理論力學(xué)期末前復(fù)習(xí)題-3.填空選擇

1、一、 填空題 1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程為 r = a t ，= bt，則極坐標(biāo)下的軌道方程為 ，加速度大小為 。；1、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程為（為常數(shù)）其軌道方程為 ，速度大小為 。2、單位質(zhì)量的兩個質(zhì)點(diǎn)位于xy平面上運(yùn)動，在某時刻其位矢、速度分別為 則此時質(zhì)心位矢 ，質(zhì)心速度為 ，質(zhì)系動量 ，質(zhì)系動能T= ，質(zhì)系對原點(diǎn)的角動量 。； ；T=31/2；3、質(zhì)量均為1的三個質(zhì)點(diǎn)組成一質(zhì)系，若其瞬時速度分別為，則質(zhì)系的動量為 ，質(zhì)心速度為 。 ； 3、質(zhì)量均為1的三個質(zhì)點(diǎn)組成一質(zhì)系，某時刻它們的位矢分別為，則質(zhì)系的質(zhì)心位矢為 。 4、已知質(zhì)點(diǎn)勢能為，則保守力 。5、當(dāng)質(zhì)點(diǎn)受有心力作用時，其基本守恒律的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

2、和 。；6、一個圓盤半徑為r，質(zhì)量為m，沿直線作純滾動，盤心速度為，則圓盤的轉(zhuǎn)動角速度 ，圓盤的絕對動能T= 。；7、標(biāo)出下列兩圖中作平面運(yùn)動剛體的轉(zhuǎn)動瞬心的位置：VAVBVAVB VAVBccVAVB7、標(biāo)出下列兩圖中作平面運(yùn)動剛體的轉(zhuǎn)動瞬心的位置：VAVBVAVBVAVBcVAVBc8、作用在剛體上的力可沿力的作用線任意移動而不影響它的作用效果，這叫 ，因此作用在剛體上的力是 矢量。力的可傳性原理；滑移9、科里奧利力的表達(dá)式是 ，一個圓盤以角速度勻速轉(zhuǎn)動，盤上有一質(zhì)點(diǎn)相對盤運(yùn)動，相對速度如圖所示，請標(biāo)出科氏力的方向。；如圖示Fc10、一質(zhì)點(diǎn)限制在光滑球面上運(yùn)動，球面半徑為R=at，則質(zhì)點(diǎn)運(yùn)

3、動約束方程的直角坐標(biāo)表達(dá)式為 ，這種約束屬于 約束（至少寫出兩種類型）。（x2+y2+z2=a2t2；理想、幾何、完整、不穩(wěn)定約束）11、質(zhì)量為m，邊長分別為2a和2b的矩形薄板，在薄板上建立如圖坐標(biāo)系，則薄板對其中心的慣量橢球方程是 。（）11、一半徑為r,質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤，其主軸如圖，則圓盤對原點(diǎn)的中心慣量橢球方程為 。zxyoxyz2a2b12、質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在固定點(diǎn)附近作一維簡諧振動x=Asint，質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)為 ，哈密頓函數(shù)為 。L=，13、若力學(xué)體系的拉格朗日函數(shù)L=,則循環(huán)坐標(biāo)為 ，循環(huán)積分為 。x,y；=常數(shù)，=常數(shù)14、若質(zhì)點(diǎn)在有心力場中運(yùn)動的拉格朗日函數(shù)為L=,則循環(huán)

4、坐標(biāo)為 ，循環(huán)積分為 。；常數(shù)16、如圖 V(x)-x 圖為勢能曲線，E1、E2為質(zhì)點(diǎn)的總機(jī)械能，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)能量為E1時，質(zhì)點(diǎn)處于 狀態(tài)，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)能量為E2時，質(zhì)點(diǎn)在x1、x2之間作 運(yùn)動穩(wěn)定平衡；往復(fù)V(x)xV(x)x1 x2 x3E2E117、當(dāng)約束方程含有時間t 時，稱為 約束，例如一單擺的擺長原為 ,以不變速率v變短,則擺的約束方程為 。不穩(wěn)定；18、對作用在剛體上的力系進(jìn)行簡化時，總是選定一點(diǎn)作為簡化中心，力系的合力叫 合力偶叫 ，改變簡化中心時， 不變， 改變。主矢，主矩，主矢，主矩19、在轉(zhuǎn)動參照系中，科里奧利加速度是由 和 互相影響而產(chǎn)生的。牽連運(yùn)動；相對運(yùn)動20、虛位移只需滿足約

