數(shù)學(xué)史部分古希臘數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1數(shù)學(xué)史部分?jǐn)?shù)學(xué)史部分(b fen)古希臘數(shù)學(xué)古希臘數(shù)學(xué)第一頁，共42頁。)()(cpbpappS 希臘最重要的幾何學(xué)著作希臘最重要的幾何學(xué)著作(zhzu)是度量學(xué)是度量學(xué)（Metrica），分三卷，是），分三卷，是R.舍內(nèi)（舍內(nèi)（Schone）于）于1896年才在君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)的年才在君士坦丁堡發(fā)現(xiàn)的. 第一卷：講述各種圖形的面積度量第一卷：講述各種圖形的面積度量. 求非完全平方的整數(shù)平方根近似值的希羅求非完全平方的整數(shù)平方根近似值的希羅方法方法 n=ab，則，則 第一近似值由第一近似值由 給出給出.此方法允許逐步近似此方法允許逐步近似.n2ba 的第一近似值的第一近似值 ，n1a第二

2、近似值第二近似值2112anaa 第三近似值第三近似值2223anaa 第1頁/共42頁第二頁，共42頁。 第二卷：講述各種立體圖形的體積測量，包括：第二卷：講述各種立體圖形的體積測量，包括：錐體，柱體，平行六面體，棱錐，圓錐和棱錐的平錐體，柱體，平行六面體，棱錐，圓錐和棱錐的平截頭體；球體球截形，錨環(huán)，五種正立方體和某些截頭體；球體球截形，錨環(huán)，五種正立方體和某些旁面三角臺旁面三角臺. 第三卷：講述把一定的面積和體積依給定的比例第三卷：講述把一定的面積和體積依給定的比例分成分成(fn chn)兩部分的問題兩部分的問題. 第2頁/共42頁第三頁，共42頁。n（4 4）測量溝渠的深）測量溝渠的深

3、. .n（5 5）兩城市間的距離）兩城市間的距離. .n（6 6）本書最后論述如何運(yùn)用齒）本書最后論述如何運(yùn)用齒輪的結(jié)構(gòu)，用一個給定的力去移輪的結(jié)構(gòu)，用一個給定的力去移動給定的重物動給定的重物. . 第3頁/共42頁第四頁，共42頁。第4頁/共42頁第五頁，共42頁。第5頁/共42頁第六頁，共42頁。第6頁/共42頁第七頁，共42頁。AAAAABABABAAAcossin22sin;2cos12sin;sincoscossin)sin(; 1cossin22 第7頁/共42頁第八頁，共42頁。第8頁/共42頁第九頁，共42頁。（4） Ptolemy 定理：定理：“在圓內(nèi)接四邊形中在圓內(nèi)接四邊形

4、中，兩對角線之積等于兩對邊乘積的和，兩對角線之積等于兩對邊乘積的和.”（5）用直尺）用直尺(zh ch)和圓規(guī)做出圓的內(nèi)接和圓規(guī)做出圓的內(nèi)接正五、十五邊形正五、十五邊形. （6）圓周率的近似值）圓周率的近似值（7）球面三角定理，用以解決特定）球面三角定理，用以解決特定(tdng)的天文學(xué)問題的天文學(xué)問題.6141. 3 第9頁/共42頁第十頁，共42頁。n其余幾篇研究行星其余幾篇研究行星n天文學(xué)大成一書，在哥白尼天文學(xué)大成一書，在哥白尼(N.Copernicus,14731543)(N.Copernicus,14731543)之名之名著關(guān)于天體的運(yùn)轉(zhuǎn)著關(guān)于天體的運(yùn)轉(zhuǎn)(Derevolutioni

5、busorbium (Derevolutionibusorbium Caelestium)Caelestium)成書前，一直是標(biāo)準(zhǔn)成書前，一直是標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)的天文學(xué)著作的天文學(xué)著作第10頁/共42頁第十一頁，共42頁。 Ptolemy曾懷疑曾懷疑(huiy)過歐幾里德平行公設(shè)，試過歐幾里德平行公設(shè)，試圖利用幾何原本中的其它公理和公設(shè)推出第五公圖利用幾何原本中的其它公理和公設(shè)推出第五公設(shè)，使之去掉歐幾里德的一系列原始假定，但未能成設(shè)，使之去掉歐幾里德的一系列原始假定，但未能成功功 幾乎在同一時期，希臘學(xué)者門納勞斯幾乎在同一時期，希臘學(xué)者門納勞斯(Menelaus of A

