初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答第2講判別式——二次方程根的檢測器

1、精品文檔第二講判別式一一二次方程根的檢測器為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)危y行里常常 文檔設(shè)計者： 設(shè)計時間: 文檔類型：文庫精品文檔，歡迎下載使用。Word精品文檔，可以編輯修改，放心下載使用驗鈔機，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問題時，最好能知道根的特性：如是否有實數(shù)根，有幾個 實數(shù)根，根的符號特點等。我們形象地說，判別式是一元二次方程根的“檢測器”，在以下方而有著廣 泛的應(yīng)用：利用判別式，判定方程實根的個數(shù)、根的特性；運用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題：借助判別式，運用一元二次方程必定有

2、解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最值問題?！纠}求解】【例1】已知關(guān)于x的一元二次方程（1-2口/2際.廠1 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是。（廣西中考題）思路點撥：利用判別式建立關(guān)于太的不等式組，注意1-殊、攵+ 1的隱含制約。注：運用判別式解題，需要注意的是：（1）解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項系數(shù)不為0的隱含制約；（2）在解涉及多個二次方程的問題時，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導下，綜合運用方 程、不等式的知識?！纠?】已知三個關(guān)于y的方程：+ a =（4-1）/+2），+ 1 = 0和（d_2）>2+2），-1=0,若其中至少有兩個方程有實根，則實數(shù)。

3、的取值范圍是（）（山東省競賽題）A、a<2 B、?；?1W2 C、a> D、-<«<144思路點撥：“至少有兩個方程有實根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于。的不等式組，綜合判斷 選擇。例3已知關(guān)于x的方程產(chǎn)-也+ 2）x+” = 0,（1）求證：無論女取任何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根：（2）若等腰三角形aABC的一邊長a =1,另兩邊長、c恰好是這個方程的兩個根，求ABC的周長。 （湖北省荊門市中考題）思路點撥：對于只需證明>（）;對于（2）由于未指明底與腰，須分方=?；?、c中有一個與c相等 兩種情況討論，運用判別式、根的定義求出。、c的值。注：（1）

4、涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計的一個熱點，但不一定每個這類題均有 多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍。<2）運用根的判別式討論方程根的個數(shù)為人所熟悉，而組合多個判別式討論方程多個根（三個以上） 是近年中考，競賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問題常用到換元、分類討論等思想方法。例4設(shè)方程卜2+閃=4,只有3個不相等的實數(shù)根，求。的值和相應(yīng)的3個根。（重慶市競賽題）思路點撥：去掉絕對值符號，原方程可化為兩個一元二次方程.原方程只有3個不相等的實數(shù)根，則其 中一個判別式大于零，另一個判別式等于零?！纠?】已知：如圖，矩形ABCD中，AD=n, DC=/,，在AB上找一點E

5、,使E點與C、D的連線將此矩 形分成的三個三角形相似，設(shè)AE=x，問：這樣的點E是否存在?若存在，這樣的點E有幾個?請說明理由。(云南省中考題)思路點撥：要使RtZADE、RtABEC. RtZkECD彼此相似，點E必須滿足NAED+NBEC=90° ,為此，可 設(shè)在AE上存在滿足條件的點E使得RtZADEsRtBEC,建立一元二次方程的數(shù)學模型，通過判別式討 論點E的存在與否及存在的個數(shù)。注：有些與一元二次方程表而無關(guān)的問題，可通過構(gòu)造方程為判別式的運用鋪平道路，常見的構(gòu)造方法有：(1)利用根的定義構(gòu)造；(2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造：(3)確定主元構(gòu)造。精品文檔判別式一一二次方程根的

6、檢測器學力訓練1、已知疝 +k+ 1| = 0,若方程"2+6+ = 0有兩個相等的實數(shù)根，則攵= 2、若關(guān)于x的方程3+2灰51 = 0有兩個不相等的實數(shù)根，貝以的取值范圍是。（遼寧省中考題）3、已知關(guān)于入方程3 一反Gx + A=0有兩個不相等的實數(shù)解，化簡人,_2 +、仁_4“4二 4、若關(guān)于x的一元二次方程?-2）2/+（2? + 1»+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則機的取值范圍是D、且y±2 （山西省中考題）33A、m < B、m < 445、己知一直角三角形的三邊為、b、c, ZB=90°,那么關(guān)于入的方程。（3-1）-2rx+仇

