二元一次方程組地解法

1、二元一次方程組的解法一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1 . 了解二元一次方程、二元一次方程組及其解的含義；2 .會(huì)檢驗(yàn)一組數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解；3 .會(huì)用代入法和加減法解二元一次方程組，了解代入消元法和加減消元法的基本思想；4 .能夠根據(jù)題目特點(diǎn)熟練選用代入法或加減法解二元一次方程組；5.能借助二元一次方程組解決一些實(shí)際問題，使用代數(shù)方法去反應(yīng)現(xiàn)實(shí)生活中的等量 關(guān)系，體會(huì)代數(shù)方法的優(yōu)越性 .重點(diǎn)：二元一次方程組的解法.難點(diǎn)：熟練運(yùn)用代入法和加減法解二元一次方程組.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：二元一次方程的概念含有兩個(gè)未知數(shù)(一般設(shè)為x、v),并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一

2、次方程.如x+y = 24,都是二元一次方程.要點(diǎn)詮釋：(1)在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).(2) “未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)(單項(xiàng)式)的次數(shù)是1.如xy的次數(shù)是2, 所以方程6xy+9 = 0不是二元一次方程.(3)二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.如方程的左邊不是整式， 所以它就不是二元一次方程.(4)判斷某個(gè)方程是不是二元一次方程，一般先把它化為ax+by+c=0的形式，再根據(jù)定義判斷，例如：2x+4y=3+2x不是二元一次方程，因?yàn)橥ㄟ^移項(xiàng)，原方程變?yōu)?y=3,不符合二元一次方程的形式。知識(shí)點(diǎn)二：二元一次方程的解能使二元一次方程左右兩

3、邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。由于使二元一次方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值不只一個(gè)，故每個(gè)二元一次方程都有無數(shù)組解。如，都是二元一次方程 x+y=3的解，我們把有無數(shù)組解的這樣的方程又稱之 為不定方程。要點(diǎn)詮釋：(1)使二元一次方程左右兩邊都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值(二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值 ，即二元一次方程的解都要用“ ”聯(lián)立起來，如，是二元一次方 程x+ y = 2的解。(2)在二元一次方程的無數(shù)個(gè)解中，兩個(gè)未知數(shù)的值是相互聯(lián)系、一一對(duì)應(yīng)的。即其中 一個(gè)未知數(shù)的值確定后，另一個(gè)未知數(shù)的值也隨之確定并且唯一。知識(shí)點(diǎn)三：二元一次方程組的概念把具有相

4、同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.例如， 都是二元一次方程組.此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如 也是二元一次方程組.知識(shí)點(diǎn)四：二元一次方程組的解一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)詮釋：方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立，如 ，而不能表示成x=9,y=4.(2)一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無解，而方程組 的解有無數(shù)個(gè).(3)檢驗(yàn)一組數(shù)是否是二元一次方程組的解時(shí)，一定要將這一組數(shù)代入方程組中的每一個(gè)方程，看是否滿足每一個(gè)方程，只有這組數(shù)滿足方程組中的所有方程時(shí)，該組數(shù)才是原方程組的解，否

5、則不是。知識(shí)點(diǎn)五：消元法1消元思想：二元一次方程組中有兩個(gè)未知數(shù)，如果消去其中一個(gè)未知數(shù)，那么就把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù). 這種將未知數(shù)由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.2消元的基本思路：未知數(shù)由多變少.3消元的基本方法：把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程.知識(shí)點(diǎn)六：代入消元法1代入消元法是解方程組的兩種基本方法之一。代入消元法就是把方程組其中一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示，然后代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解。這種解二元一次方程組的方法叫代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法

6、。2用代入法解二元一次方程組的一般步驟：(1)從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，將這個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示；(2)將變形后的這個(gè)關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；(4)將求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；(5)把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用符號(hào)“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式.要點(diǎn)詮釋：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)

7、要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法。如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程， 這種方法叫做整體代入法。整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率。知識(shí)點(diǎn)七：加減消元法1 .加減消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，加減消元法是通過將兩個(gè)方程相加(或相減)消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解，這種解法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。2 .用加減法解二元一次方程組的一般步驟：(1)方程組中的兩個(gè)方程，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不互為相反數(shù)又不相等，就可用 適當(dāng)?shù)?/p>

