屆高三數(shù)學(xué)直接證明與間接證明ppt課件

1、第2課時(shí) 直接證明與間接證明1直接證明直接證明(1)綜合法綜合法定義：利用已知條件和某些數(shù)定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的的 ，最后推導(dǎo)出所要證明的，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論結(jié)論 ，這種證明方法叫綜合，這種證明方法叫綜合法法基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理推理證明推理證明成立成立框圖表示：框圖表示：基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理(2)分析法分析法定義：從定義：從 出發(fā)，逐步出發(fā)，逐步尋求使它成立的尋求使它成立的 直至最后，把要直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件件(已已知條件、定理、定義、公理等知

2、條件、定理、定義、公理等)為為止這種證明的方法叫做分析法止這種證明的方法叫做分析法基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理要證明的結(jié)論要證明的結(jié)論充分條件充分條件基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？綜合法和分析法有什么區(qū)別與聯(lián)系？【思考思考提示提示】分析法的特點(diǎn)是：從分析法的特點(diǎn)是：從“未知未知”看看“需知需知”，逐步靠攏，逐步靠攏“已知已知”，其逐步，其逐步推理，實(shí)際上是尋求它的充分條件；綜合法推理，實(shí)際上是尋求它的充分條件；綜合法的特點(diǎn)是：從的特點(diǎn)是：從“已知已知”看看“可知可知”，逐步推向，逐步推向“未知未知”，其逐步推理，實(shí)際上是尋找它的必，其逐步推理，實(shí)際

3、上是尋找它的必要條件分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些要條件分析法與綜合法各有其特點(diǎn)，有些具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證具體的待證命題，用分析法或綜合法均能證明出來，往往選擇較簡(jiǎn)單的一種明出來，往往選擇較簡(jiǎn)單的一種2間接證明間接證明反證法：假設(shè)原命題反證法：假設(shè)原命題 ，經(jīng)，經(jīng)過正確的推理，最后得出過正確的推理，最后得出 ，因此，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫反證法立，這樣的證明方法叫反證法基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理不成立不成立矛盾矛盾1分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的尋求使它成立的()A充分條件充分

4、條件B必要條件必要條件C充要條件充要條件 D既不充分又不必要條件既不充分又不必要條件答案：答案：A三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化2若若ab0，則下列不等式中總，則下列不等式中總成立的是成立的是()答案：答案：A三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化3用反證法證明命題：若整系數(shù)用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理有有理數(shù)根，那么數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)中正確的是時(shí)，下列假設(shè)中正確的是()A假設(shè)假設(shè)a、b、c都是偶數(shù)都是偶數(shù)B假設(shè)假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)都不是偶數(shù)C假設(shè)假設(shè)a、b、c至多有一個(gè)偶數(shù)至多有一個(gè)偶數(shù)D假設(shè)假設(shè)a、b、c至

5、多有兩個(gè)偶數(shù)至多有兩個(gè)偶數(shù)答案：答案：B三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化4設(shè)設(shè)p2x41，q2x3x2，xR，則則p與與q的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是_答案：答案：pq三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化5“任何三角形的外角都至少有任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是的否定應(yīng)是_答案：答案：存在一個(gè)三角形，其外角存在一個(gè)三角形，其外角最多有一個(gè)鈍角最多有一個(gè)鈍角三基能力強(qiáng)化三基能力強(qiáng)化1綜合法是綜合法是“由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч保?，它是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)是從已知條件出發(fā)，順著推證，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所證結(jié)論的真實(shí)性用綜合法證明題證結(jié)論的真實(shí)性用綜合法證明

6、題的邏輯關(guān)系是：的邏輯關(guān)系是：AB1B2BnB(A為已知為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，B為要證結(jié)論為要證結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)，它的常見書面表達(dá)是是“，”或或“”課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)一考點(diǎn)一綜合法綜合法2綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中常綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中常用方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演用方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法繹推理方法課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【證明證明】x2y22xy，y2z22yz，z2x22zx，(x2y2)(y2z2)(z2x2)2xy2yz2zx，3(x2y2z2)x2y2z2