7、/+1）= 0的根的情況為（）B、沒有實數(shù)根D、無法確定（河南省中考題）A、有兩個相等的實數(shù)根C、有兩個不相等的實數(shù)根 6如果關(guān)于犬的方程2）1 -2（】-1）工+ ? = 0只有一個實數(shù)根，那么方程-（/? + 2）x + （4-m） = 0的 根的情況是（）A、沒有實數(shù)根B、有兩個不相等的實數(shù)根C、有兩個相等的實數(shù)根 D、只有一個實數(shù)根（2003年河南省中考題）7、在等腰三角形ABC中，Z A、NB、NC的對邊分別為c,已知 =3, b和。是關(guān)于戈的方程/+北-2-3| = 0的兩個實數(shù)根，求AABC的周長° （濟南市中考題）28、已知關(guān)于k的方程x?+2（2-?）x + 3-6

8、m=0（1）求證：無論m取什么實數(shù)，方程總有實數(shù)根：（2）如果方程的兩實根分別為修、勺，滿足占二3勺，求實數(shù)，的值。（鹽城市中考題）9、。、為實數(shù)，關(guān)于x的方程卜2+6+卜2有三個不等的實數(shù)根。求證：4b - 8 =。；（2）若該方程的三個不等實根，恰為一個三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個內(nèi)角是60口 ；若該方程的三個不等實根恰為一直角三角形的三條邊，求和人的值。（江蘇省蘇州巾中考題）10、關(guān)于的兩個方程3+4lx+27 + 3 = 0, Y+（2? + i）x + "J =0中至少有一個方程有實根，則m的取值范圍是 0 （2002年四川省競賽題）11、-I a -, h=時

9、，方程3+2（1 +耽+ （302加+2） = 0有實數(shù)根。（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）12、若方程卜2 一5八=。有且只有相異二實根，則°的取值范圍是 o13、如果關(guān)于入的方程如220 + 2）x+皿+ 5 = 0沒有實數(shù)根，那么關(guān)于x的方程。一5）/-2。 + 2）犬+加=0的實根的個數(shù)（） A、2 B、1 C、0 D、不能確定14、已知一元二次方程1+必+。= 0,且、?？稍?、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實數(shù)根的方程共有（）A、12個 B、10個 C、7個 D、5個（河南省中考題）15、已知&（：的三邊長為a、b、c,且滿足方程。/一（。2/-/.+>=0

10、,則方程根的情況是（）A、有兩相等實根B、有兩相異實根 C、無實根 D、不能確定 （河北省競賽題）16、若 a、b、c、d>0,證明：在方程 Lt2 +2a + bx + 4i = 0 ; L? +J2b + cx + &i = 0 : 2-2!一+反萬.（+疝=。；而工；工一癡=。中，至少有兩個方程有兩個不相等的實數(shù)根。 22（湖北省黃岡市競賽題） 17、已知三個實數(shù)a、b、c滿足。+如。=數(shù)abc = l,求證：a、b、c中至少有一個大于| 0 18、關(guān)于x的方程h2-依-1）入+ 1=0有有理根，求整數(shù)是的值。（山東省競賽題）19、考慮方程-lOx+儲（D若。二24,求一個

11、實數(shù)，使得恰有3個不同的實數(shù)x滿足式。若。>25,是否存在實數(shù)b ,使得恰有3個不同的實數(shù)x滿足式?說明你的結(jié)論。（國家理科實驗 班招生試題）20、如圖，已知邊長為。的正方形ABCD內(nèi)接于邊長為的正方形EFGH,試求2的取值范圍。 a參考答案團判別 式一二次方程的根的檢涕器【例題求解】例1由。且一2丘0,得一】&Y2旦號參例 2 選 B .=一40二伏2 a).4 =4(口一1),當時.i>0，A>0.&<0；當：VaVi 時 AVO.&>O.0(h當14。42時4<：0.>0&20,當a>2時VO.A* VO&a