5、束條件，因而在方向上具有 ，而實位移只有一個，當(dāng)約束 時，實位移是虛位移中的一個。任意性，穩(wěn)定21、剛體做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，其轉(zhuǎn)動軸的方向是 的，轉(zhuǎn)動瞬時軸在慣性空間和剛體（或其外延上）各畫出一個頂點(diǎn)在固定點(diǎn)的 面，前者叫 ，后者叫 。 隨時變化；錐；空間極面；本體極面22、剛體作平面運(yùn)動時，瞬心的瞬時速度為零，加速度 ，當(dāng)瞬心在無窮遠(yuǎn)處時，剛體作 運(yùn)動。 不為零；平動23、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，已知在動坐標(biāo)系中，慣量張量，角速度，則在t=2時刻，該剛體的轉(zhuǎn)動慣量為 ，轉(zhuǎn)動動能為 ，動量矩為 ，所受外力矩為 。24、若剛體作平面平行運(yùn)動，取動坐標(biāo)系，基點(diǎn)A的速度，剛體繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度，則在t=1時刻該剛

6、體上位矢為的點(diǎn)B的速度= ，加速度 ，瞬心位置 ，并求出其本體極跡為 。25、動坐標(biāo)系繞O點(diǎn)以角速度轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為2的質(zhì)點(diǎn)在動坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程為，求該質(zhì)點(diǎn)在t=1時的速度 ，加速度 ，所受牽連慣性力 ，科氏慣性力 。26、質(zhì)量為m1和m2的二質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)組，在相互作用力下作直線運(yùn)動，取質(zhì)心坐標(biāo)和相對坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，則此質(zhì)點(diǎn)系的動能T= ，勢能V= ，拉格朗日函數(shù)L= ，拉氏方程為 。27、已知某系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為，則循環(huán)坐標(biāo)有 ，守恒量有 ，哈密頓函數(shù)為 ，哈密頓正則方程為 。28、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，已知在動坐標(biāo)系中，慣量張量，角速度，則在t=1時刻，該剛體的轉(zhuǎn)動慣量為 ，轉(zhuǎn)動動能為 ，動量矩為

7、，所受外力矩為 。6.8/4.8；85；20i+30k；-60j+30k29、若剛體作平面平行運(yùn)動，在動坐標(biāo)系中，基點(diǎn)A的速度，剛體繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度，則在t=1時刻該剛體上位矢為的點(diǎn)B的速度= ，加速度 ，瞬心位置 ，并求出其本體極跡為 。13j ；-50i+3j；rc=-0.6i；y=030、轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系繞O點(diǎn)以角速度轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為3的質(zhì)點(diǎn)在動坐標(biāo)系中的運(yùn)動方程為，求該質(zhì)點(diǎn)在t=1時的速度 ，加速度 ，所受牽連慣性力 ，科氏慣性力 。 10i+20j；-70i-80j；240i；-240j31、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在作用力下作自由運(yùn)動，取平面極坐標(biāo)，則該此質(zhì)點(diǎn)的動能T= ，勢能V= ，拉格朗日函數(shù)L

8、= ，拉氏方程為 。32、已知某系統(tǒng)的拉氏函數(shù)為，則循環(huán)坐標(biāo)有 ，守恒量 ，哈密頓函數(shù)為 ，哈密頓正則方程為 。32、若水平面上的自由質(zhì)點(diǎn)的拉氏函數(shù)為，則廣義動量為 ，哈密頓函數(shù)為 。33、如果ox軸是剛體的慣量主軸，則剛體的慣量積 和 必為零。Ixy ；Ixz34、在定軸轉(zhuǎn)動中，如果角速度為恒矢量，則距軸R處的點(diǎn)的切向加速度的大小為 ；法向加速度為 。35、在北半球，河水所受科氏力的水平分量指向河的 岸。35、在地球上，由于 的作用，使南北方向的氣流產(chǎn)生 方向的偏轉(zhuǎn)；北半球河流 岸沖刷較甚，自由下落物體 ，豎直上拋物體 。科里奧利力；東西；右；偏東；偏西36、一個半徑為R,質(zhì)量為m的圓盤沿斜