6、lexandria，進(jìn)一步研究了球面三角，并著球面，進(jìn)一步研究了球面三角，并著球面論論(Sphaerica)，著重討論球面三角形的幾何性質(zhì)，著重討論球面三角形的幾何性質(zhì)第11頁/共42頁第十二頁，共42頁。 在在PtolemyPtolemy逝世之后，希臘的黃金時代已經(jīng)過逝世之后，希臘的黃金時代已經(jīng)過去，希臘數(shù)學(xué)開始去，希臘數(shù)學(xué)開始(kish)(kish)走下坡路正是在此走下坡路正是在此時，有一些才華出眾的學(xué)者，又為希臘數(shù)學(xué)增添時，有一些才華出眾的學(xué)者，又為希臘數(shù)學(xué)增添了新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里了新的光彩，其中最著名的人物乃是亞歷山大里亞的帕普斯亞的帕普斯(Pappus(Papp

7、us， 300 300？-350-350？) )和丟番圖和丟番圖(Diophantus)(Diophantus)，他們的工作推動了希臘后期的數(shù)，他們的工作推動了希臘后期的數(shù)學(xué)學(xué)第12頁/共42頁第十三頁，共42頁。第13頁/共42頁第十四頁，共42頁。郵票郵票(yupio)(yupio)上的托勒密上的托勒密 第14頁/共42頁第十五頁，共42頁。第15頁/共42頁第十六頁，共42頁。第16頁/共42頁第十七頁，共42頁。第17頁/共42頁第十八頁，共42頁。Diophantus第18頁/共42頁第十九頁，共42頁。遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了同時代人的水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了同時代人的水平. .第19頁/共42頁第二十頁

8、，共42頁。算術(shù)的主要內(nèi)容：算術(shù)的主要內(nèi)容： 第一卷講述一元的確定方程第一卷講述一元的確定方程. .DiophantusDiophantus解一次方程的方法與現(xiàn)代基本相同，但解一次方程的方法與現(xiàn)代基本相同，但是沒有概括出一般是沒有概括出一般(ybn)(ybn)的解法和步驟的解法和步驟. . 余下的幾卷講述二元和三元，二次或高次的不定余下的幾卷講述二元和三元，二次或高次的不定方程方程. .cBxAxybyx 22; FExDxzCBxAxy2222第20頁/共42頁第二十一頁，共42頁。值得注意的是：值得注意的是： 書中缺少書中缺少(qusho)一般的方法，主要是依靠一般的方法，主要是依靠其高超

9、的技巧其高超的技巧. Diophantus只承認(rèn)正有理數(shù)；只承認(rèn)正有理數(shù)； 滿足于對一個問題只求出一個解滿足于對一個問題只求出一個解. 深刻的定理：深刻的定理： “兩個有理數(shù)立方的差也是兩個有理數(shù)立方的和兩個有理數(shù)立方的差也是兩個有理數(shù)立方的和” Veita, Fermat 把一個數(shù)表示成兩個，三個或四個數(shù)的平方和把一個數(shù)表示成兩個，三個或四個數(shù)的平方和 Fermat, Euler, Lagrange第21頁/共42頁第二十二頁，共42頁。數(shù)的乘積加上第三個數(shù)為平方數(shù)的乘積加上第三個數(shù)為平方(pngfng)(pngfng)數(shù)數(shù). . 求三個數(shù)，使得其中任何兩個求三個數(shù)，使得其中任何兩個數(shù)的乘積

10、加上這兩個數(shù)的和為數(shù)的乘積加上這兩個數(shù)的和為平方平方(pngfng)(pngfng)數(shù)數(shù). .第22頁/共42頁第二十三頁，共42頁。. .第23頁/共42頁第二十四頁，共42頁。第24頁/共42頁第二十五頁，共42頁。及第一篇與第二篇的一部分內(nèi)容及第一篇與第二篇的一部分內(nèi)容. .這是一部總結(jié)前人成果這是一部總結(jié)前人成果(chnggu)(chnggu)的典型著作，在數(shù)學(xué)史上有特殊的的典型著作，在數(shù)學(xué)史上有特殊的意義意義. . 第25頁/共42頁第二十六頁，共42頁。Pappus, Collection 第26頁/共42頁第二十七頁，共42頁。PAPPUS, of Alexandria. Mat

11、hematicae Collectiones. 第27頁/共42頁第二十八頁，共42頁。 secbar (3) 阿基米德阿基米德(Archimedes)的半正多面體；的半正多面體；(4) 阿波羅尼奧斯阿波羅尼奧斯(Apollonius)圓錐曲線圓錐曲線(Conics)中未提及的圓錐曲線的焦點(diǎn)中未提及的圓錐曲線的焦點(diǎn)(jiodin)、準(zhǔn)、準(zhǔn)線性質(zhì)等等線性質(zhì)等等.第28頁/共42頁第二十九頁，共42頁。. .這個問題到這個問題到1818世紀(jì)又得到進(jìn)一世紀(jì)又得到進(jìn)一步的研究步的研究. .第29頁/共42頁第三十頁，共42頁。6 6、四邊形中一條對角線被另一條、四邊形中一條對角線被另一條對角線以及兩組