12、mp;>0,故當或1匕。<2時,至少兩個方程有實根.例3 (1) A=S-2產(chǎn)NO故原方程總有實數(shù)根；<2)方=(時以="一2=0/=2,得力+=%卜2=4.且符合三角形三邊的關(guān)系，故AABC周長為5,6c中有一 個與a相等時.不妨設(shè)1? 一 *2)X1 + 2A = O得i= 1.6 l-c=人+ 2 = 3,=2,這與a4 b>c矛盾,故a 不能為腰.例方程等價于如下兩個方程,3+0下一4 = 0父+工+4-0兩方程無相同的根,由于原方程只有3個不相等的實根.故必有且只有方程或有重根,A 。? + 16,0,&=/一6 20.由于；>，故只可

13、能是5=0.即。=土4,相應(yīng)求科方程根為一2. - 2士 2$22 士 2例5 由&=匕三整理洱/一以+6=0.4="-4標=3+2公(5-2)6+20>0x a(1)當/>-2<%即6<2“時必<0方程無實效解即符合條件的點E不存在；(2)當6 2a-0卬S2a時,A-0,方程有兩個相等實根,即點E存在，且只有一個,是AB的中點；(3)當b 2a>0,即心>2a時”>0,方程有兩個不相等實根,不，二絲呼三國都符合題意,即存在兩個點滿足條件.【學力訓練】I. 一42.003. 44. C 5. A 6. C 7. 8c 的周長為

14、警或 708. (1)4 = 4(5+1»20：(2)切=0或 4.9. (1)原方程即為/+5+=士2,&=1 - 4+8.&=。2468,因為原方程有三個不等的實數(shù)根所以d、&中必有 一個大于0另一個等于0,顯然&>, 即4一468=0.(2)設(shè)方程.，十。了+6=2的根為八、小.方程/十。工十6-2的根為4,則公+才？ +n=180,又力+j> = -a不二y a = -120Ta =60. U（3>由知。2 4b 8.d j' -46+8 16方程二十口才+ 62,兩根為一顯然一號孑''則（一三）+ （

15、二Y"4 ）=（二.+1），一- N 16.。,-0（含去）4 8 = 62.R110. m一行或m一7 W11. A 4（1 a）? 十 （0+24叮0又一4（ 1 -。）？ + （。+ 2力叮40,得 41（1 - a）' +（a + 2>）'1-0, ； a55581 也=一12. 。=0或4與，當。=0時,方程有相片二實根j當。>0時，有/一5/一。一(,-5彳+。=小=25 + 4必廣25 一4a,則d>0且dV0.13. D 由前一個方程&<0得加>4用/” = 5時后一個方程為一次方程，當m>4時且時.&

16、;>014. A 15. C16. xii -2a + &-2 y/Tdi、&7b+c-2- 2c-d2，/茄,1-24十“一2A+d =(64尸 +(五一尸+a+c>0,& 十& =(而一/7)？ + (不-"V 十b+d>0.17. a" 必有一個為正.不妨設(shè)c>0.則，+ 2-c.q3=4可看作方程，,十門一> =。的實根.=/一"( 一十)».,即 7T等=多18. (】)當上=0時=一，方程有有理根. (2)當#0時.因方程有有理根.故若6是整數(shù),則=«1/一辦二公一6A+1必為完全平方數(shù)，即存在非負整數(shù)，".使 /-6上+1=一.配方得(£-3)2 一十二8,即a一3十而(6 3 引=8,而6一3 十加與4-3一/«奇偶性相同，氏一 3+mN左一3 一，則歸3+萬1 二 4或13一析=2為-3+加二2ifc -3-m=4解得A = 6或A = 0（舍去）.精品文檔19 .若有實數(shù)J淌足，則非負可改紂為，/ 1。+而)(/一】0才十。一布)二。(1)取。=24.力=1 ,符合題設(shè)要求卜若。225,則A 7(25-。一行)40若«),最多只有不同的兩個工滿足：若4=0,則&am