9、面作無滑滾動，質(zhì)心速度為，則它相對轉(zhuǎn)動瞬心的角動量為 。37、剛體作一般運(yùn)動時有 個自由度；作平動時有 個自由度；作定軸轉(zhuǎn)動時有 個自由度；作平面平行運(yùn)動時有 個自由度；作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時有 個自由度。6；3；1；3；338、泊松括號的定義為= ，用泊松括號表示的正則方程為 。39、質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在固定點(diǎn)附近作一維簡諧振動，則質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)為 ，哈密頓函數(shù)為 。40、歐勒角即 、 、 三個角，是描述剛體作 運(yùn)動的三個獨(dú)立變量。進(jìn)動角，章動角，自轉(zhuǎn)角；定點(diǎn)轉(zhuǎn)動41、選取慣量橢球的三條對稱軸為坐標(biāo)軸時，慣量積將 ，這些對稱軸稱為 。全部為零；慣量主軸42、有心力是保守力，質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下運(yùn)動， 守

10、恒， 守恒。動量矩/角動量；機(jī)械能43、設(shè)為質(zhì)系中第i個質(zhì)點(diǎn)所受的約束力,則理想約束條件為 ；若在約束方程中不顯含時間t，則此約束稱為 約束。；穩(wěn)定44、設(shè)質(zhì)點(diǎn)組第i個質(zhì)點(diǎn)對知心的速度為，質(zhì)心對定點(diǎn)O的速度為，則柯尼希定理表示為 。45、取慣量主軸為坐標(biāo)軸時，慣量橢球的方程為 。46、車輪在直軌上作純滾動時，輪緣與軌道接觸點(diǎn)稱為 ，輪緣的圓周曲線稱為 ，軌道直線稱為 。轉(zhuǎn)動瞬心；本體極跡；空間極跡47、若力學(xué)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則哈密頓函數(shù)H表示系統(tǒng)的 ，而H=常數(shù) 則表示系統(tǒng) ?？偰芰浚粰C(jī)械能守恒48、表示 ，表示 ，表示 ，表示 。質(zhì)點(diǎn)的速度矢量；質(zhì)點(diǎn)的徑向速率；質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量；質(zhì)點(diǎn)的切向加速

11、度49、在平方反比有心力作用下，若質(zhì)點(diǎn)能量E0，則軌道形狀為 ，若質(zhì)點(diǎn)能量E0，則軌道形狀為 。雙曲線，橢圓49、在平方反比有心力作用下，若質(zhì)點(diǎn)能量E=0，則軌道形狀為 ，若質(zhì)點(diǎn)能量EG （B）RG （C）R=G （D）R=0 （C）28、一半徑為的圓盤以速度向前擲去，且使盤繞垂直于盤面的軸以角速度旋轉(zhuǎn)，的方向有使盤向后轉(zhuǎn)動的趨勢，且有，當(dāng)圓盤落到粗糙地面時，則圓盤：（ ） （A）向前滾動 （B）向后滾動 （C）靜止不動 （D）無法判斷 （C）29、在以表示的慣量橢球中，有，則此慣量橢球為：（ ）（A）一般橢球 （B）關(guān)于x軸對稱的旋轉(zhuǎn)橢球 （C）關(guān)于y軸對稱的旋轉(zhuǎn)橢球 （D）關(guān)于z軸對稱的旋

12、轉(zhuǎn)橢球 （D）30、軸為豎直而頂點(diǎn)在下的拋物線形金屬絲，以勻角速繞軸轉(zhuǎn)動，一質(zhì)量為m的小環(huán)，套在金屬絲上，并可沿著金屬絲滑動，取如圖動坐標(biāo)系，則小環(huán)某時刻動能為：（ ）（A） （B）（C） （D） （D）mO xy31、一圓盤沿直線軌道轉(zhuǎn)動，此運(yùn)動可以分解為隨基點(diǎn)的平動和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動，以下哪個說法是正確的：（ ） （D）（A）平動位移與基點(diǎn)的選取無關(guān) （B）轉(zhuǎn)動角速度與基點(diǎn)的選取有關(guān)（C）圓盤與軌道的切點(diǎn)速度、加速度均為零 （D）如果=0，說明無轉(zhuǎn)動瞬心32、若力場滿足：及則此力場為：（ ）（A）保守力場，穩(wěn)恒力場 （B）非保守力場，非穩(wěn)恒力場（C）有勢力場，穩(wěn)恒力場 （D）有勢力場，非穩(wěn)恒力