8、數(shù)去乘一個(gè)方程或兩個(gè)方程的兩邊，使兩個(gè)方程中的某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相等；(2)把兩個(gè)方程的兩邊分別相加減 (相同時(shí)相減，相反時(shí)相加)，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一 個(gè)一元一次方程；(3)解這個(gè)一元一次方程，求得其中一個(gè)未知數(shù)的值；(4)把所求得的這個(gè)未知數(shù)的值代入到原方程組中系數(shù)比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程，求出另一 個(gè)未知數(shù)的值；(5)把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用符號(hào)“”聯(lián)立起來寫成方程組的解的形式。要點(diǎn)詮釋：一般地，加減消元法的選擇方法是：(1)選擇系數(shù)絕對(duì)值較小的未知數(shù)消元；(2)某一未知數(shù)絕對(duì)值相等，如果符號(hào)不同，用加法消元，如果符號(hào)相同，用減法消元；(3)某一未知數(shù)系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，直接對(duì)其中

9、一個(gè)方程變形，使其系數(shù)絕對(duì)值相等， 再運(yùn)用加減法消元；(4)當(dāng)相同的未知數(shù)的系數(shù)都不相等時(shí)，找出某一個(gè)未知數(shù)的最小公倍數(shù)，同時(shí)對(duì)兩個(gè) 方程進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值相同的系數(shù)，再用加減法來解。用加減法解方程組時(shí)需注意： 對(duì)某個(gè)方程變形處理時(shí)各項(xiàng)都要擴(kuò)大相同的倍數(shù)；兩個(gè)方程的左右兩邊的各項(xiàng)都要同時(shí)相加或相減。三、規(guī)律方法指導(dǎo)1 .二元一次方程的整數(shù)解的求法： 一般情況下，一個(gè)二元一次方程都有無數(shù)個(gè)整數(shù)解， 解這類問題時(shí)，先用一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個(gè)未知數(shù)，然后根據(jù)條件逐一求出相應(yīng)的解.2 .判斷二元一次方程組的方法：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起就組 成一個(gè)二元一次方程組， 判斷一個(gè)

10、方程是不是二元一次方程組，就看它是否滿足以下兩個(gè)條件：(1)看整個(gè)方程組里含有的未知數(shù)是不是兩個(gè)；(2)看含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是不是1.3 .檢驗(yàn)一對(duì)數(shù)是不是某個(gè)二元一次方程組的解，常用的方法是：將這對(duì)數(shù)值分別代入 方程組中的每個(gè)方程， 只有當(dāng)這對(duì)數(shù)值滿足其中的所有方程時(shí)，才能說這對(duì)數(shù)值是此方程組的解；否則，如果這對(duì)數(shù)值不滿足其中的任何一個(gè)方程，那么它就不是此方程組的解4.運(yùn)用代入法、加減法解二元一次方程組要注意的問題：(1)當(dāng)方程組中含有一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式時(shí)，用代入法比較簡(jiǎn)單；(2)若方程組中未知數(shù)的系數(shù)為1(或一1),選擇系數(shù)為1(或一1)的方程進(jìn)行變形，用代入法比較簡(jiǎn)便；(

11、3)當(dāng)方程組中的兩個(gè)方程有某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或相反時(shí)，進(jìn)行加減消元比較方便；(4)若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，利用等式性質(zhì)，可以轉(zhuǎn)化成(3)的類型，選擇加減消元法比較簡(jiǎn)便；(5)若兩個(gè)方程中，同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值都不相等，那么，應(yīng)選出一組系數(shù)(選最小公倍數(shù)較小的一組系數(shù) )，求出它們的最小公倍數(shù)，然后將原方程組變形，使新方程組 的這組系數(shù)的絕對(duì)值相等(都等于原系數(shù)的最小公倍數(shù))，再加減消元；(6)對(duì)于比較復(fù)雜的二元一次方程組，應(yīng)先化簡(jiǎn) (去分母、去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等 ).通常 要把每個(gè)方程整理成含未知數(shù)的項(xiàng)在方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)在方程的右邊的形式，再作加減消元的考慮.經(jīng)典

12、例題透析類型一：求二元一次方程的解1.寫出二元一次方程 4x+y=20的所有正整數(shù)解.思路點(diǎn)撥：要把4x+y=20變形，再根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)求解.解析：由原方程得y=20 4x.因?yàn)閤、y都是正整數(shù)，所以當(dāng) x= 1,2 , 3,4 時(shí)，y= 16,12,8 , 4.所以方程4x+y = 20的所有正整數(shù)解為：，.總結(jié)升華：(1)可以把二元一次方程中的一個(gè)未知數(shù)看成已知數(shù)，先解關(guān)于另一個(gè)未知數(shù)的一元一次方程，然后兩個(gè)未知數(shù)取正整數(shù)值即可.(2)對(duì)題意理解，要注意兩點(diǎn)：要正確；不重、不漏.兩個(gè)未知數(shù)的取值均為正整數(shù)才符合題意的解舉一反三：【變式1】在方程3x+4y 2=0中，若y分別取2、0、一