7、2xy2yz2zx，即即3(x2y2z2)(xyz)21，課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【方法總結(jié)方法總結(jié)】(1)綜合法的思維特點(diǎn)綜合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論用綜合法證明不等是：由已知推出結(jié)論用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：式中常用的重要不等式有：a20，a2課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(2)用綜合法證不等式時(shí)，以基本用綜合法證不等式時(shí)，以基本不等式為基礎(chǔ)，以不等式的性質(zhì)為依不等式為基礎(chǔ)，以不等式的性質(zhì)為依據(jù)，進(jìn)行推理論證因此，關(guān)鍵是找據(jù)，進(jìn)行推理論證因此，關(guān)鍵是找到與要證結(jié)論相匹配的基本不等式及到與要證結(jié)論相匹配的基本不等式及其不等式的性質(zhì)其不等式的性質(zhì)課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練分析法是分

8、析法是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”，它是從，它是從要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸要證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，逐漸地靠近已知事實(shí)地靠近已知事實(shí)用分析法證用分析法證“若若P則則Q”這個(gè)命這個(gè)命題的模式是：題的模式是：課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)二考點(diǎn)二 分析法分析法為了證明命題為了證明命題Q為真，為真，這只需證明命題這只需證明命題P1為真，從而有為真，從而有這只需證明命題這只需證明命題P2為真，從而有為真，從而有這只需證明命題這只需證明命題P為真為真而已知而已知P為真，故為真，故Q必為真必為真課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【證明證明】ab，ab0.平方得：平方得：|a|2|b|22|a|b

9、|2(|a|2|b|22ab)，只需證：只需證：|a|2|b|22|a|b|0，即即(|a|b|)20，顯然成立故原，顯然成立故原不等式得證不等式得證課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】abab0，利用利用a2|a|2.【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】本題從要證明的結(jié)本題從要證明的結(jié)論出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，論出發(fā)，探求使結(jié)論成立的充分條件，最后找到恰恰都是已證的命題最后找到恰恰都是已證的命題(定義、公定義、公理、定理、法則、公式等理、定理、法則、公式等)或是要證命題或是要證命題的已知條件時(shí)，命題得證這正是分析的已知條件時(shí)，命題得證這正是分析法證明問題的一般思路法證明問題的一般思路一般地，

10、含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式一般地，含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式，若從正面不易推導(dǎo)時(shí)，可以或不等式，若從正面不易推導(dǎo)時(shí)，可以考慮用分析法考慮用分析法課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練反證法體現(xiàn)了正難則反的思維反證法體現(xiàn)了正難則反的思維方法，用反證法證明問題的一般步方法，用反證法證明問題的一般步驟是：驟是： (1)分清問題的條件和結(jié)論；分清問題的條件和結(jié)論；(2)假定所要證的結(jié)論不成立，假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面成立而設(shè)結(jié)論的反面成立(否定結(jié)論否定結(jié)論)；課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練考點(diǎn)三考點(diǎn)三反證法反證法(3)從假定和條件出發(fā)，經(jīng)過正確從假定和條件出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出與已知條件、公理、定的推理

11、，導(dǎo)出與已知條件、公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)相矛盾或理、定義及明顯成立的事實(shí)相矛盾或自相矛盾自相矛盾(推導(dǎo)矛盾推導(dǎo)矛盾)；(4)因?yàn)橥评碚_，所以斷定產(chǎn)生因?yàn)橥评碚_，所以斷定產(chǎn)生矛盾的原因是矛盾的原因是“假設(shè)假設(shè)”錯(cuò)誤既然結(jié)論錯(cuò)誤既然結(jié)論的反面不成立，從而證明了原結(jié)論成的反面不成立，從而證明了原結(jié)論成立立(結(jié)論成立結(jié)論成立)課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(解題示范解題示范)(本題滿分本題滿分12分分)已知已知ac2(bd)，求證：方程，求證：方程x2axb0與方程與方程x2cxd0中至少中至少有一個(gè)有實(shí)數(shù)根有一個(gè)有實(shí)數(shù)根【思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥】命題中有命題中有“至少至少”