13、場 （D）33、一力場，則此力為：（ ）（A）保守力，有心力 （B）非保守力，有心力（C）保守力，非有心力 （D）非保守力，非有心力 （D）34、有人對拉格朗日方程有如下理解，正確的有：（ ）（A）方程中的坐標(biāo)不包含系統(tǒng)的非獨(dú)立坐標(biāo)（B）方程中的動能T既可以是對慣性系的，也可以是對非慣性系的（C）對慣性系與非慣性系，拉氏方程的形式不同（D）拉氏方程的個數(shù)與力學(xué)體系的約束條件無關(guān) （A）35、若選定直角坐標(biāo)后，一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)射出作拋體運(yùn)動，以下說法正確的有：（ ）（A）質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)為（B）哈密頓函數(shù)為（C）循環(huán)坐標(biāo)為z （D）循環(huán)積分為 (D)36、一臥放的圓錐體，限制在一平面上運(yùn)動（接觸處

14、可以滑動），其自由度：（ ）（A）為6 （B）為4 （C）為3 （D）為2 （B） r37、一金屬圈套在圓環(huán)上，圓環(huán)以勻角速繞其對稱軸轉(zhuǎn)動，則金屬圈受到的約束為：（ ）（A）完整、可解、穩(wěn)定約束 （B）不完整、不可解、不穩(wěn)定約束（C）完整、不可解、穩(wěn)定約束 （D）完整、不可解、不穩(wěn)定約束 （D）38、力學(xué)系統(tǒng)受約束如下，試指出非理想約束（A）兩球用剛性桿相連 （B）兩剛體用光滑鉸鏈相連（C）車輪在粗糙軌道上作滑動 （D）車輪在粗糙軌道上作純滾動 （C）39、圓盤以勻角速度繞豎直軸轉(zhuǎn)動，離盤心為r的地方安裝著一根豎直管，管中有一球沿管下落，則此球受到的慣性力有：（ ）（A）三種慣性力 （B）科里

15、奧利力和慣性離心力（C）科里奧利力 （D）慣性離心力 （D）40、有關(guān)慣性力與慣性離心力有如下說明，正確的有：（ ）（A）慣性離心力是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，有反作用力，符合牛頓定律（B）慣性離心力是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，沒有反作用力，不符合牛頓定律（C）離心力是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，有反作用力，符合牛頓定律RC B OA（D）離心力是作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，沒有反作用力，不符合牛頓定律 （B）一、 計算題1、通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動部分以某一初角速度繞其軸轉(zhuǎn)動，空氣阻力矩與角速度成正比，比例常數(shù)為，如轉(zhuǎn)動部分對其軸的轉(zhuǎn)動慣量為I，問經(jīng)過多少時間后其轉(zhuǎn)動的角速度為初角速度的一半。m1m2x1 x2yx2、設(shè)質(zhì)量為m1和m2的

16、兩質(zhì)點(diǎn)相距為，求其中心轉(zhuǎn)動慣量。 3、利用拉格朗日方程推導(dǎo)平面極坐標(biāo)系下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動方程。rmij4、 半徑為a的光滑圓形金屬絲圈，以勻角速繞豎直直線轉(zhuǎn)動，圈上套著質(zhì)量為m的小環(huán)，起始時小環(huán)自圓圈最高點(diǎn)無初速地沿著圓圈滑下當(dāng)環(huán)和圈中心的連線與鉛直直徑成角時，用哈密頓原理求出小環(huán)的運(yùn)動微分方程。 m a 5、試求由質(zhì)點(diǎn)組動量及動量矩的直角坐標(biāo)分量所組成的泊松括號。6、試通過哈密頓原理求復(fù)擺作微振動時的周期。設(shè)復(fù)擺對定點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動慣量為I0，質(zhì)量為m，質(zhì)心到點(diǎn)O的距離為。yxO Cmg代入哈密頓原理：得： 所以有：因為復(fù)擺作微小振動， 令： 7、一端固結(jié)于天花板上的細(xì)繩纏繞在一個半徑為r，重為w的圓盤上

17、。求圓盤中心向下運(yùn)動的加速度a，圓盤的角加速度和繩的張力T。（已知圓盤對過中心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動慣量為）O r A T w8、半徑為R的非均質(zhì)圓球，在距中心r處的密度可以用下式表示,式中 及是常數(shù)。試求圓柱繞直徑轉(zhuǎn)動時的回轉(zhuǎn)半徑。（已知球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量為 ）解答： 9、兩根均質(zhì)棒AB、BC在B處剛性聯(lián)結(jié)在一起，且形成一直角，如圖，棒AB長為a，BC長為b，線密度均為，B點(diǎn)有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)和棒聯(lián)結(jié)，求平衡時的角。解答： ABC 因為： 10、質(zhì)量為m，長為的均質(zhì)棒，A端抵在光滑墻上，而棒身斜靠在與墻相距為 （）的光滑棱角上，棒的B端固定一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，求平衡時棒與水平面 所成的角。A

