函數(shù)值域的求法

1、 WORD 函數(shù)值域的求法題型一：二次函數(shù)的值域例1 求的值域解答：配方法： 所以值域為例2 求在上的值域解答：函數(shù)圖像法：畫出函數(shù)的圖像可知，,在時取到最小值，而在時取到最大值8，可得值域為。例3 求在上的值域解答：由函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的最值跟a的取值有關，所以進行分類討論： 當時，對稱軸在的左側，所以根據(jù)圖像可知，所以此時的值域為 當時，對稱軸在與y軸之間，所以根據(jù)圖像可知，所以此時的值域為 當時，對稱軸在y軸與之間，所以根據(jù)圖像可知，所以此時的值域為 當時，對稱軸在的右側，所以根據(jù)圖像可知，所以此時的值域為題型二：指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域例4 求的值域解答：復合形式用換元：令，則由例1可知

2、，根據(jù)單調性，可求出的值域為例5 求的值域解答：因為，所以，采用換元發(fā)，令，則則原函數(shù)變?yōu)?，可以根?jù)二次函數(shù)值域的求法得到值域為題型三：分式函數(shù)的值域例6 求函數(shù)的值域解法一：分離變量法，將分式中分子部分的變量分離出去。則可以換元，令，原函數(shù)變?yōu)?，由反比例函?shù)的性質可知，值域為解法二：反函數(shù)法，利用原函數(shù)的值域就是反函數(shù)的定義域，來求值域。令，則，得到，可知解法三：解析幾何法?？紤]數(shù)形結合，聯(lián)想到分式表示兩點間連線的斜率，則講原函數(shù)寫為，可以看成是兩點連線的斜率，其中是動點，構成直線軌跡，則連線必須與相交，所以連線斜率不能是2，得到值域。例7 求函數(shù)在的值域解法一：分離變量之后采用函數(shù)圖像法，

3、令，原函數(shù)變?yōu)?，可以畫出的圖像，或者根據(jù)單調性直接可以得到值域為解法二：解析幾何法。，可以看成是兩點連線的斜率，其中是動點，不在構成直線，而是構成在區(qū)間的線段，畫出圖像后觀察可得斜率的圍為例8 求函數(shù)的值域解法一：分離變量法，令，原函數(shù)變?yōu)橛删挡坏仁娇芍?，當，可以得到原函?shù)的值域為解法二：判別式法，令，則，整理得關于的一元二次方程，滿足方程有解，該方程的判別式可得,即函數(shù)的值域為解法三：解析幾何法，可以看成是兩點之間連線的斜率，而是動點，恰好構成的軌跡，由圖像可以看出，連線斜率的圍從而得到函數(shù)的值域。例9 求函數(shù)在的值域解答：此題限制了定義域，導致判別式法失效，采用分離變量法，畫出函數(shù)圖像

4、來求函數(shù)的值域。令，原函數(shù)變?yōu)楫嫵鰧春瘮?shù)的圖像，可以得到的值域圍是，則最后函數(shù)的值域為題型四：三角函數(shù)的值域例10 求函數(shù)的值域解答：使用輔助角公式，可知函數(shù)的值域為例11 求函數(shù)的值域解答：先化簡，都轉為一次三角函數(shù)后使用輔助角公式，可知函數(shù)的值域為例12 求函數(shù)的值域解答：先化為同角的三角函數(shù)，再換元為二次函數(shù)求解值域。令，則原函數(shù)化為，則按前面的例題可得函數(shù)的值域為，例13 求函數(shù)的值域解答：利用來換元。令，則原函數(shù)化為，同理，按二次函數(shù)的值域求法，可得結果。例14 求函數(shù)的值域解法一：輔助角公式法。類似于二次分式的判別式法，令，則可得，利用輔助角公式后，則要求，可解出值域圍解法二：解

5、析幾何法。三角分式也可以看為，即兩點連線的斜率，其中是動點，構成的軌跡是圓心在原點，半徑為1的圓，根據(jù)圖像可知，連線與圓相切時分別取到最大值和最小值，可得函數(shù)的值域例15 求函數(shù)在上的值域解答：此時無法使用輔助角公式法，只能用解析幾何法，動點構成的軌跡為右半圓，這樣，可得結果題型五：絕對值函數(shù)的值域例16 求函數(shù)的值域解法一：零點分類討論法。當時，；當時，；當時，。所以函數(shù)的值域為解法二：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，分別表示到-5與1的距離，根據(jù)數(shù)軸圖像，可以直接得到值域為例17 求函數(shù)的值域解答：零點分類法將十分麻煩，利用換元法，令，則原函數(shù)化為，則根據(jù)數(shù)軸法，可以得到函數(shù)的值域為題型六

6、：根式函數(shù)的值域求函數(shù)的值域解法一：換元法，令，則原函數(shù)化為，根據(jù)二次函數(shù)值域的求法，可得原函數(shù)值域為。解法二：解析幾何法，令，可得，即函數(shù)的值可以看成是直線的截距，而直線必須通過上的點，畫出圖像可知相切時截距最小，可得函數(shù)的值域例18 求函數(shù)的值域解法一解法二同上一例題，注意換元時的等價性，結果解法三：單調性法，題目中函數(shù)為單調遞增，根據(jù)函數(shù)的定義域，代入可得函數(shù)的值域。例19 求函數(shù)的值域解法一：三角換元法，令，這樣換元既可以保證換元的等價性，同時可以使得開方后的表達式去掉絕對值符號，注意，畫出三角函數(shù)圖像可得值域為。解法二：解析幾何法，令，可得，即函數(shù)的值可以看成是直線的截距，而直線必須通過，通過作圖可以得到截距的圍，也就是函數(shù)的值域例20 求函數(shù)的值域解法一：三角換元，類似于上一道題，令，這樣可以得到，化為三角分式，在利用解析幾何法將其轉化為兩點的斜率可以做出圖像得到值域為解法二：解析幾何法，類似于上一道題，令，可得，即函數(shù)的值可以看成是直線的截距的2倍，而直線必須通過即雙曲線的上半支，通過作圖可知相切時取得截距的最小值，得到值域。解法三：對勾換元法，利用進行換元，令，則原函數(shù)化為，根據(jù)均值不等式可得值域例21 求函數(shù)的值域解答：先配方，可得