13、1、一 4,求相應(yīng)的的值.【答案】將3x+4y2=0變形得.把已知y值依次代入方程的右邊，計(jì)算相應(yīng)值，如下表:201一 4226【變式2求二元一次方程 2x + y=9在自然數(shù)圍的解。思路點(diǎn)撥：首先明確自然數(shù)的概念，自然數(shù)是指0,1 , 2, 3,，也就是非負(fù)整數(shù)，最小的自然數(shù)是 0。再把二元一次方程變形，用一個(gè)未知數(shù)表示另一個(gè)未知數(shù)，可變?yōu)閥=9-2x,這樣再讓未知數(shù) x按順序0,1 , 2, 3,取值，即可獲得所求的自然數(shù)圍的解。解析：原方程變形為y=9 2x當(dāng) x=0 時(shí)，y=9,當(dāng) x=1 時(shí)，y = 7,當(dāng) x=2 時(shí)，y=5當(dāng) x=3 時(shí)，y=3,當(dāng) x = 4 時(shí)，y = 1,當(dāng)

14、 x=5 時(shí)，y = 1 所以方程在自然數(shù)圍的解為，。類型二：確定方程的待定系數(shù)2.若是關(guān)于的二元一次方程，求的值 .思路點(diǎn)撥：根據(jù)兀一次方程的定義，a3w 0,即aw3; |a| 2 = 1,即a=±3,所以 a = 3.解析：由題意得|a| -2=1,所以a=± 3.而 a3w 0,即 aw3,所以 a= 3.總結(jié)升華：二元一次方程的待定系數(shù)的求解，要同時(shí)考慮兩個(gè)未知數(shù)的系數(shù)與次數(shù)，不管方程的形式如何變化，必須滿足含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,這兩個(gè)條件.舉一反三：【變式1】如果是方程組的解，求a2009 2 b2009的值.思路點(diǎn)撥：把代入方程組，可以得到關(guān)于a、

15、 b 的方程組，解這個(gè)方程組，可得a、 b的值 .解析： 由是方程組的解，得.解這個(gè)方程組，得，當(dāng)時(shí)，a 2009-2b2009 = 12009 - 2 xl 2009=- 1.總結(jié)升華：把x、 y 的值代入方程組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、 b 的方程組，解出a、 b 的值 . 本題體現(xiàn)了“系數(shù)”與“未知數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系 .【變式2】方程2xm+ “By2：5是二元一次方程，則m=, n =.【 答案 】 0,解析：由方程是二元一次方程得：1=1,2n=1,解得：m= 0, n=。【變式3】若是方程組的解，則a=, b=.【答案】a=2, b=1解析： 把代入原方程得。3已知方程組與方程組的解相同，求的值

16、.思路點(diǎn)撥：因?yàn)閮蓚€(gè)方程組的解相同，所以可先求出方程組的解，然后把此解代入方程組中，得到關(guān)于a、 b 的二元一次方程組，解這個(gè)方程組，即可導(dǎo)出a、 b 的值 .解析： 解方程組，得. 把代入方程組，得，解這個(gè)方程組，得.總結(jié)升華：由于此題的解題步驟較多，所以解方程組的過程可以省略.舉一反三：【 變式 1】已知方程組與方程組的解相同，求a、 b 的值 .解析：由方程3x y = 5與4x7y= 1組成方程組，之后解題過程見例3,求出x、y的值，代入方程組，再求出a、 b 的值，得.【 變式2】若等式中的x、 y 滿足方程組，求mn的值。解析：由2x 4=0, y-= 0,得，把代入方程組得解得：

17、把代入2 m n +得原式=2X3 18 + =。類型三：二元一次方程組的求法4解方程組.思路點(diǎn)撥：根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可以選用不同的方法來解.解析： 方法一：原方程組化簡(jiǎn)得由得，y=36-5x.把代入，得一x+ 5(36 5x)=24,解得x= 6.把x= 6代入，得y=36 5X 6=6.所以原方程組的解是.方法二：原方程組化簡(jiǎn)得X 5,得 25x+5y= 180.，得 26x= 156,解得x=6.把x= 6代入，得y= 6.所以原方程組的解是.方法三：原方程組化簡(jiǎn)得X 3,得 9(x+y)+6(x y) = 108.X 2,得 4(x+y) 6(x y) =48.十 ，得 13(x+y)