18、B解答：11、證明：，為正則變換。證明：由題意： 代入正則變換條件： 右方所以得證12、一直線以勻角速度在一固定平面內(nèi)繞其一端轉(zhuǎn)動，當(dāng)其直線位于ox的位置時，有一質(zhì)點(diǎn)P開始從O點(diǎn)沿該直線運(yùn)動，如欲使此點(diǎn)的絕對速度v的量值為常數(shù)，問此點(diǎn)應(yīng)按何種規(guī)律沿此直線運(yùn)動？Ox13、證明：為一正則變換。 所以得證。14、一光滑細(xì)管可在豎直平面內(nèi)繞通過其一端的水平軸以勻角速度轉(zhuǎn)動，管中有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，開始時細(xì)管取水平方向，質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)動軸的距離為a，質(zhì)點(diǎn)相對于管的速度為v0，試由拉格朗日方程求質(zhì)點(diǎn)相對管的運(yùn)動微分方程。OPt myoox15、試用哈密頓正則方程導(dǎo)出單擺作微振動時的運(yùn)動微分方程，設(shè)單擺的擺長為。

19、16、兩根均質(zhì)棒AB、BC在B處剛性聯(lián)結(jié)在一起，且形成一直角，如圖，將棒的A點(diǎn)用繩系于固定點(diǎn)上，棒AB長為a，BC長為b，線密度均為，用虛功原理求平衡時AB和豎直方向所成角。ABC解答：以為廣義坐標(biāo)17、船在水中航行，停機(jī)時的速度為，水的阻力為，問經(jīng)過多少時間后航速減至。解答： 積分并考慮初始條件可得： 18、質(zhì)量為M，半徑為R的圓環(huán)放在光滑水平面上，可以繞過環(huán)邊上一點(diǎn)O的鉛直軸轉(zhuǎn)動，若環(huán)開始時處于靜止?fàn)顟B(tài)，有一質(zhì)量為m的小蟲自O(shè)點(diǎn)出發(fā)，沿圓環(huán)以相對勻速度v0爬行，當(dāng)小蟲爬了半圈時，環(huán)的轉(zhuǎn)動角速度是多少？V0O解答： 對O點(diǎn)角動量守恒19、長為2a的均質(zhì)棒，以鉸鏈懸掛于A點(diǎn)上，在起始時，棒自水

20、平位置無初速地運(yùn)動，并且當(dāng)棒通過豎直位置時，鉸鏈突然松脫，棒成為自由體，試證在以后運(yùn)動中，棒以質(zhì)心軌跡為一拋物線，并求當(dāng)棒的質(zhì)心下降h距離后，棒一共轉(zhuǎn)了幾圈？解答： ， 當(dāng)質(zhì)心下降h時20、質(zhì)量為m的小球，在重力的作用下，在空氣中豎直下落，其運(yùn)動規(guī)律為，求空氣阻力（以v的函數(shù)表示之）21、一質(zhì)點(diǎn)在力場中作圓軌道運(yùn)動，將k突然減為原值一半，證明該質(zhì)點(diǎn)的軌道將變?yōu)閽佄锞€。證明：作圓周運(yùn)動時22、試求質(zhì)點(diǎn)組動量矩的笛卡兒分量與，與所組成的泊松括號。答案：23、一矩形板ABCD在平行于自身的平面內(nèi)運(yùn)動，其角速度為定值，在某一瞬時已知A點(diǎn)的速度為，方向沿對角線AC，試求此瞬時B點(diǎn)的速度量值，其中矩形邊長為已知。解答要點(diǎn)：取A點(diǎn)為基點(diǎn)m1m1ym2hc24、由輕桿連成的剛性等腰三角形，高為h，底邊長為a，在三角形三個頂點(diǎn)上分布有三個質(zhì)點(diǎn)，上頂點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，底邊上兩質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量均為，求系統(tǒng)的中心主轉(zhuǎn)動慣量。解答：，取質(zhì)心為原點(diǎn)，25、考慮水平面上不受外力作用的自由質(zhì)點(diǎn)（取該水平面勢能為零），設(shè)廣義坐標(biāo)取