(1,2,2)，ARIMA(1,2,3)，那么接下來(lái)就應(yīng)該對(duì)其進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，在對(duì)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)有多種方法可以選擇，這里選擇用最小二乘估計(jì)，通過(guò)R編程序可以得到如下結(jié)果（具體程序見(jiàn)于附錄4）： Call:arima(x = x, order = c(1, 2, 1), method = "CSS")Coefficients: ar1 ma1 -0.4794 0.5150s.e. 0.1033 0.1901sigma2 estimated as 217

10、52: part log likelihood = -327.05Call:arima(x = x, order = c(1, 2, 2), method = "CSS")Coefficients: ar1 ma1 ma2 -0.5216 0.8442 -0.3147s.e. 0.0009 0.0912 0.1014sigma2 estimated as 16939: part log likelihood = -320.67Call:arima(x = x, order = c(1, 2, 3), method = "CSS")Coefficients

11、: ar1 ma1 ma2 ma3 -0.5203 0.7646 -0.1111 0.3405s.e. 0.0008 0.1327 0.1435 0.1278sigma2 estimated as 15191: part log likelihood = -317.89由上面的輸出可以確定在式中的系數(shù)，并且由估計(jì)值的誤差項(xiàng)se判斷該系數(shù)是否顯著（通過(guò)判定在0是否在區(qū)間-2se,+2se內(nèi)，若在則系數(shù)不顯著，如不在則顯著）。從而代入可以確定ARIMA(1,2,1)模型為： Yt=1.5206Yt-1-0.0412Yt-2-0.4794Yt-2+et-0.515et-1 類(lèi)似代入式得ARIMA(1

12、,2,2)表達(dá)式為： Yt=1.4784Yt-1+0.0432Yt-2-0.5216Yt-2+et+0.8442et-1-0.3147et-2 代入式得ARIMA(1,2,3)模型的表達(dá)式： Yt=1.4797Yt-1+0.0406Yt-2-0.5203Yt-2+et+0.7646et-1-0.3405et-3 2.3模型的診斷在對(duì)模型完成了識(shí)別和參數(shù)估計(jì)之后，需要對(duì)模型進(jìn)行診斷，診斷模型是否具有對(duì)原時(shí)間序列數(shù)據(jù)的很好的擬合效果。主要進(jìn)行擬合模型的殘差分析和分析過(guò)度參數(shù)化；對(duì)模型進(jìn)行過(guò)度參數(shù)分析主要看在進(jìn)行差分時(shí)是否出現(xiàn)過(guò)度差分的狀況，而對(duì)殘差進(jìn)行分析主要需要做以下幾個(gè)方面的工作：，檢驗(yàn)殘差是

13、否是隨機(jī)的，一個(gè)模型如果能很好的擬合，那么擬合后的殘差基本上是隨機(jī)的，殘差是應(yīng)該圍繞在某條平行于x=0這一條直線上下波動(dòng)的，并且波動(dòng)的幅度不會(huì)很大，這可以用做殘差序列圖觀察得到；，檢驗(yàn)殘差是否呈正態(tài)性，一個(gè)模型如果能很好的擬合，那么其殘差應(yīng)該是呈正態(tài)性的，這里用殘差QQ圖和S-W正態(tài)性檢驗(yàn)（原假設(shè)為：H0:數(shù)據(jù)是呈正態(tài)性的）進(jìn)行；，判斷殘差之間是否是相互獨(dú)立的，一個(gè)模型如果能很好的擬合，那么其殘差之間相對(duì)是比較獨(dú)立的，這里主要用殘差的自相關(guān)序列圖和L-B檢驗(yàn)（原假設(shè)為：H0:原數(shù)據(jù)的殘差之間是不相關(guān)的）進(jìn)行。診斷ARIMA(1,2,1)模型，用R軟件編程序（具體程序見(jiàn)于附錄5）輸出為：圖4：A