18、 = 156,解得 x+y=12.把x+y=12代入，解得 x- y= 0.解方程組，得 .所以原方程組的解是.總結(jié)升華：(1) 方法一和方法二都利用了二元一次方程組的常規(guī)解法：代入法和加減法；方法三根據(jù)題目的特點(diǎn)應(yīng)用了整體的思想方法先求出x y 和 x y 的值，再進(jìn)一步求x、 y的值，這是解方程(組 )的一種重要的思想.(2) 解方程組時(shí)，不要急于求解，要先觀察特點(diǎn)，因題而異，靈活選擇方法，才能事半功倍 . 同時(shí)，注意一題多解，訓(xùn)練思維的敏捷性和解題的靈活性.舉一反三：【 變式1】已知方程組，求 x y z 的值 .思路點(diǎn)撥：這是個(gè)三元一次方程組，只含有兩個(gè)方程，一般不能分別求出x、 y、

19、 z 的值，可把“ x y z ”作為一個(gè)整體，把方程組變形，根據(jù)特殊性求解 .解析： 將原方程組整理，得x 3,得 6(x +3y) +3(x +y + z) =21,x 2,得 6(x +3y) +2(x +y + z) =16,一，得 x+y+z=5.【 變式2】解方程組解：由，得 5x+53y = 85X 300,即 5(x+y) + 48y= 85X 300. 將代入，得 5X300 + 48y= 85X 300。解得y=500. 將y= 500代入，得x= 200.所以原方程組的解是.【 變式3】解方程組解：設(shè)，則原方程組可化為解得，即，解得。類型四：實(shí)踐應(yīng)用題5.直角三角形 AB

20、C中，Z C= 90° ,兩個(gè)銳角的差是 30° ,求兩個(gè)銳角的度數(shù).思路點(diǎn)撥：許多幾何中的問題，如邊、角問題，可通過設(shè)未知數(shù)來列方程組，使幾何問題中的量的關(guān)系變得更直接、更易懂.解析： 設(shè)兩個(gè)銳角的度數(shù)分別是x °和y °，根據(jù)題意列方程組為，解方程組，得. 所以兩個(gè)銳角的度數(shù)分別是60°和30° .總結(jié)升華：列簡(jiǎn)單的二元一次方程組時(shí)應(yīng)先設(shè)未知數(shù)，然后列出含有未知數(shù)的兩個(gè)方程，再用大括號(hào)聯(lián)立，組成二元一次方程組.舉一反三：【 變式 1 】美術(shù)小組的同學(xué)分鉛筆若干支，若其中4 人每人各取4 支，其余的人每人各取 3 支，則還剩16 支

21、；若有1 人只取 2 支，則其余的人恰好每人各得6 支，問美術(shù)小組的同學(xué)有多少人？鉛筆有多少支？解析： 設(shè)美術(shù)小組有名同學(xué)，有支鉛筆，根據(jù)題意，得，解方程組，得.答：美術(shù)小組有8 名同學(xué)，44 支鉛筆 .【 變式 2 】 （中考）某刊物報(bào)道：“2008 年 12 月 15 日，兩岸海上直航、空中直航和直接通郵啟動(dòng)，大三通基本實(shí)現(xiàn) 大三通最直接好處是省時(shí)間和省成本，據(jù)測(cè)算，空運(yùn)平均每航次可節(jié)省4 小時(shí)，海運(yùn)平均每航次可節(jié)省22 小時(shí)，以兩岸每年往來合計(jì)500 萬人次計(jì)算，則共可為民眾節(jié)省2900萬小時(shí)”根據(jù)文息，求每年采用空運(yùn)和海運(yùn)往來兩岸的人員各有多少萬人次解析： 設(shè)每年采用空運(yùn)往來的有x 萬人次，海運(yùn)往來的有y 萬人次，依題意得解得答：每年采用空運(yùn)往來的有450 萬人次，海運(yùn)往來的有50 萬人次6小明做拼圖游戲時(shí)發(fā)現(xiàn)：8 個(gè)一樣大小的小長(zhǎng)方形恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，如圖 1 所示 . 小麗看見了，也來試一試，結(jié)果拼成了如圖2 所示