12、形式出形式出現(xiàn)，從正面思考不易解決，故可用反證法加以現(xiàn)，從正面思考不易解決，故可用反證法加以證明證明【證明證明】法一：法一：(綜合法綜合法)因因a2c22ac，可推知，可推知a2c24(bd)，即即(a24b)(c24d)0. 6分分故得故得(a24b)與與(c24d)中至少有一個(gè)不小中至少有一個(gè)不小于零于零可知，原命題成立可知，原命題成立. 12分分課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練法二：法二：(反證法反證法)假設(shè)兩方程都沒有實(shí)數(shù)根，則假設(shè)兩方程都沒有實(shí)數(shù)根，則1a24b0與與2c24d0，有，有a2c24(bd)， 6分分而而a2c22ac，從而有，從而有2ac4(bd)，即：，即：ac2(bd)，

13、與題設(shè)矛盾，故原命題成立與題設(shè)矛盾，故原命題成立. 12分分課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練【名師點(diǎn)評(píng)名師點(diǎn)評(píng)】用反證法證明問用反證法證明問題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：題時(shí)要注意以下三點(diǎn)：(1)必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性的反面，當(dāng)結(jié)論的反面呈現(xiàn)多樣性時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少時(shí)，必須羅列出各種可能結(jié)論，缺少任何一種可能，反證都是不完全的；任何一種可能，反證都是不完全的；課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(2)反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推反證法必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，必須

14、根據(jù)這一條件進(jìn)行推證，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法；行推理，就不是反證法；(3)推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必有的與事實(shí)矛盾等，推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的須是明顯的課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練(本題滿分本題滿分12分分)若若x，y都是正實(shí)數(shù)，都是正實(shí)數(shù)，課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練因?yàn)橐驗(yàn)閤0且且y0，所以所以1x2y，且，且1y2x.兩式相加，得兩式相加，得2xy2x2y，所以所以xy2. 8分分這與已知條件這與已知條件xy

15、2矛盾，矛盾，課堂互動(dòng)講練課堂互動(dòng)講練1綜合法與分析法綜合法與分析法分析法與綜合法是兩種思路截然分析法與綜合法是兩種思路截然相反的證明方法，既對(duì)立又統(tǒng)一用相反的證明方法，既對(duì)立又統(tǒng)一用綜合法證題前往往用分析法尋找解題綜合法證題前往往用分析法尋找解題思路，即所謂的思路，即所謂的“分析分析”因此，分析因此，分析法既可用于尋找解題思路，也可以是法既可用于尋找解題思路，也可以是完整的證明過程并且在解決較復(fù)雜完整的證明過程并且在解決較復(fù)雜問題時(shí)，往往是分析法與綜合法相互問題時(shí)，往往是分析法與綜合法相互結(jié)合使用結(jié)合使用規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)2反證法反證法(1)使用反證法證明的關(guān)鍵是在正使用反證法證明的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以確的推理下得出矛盾，這個(gè)矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，是與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、公式、事實(shí)或與定義、公理、定理、公式、事實(shí)矛盾等矛盾等反證法的步驟：反證法的步驟：反設(shè)；反設(shè)；推出推出矛盾；矛盾；下結(jié)論下結(jié)論規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)矛盾的主要類型：矛盾的主要類型：與假設(shè)矛盾；與假設(shè)矛盾；與數(shù)學(xué)公式、法則、公理、定理、定義或與數(shù)學(xué)公式、法則、公理、定理、定義或已被證明了的結(jié)論矛盾；已被證明了的結(jié)論矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；事實(shí)矛盾；自相矛盾自相矛盾(2)常見的常見的“結(jié)論