14、RIMA(1,2,1)模型殘差的序列圖、ACF圖和QQ圖Shapiro-Wilk normality testW = 0.93417, p-value = 0.00592Box-Ljung testX-squared = 23.846, df = 23, p-value = 0.4124由圖4中的殘差序列圖可以看出殘差基本基本上是圍繞x=0這條直線上下波動(dòng)的，因此可以認(rèn)為ARIMA(1,2,1)模型擬合滿(mǎn)足殘差是隨機(jī)的條件；又由圖4中的QQ可以看出殘差基本上是集中在一條直線上的，由S-W檢驗(yàn)的的p=0.00592<0.05，檢驗(yàn)也可以認(rèn)為殘差是非正態(tài)的；又在殘差的自相關(guān)圖中，只有滯后二階

15、是是顯著的，因此可以認(rèn)為殘差之間基本上也是不相關(guān)的，特別由B-L檢驗(yàn)的p=0.4121>0.05，因此沒(méi)有充分的理由拒絕原假設(shè)，應(yīng)該認(rèn)為殘差是相互獨(dú)立的。到此就已經(jīng)對(duì)模型行進(jìn)行了診斷，由于殘差正態(tài)性不足，說(shuō)明用ARIMA(1,2,1)模型擬合原數(shù)據(jù)不是十分合適。同理可對(duì)ARIMA(1,2,2)和ARIMA(1,2,3),進(jìn)行診斷，這里圖形和數(shù)據(jù)檢驗(yàn)就不再一一呈現(xiàn)在論文中。在診斷中發(fā)現(xiàn)模型ARIMA(1,2,2)用于擬合是滿(mǎn)足條件的，而ARIMA(1,2,3)模型也由于殘差正態(tài)性不足而不適合用于擬合合。因此在對(duì)人口模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)采用ARIMA(1,2,1)模型。并且在進(jìn)行參數(shù)冗余分析時(shí)發(fā)現(xiàn)

16、，對(duì)于該時(shí)間序列用ARIMA(1,2,2)模型擬合后，對(duì)ARIMA(p,d,q)中p,d,q任意一個(gè)變小都不能再滿(mǎn)足條件，因此用ARIMA(1,2,2)模型是適合且簡(jiǎn)化的，因此后文選用ARIMA(1,2,2)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。2.4模型預(yù)測(cè)由2.1,2.2,2.3三節(jié)已經(jīng)完成了對(duì)模型的識(shí)別、參數(shù)估計(jì)和模型診斷，現(xiàn)在就需要運(yùn)用該模型對(duì)原時(shí)間序列趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)。在實(shí)際情況中，過(guò)去的狀態(tài)已經(jīng)是即成的事實(shí)，我們關(guān)心的更多的是未來(lái)是什么狀態(tài)，從而就可以判斷在目前的情況未來(lái)的情況，進(jìn)而可以進(jìn)行相應(yīng)的措施予以應(yīng)對(duì)。這里假設(shè)對(duì)未來(lái)5年進(jìn)行預(yù)測(cè)，編程7得到（具體程序見(jiàn)附錄6）：Time Series:Start =

17、2015 End = 2019 Frequency = 1 1 137487.2 138208.4 138936.0 139666.2 140397.4Time Series:Start = 2015 End = 2019 Frequency = 1 1 162.5725 305.4282 518.2338 796.2256 1129.1609由上輸出，可知由模型ARIMA (3,2,6)預(yù)測(cè)的2015年-2019年年末總?cè)丝跀?shù)分別為：137487.2,138208.4 ,138936.0,139666.2,140397.4（單位：萬(wàn)人）。并且還可以對(duì)人口數(shù)進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，在此就不列出。三、 模

18、型優(yōu)缺點(diǎn)及推廣3.1模型優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：ARIMA模型在對(duì)許多時(shí)間序列都適用，并且在建模過(guò)程中有多種方法可以選擇，并且在模型的診斷中能過(guò)對(duì)模型的好壞進(jìn)行評(píng)價(jià)，對(duì)預(yù)測(cè)起到很好的作用。缺點(diǎn)：ARIMA模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，對(duì)短期預(yù)測(cè)效果還是比較好的，但隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，其預(yù)測(cè)誤差就比較大了。3.2模型的推廣 ARIMA模型對(duì)大多以時(shí)間為變量的趨勢(shì)都有比較好的擬合效果，可廣泛運(yùn)用于氣溫、股票、降水量、商品價(jià)格等的研究之中。結(jié)束語(yǔ)人口問(wèn)題是人類(lèi)社會(huì)伴隨始終的問(wèn)題，在新中國(guó)成立之初，由于對(duì)人口問(wèn)題的認(rèn)識(shí)不足，導(dǎo)致我國(guó)大量的人員過(guò)剩，從而影響到后面幾十年的發(fā)展，給教育、醫(yī)療社會(huì)帶來(lái)了巨大的壓力，即便后來(lái)在意識(shí)到

19、問(wèn)題的嚴(yán)重性后，在計(jì)劃生育政策下，人口得到了有效的控制，然而由于人口基數(shù)過(guò)大，人們傳統(tǒng)觀念的根深蒂固，我國(guó)人口還是處于不斷增長(zhǎng)的時(shí)期，最近幾年又由于伴隨著人口老齡化情況加劇，社會(huì)經(jīng)濟(jì)壓力又有了很大的壓力，這對(duì)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)在一定程度上有著不良影響，慢慢政府在對(duì)計(jì)劃生育問(wèn)題上又有了一定放松，在一定條件下允許第二胎。這一系列的重大舉措反應(yīng)了當(dāng)代人對(duì)人口問(wèn)題的重視。本文對(duì)未來(lái)幾年利用模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)，對(duì)政策是一定的補(bǔ)充說(shuō)明。論文結(jié)束之際，在此向各位老師表示感謝，對(duì)在相關(guān)領(lǐng)域做出貢獻(xiàn)的學(xué)者表示感謝。參考文獻(xiàn)：1程華，高孝成，幺煥民我國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)問(wèn)題的自限模型，J,哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2009年，第

20、25卷第3期：34-362蔣慧萍，基于多元統(tǒng)計(jì)模型的廣西人口增長(zhǎng)分析，J,企業(yè)科技與發(fā)展，2010年，第10期：190-1923丁明磊，楊曉娜，曹連海相位空間重構(gòu)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在我國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用，J,華北水利水電學(xué)院學(xué)報(bào)，2008年6月，第29卷第3期：95-984王保學(xué)，蔡果蘭，Logistic模型的 參數(shù)估計(jì)及人口預(yù)測(cè)J，北京工商大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009年11月，第27卷第6期：75-795 Rosen F,The principle of population as political theory: Godwin's Of population and the M

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22、der=T)x<-ts(mydata,frequency =1, start =1962)par(mfrow=c(3,1)plot(x)plot(diff(x,difference=1) #做差分后的時(shí)間序列圖acf(diff(x,difference=1),ci.type='ma') #做差分后的自相關(guān)圖pacf(diff(x,difference=1) #做差分后的偏自相關(guān)圖3、做序列的二階差分時(shí)間按序列圖及處理后的ACF圖,PACF圖程序：mydata<-read.table("C:/Users/Administrator/Desktop/shuju

23、.txt",header=T)x<-ts(mydata,frequency =1, start =1962)par(mfrow=c(3,1)plot(diff(x,difference=2)#做差分后的時(shí)間序列圖acf(diff(x,difference=2),ci.type='ma') #做差分后的自相關(guān)圖pacf(diff(x,difference=2) #做差分后的偏自相關(guān)圖4、估計(jì)模型中的參數(shù)程序：mydata<-read.table("C:/Users/Administrator/Desktop/shuju.txt",header=T)x<-ts(mydata,frequency =1, start =1962)arima(x,order=c(1,2,1),method="CSS")#CSS代表?xiàng)l件最小二乘估計(jì)arima(x,order=c(1,2,2),method="CSS")#CSS代表?xiàng)l件最小二乘估計(jì)arima(x,order=c(1,2,3),method=&quo