12、對邊交點(diǎn)的連線，對角線以及兩組對邊交點(diǎn)的連線，分割成調(diào)和比的線段分割成調(diào)和比的線段(xindun)(xindun)；第30頁/共42頁第三十一頁，共42頁。、Pappus Pappus 定理：若定理：若A,B,CA,B,C與與D,E,FD,E,F分別分別(fnbi)(fnbi)是兩條直線上的三個點(diǎn)，則是兩條直線上的三個點(diǎn)，則AE,BF,CDAE,BF,CD分別分別(fnbi)(fnbi)與與DB,EC,FADB,EC,FA的三個的三個交點(diǎn)共線交點(diǎn)共線. .第31頁/共42頁第三十二頁，共42頁。 badyyV2 第32頁/共42頁第三十三頁，共42頁。 Pappus Pappus 問題：問題：

13、 Apollonius Apollonius曾斷言：曾斷言：“可以求出這樣一個動可以求出這樣一個動點(diǎn)的軌跡點(diǎn)的軌跡, ,它與兩定直線距離的乘積它與另它與兩定直線距離的乘積它與另外兩定直線距離的乘積一個常數(shù)外兩定直線距離的乘積一個常數(shù)”.”. Pappus Pappus指出這個軌跡就是一個圓錐曲線，但指出這個軌跡就是一個圓錐曲線，但他沒有他沒有(mi yu)(mi yu)給出證明給出證明. .他還進(jìn)一步指出，他還進(jìn)一步指出，這一問題可以推廣到包含這一問題可以推廣到包含5 5條、條、6 6條或更多條直條或更多條直線的情形，這成為著名的線的情形，這成為著名的PappusPappus問題問題. .第3

14、3頁/共42頁第三十四頁，共42頁。 17世紀(jì)世紀(jì)(shj)，笛卡爾（，笛卡爾（Descartes）曾試圖）曾試圖用分析方法來解決這個問題，這也是導(dǎo)致笛卡用分析方法來解決這個問題，這也是導(dǎo)致笛卡爾（爾（Descartes）創(chuàng)立解析幾何學(xué)（）創(chuàng)立解析幾何學(xué)（Analytic geometry）的一個重要因素）的一個重要因素. 數(shù)學(xué)匯編（數(shù)學(xué)匯編（Mathematical Collection）被認(rèn)為是古希臘數(shù)學(xué)的安魂曲被認(rèn)為是古希臘數(shù)學(xué)的安魂曲. Pappus 之后，之后，古希臘數(shù)學(xué)開始衰落古希臘數(shù)學(xué)開始衰落. 第34頁/共42頁第三十五頁，共42頁。第35頁/共42頁第三十六頁，共42頁。 倍

15、立方體問題之所以不能解決，是因為作圖倍立方體問題之所以不能解決，是因為作圖時只能使用時只能使用(shyng)(shyng)圓規(guī)和無刻度的直尺。這是圓規(guī)和無刻度的直尺。這是古希臘人對作圖的要求。古希臘人對作圖的要求。 假設(shè)已知立方體的棱長是假設(shè)已知立方體的棱長是1 1個單位，那么這個個單位，那么這個立方體的體積便是立方體的體積便是1 1的的3 3次方等于次方等于1 1。根據(jù)需求，要。根據(jù)需求，要求作的立方體的體積是原立方體的兩倍，即求作的立方體的體積是原立方體的兩倍，即1 12=22=2，所以求作的立方體的棱長為，所以求作的立方體的棱長為2 2的立方根這的立方根這一個無理數(shù)，通過有限次畫線、作圓

16、、求交點(diǎn)是一個無理數(shù)，通過有限次畫線、作圓、求交點(diǎn)是無法作出長為無法作出長為2 2的的3 3次根的線段的，所以倍立方體次根的線段的，所以倍立方體問題是不可能用直尺和圓規(guī)來解決的。問題是不可能用直尺和圓規(guī)來解決的。第36頁/共42頁第三十七頁，共42頁。2 2、三等分角、三等分角 Trisecting an angel Trisecting an angel 1837 1837年凡齊爾（年凡齊爾（1814181418481848）運(yùn)用代數(shù)方法）運(yùn)用代數(shù)方法證明了，這是一個標(biāo)尺作圖的不可能問題。證明了，這是一個標(biāo)尺作圖的不可能問題。 在研究在研究“三等分角三等分角”的過程中發(fā)現(xiàn)了如蚌線的過程中發(fā)現(xiàn)

17、了如蚌線、心臟線、圓錐曲線等特殊曲線。、心臟線、圓錐曲線等特殊曲線。 人們還發(fā)現(xiàn)，只要放棄人們還發(fā)現(xiàn)，只要放棄“尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖”的戒律的戒律，三等分角并不是一個很難的問題。古希臘數(shù)學(xué)，三等分角并不是一個很難的問題。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)只要在直尺家阿基米德發(fā)現(xiàn)只要在直尺(zh ch)(zh ch)上固定一上固定一點(diǎn)，問題就可解決了。點(diǎn)，問題就可解決了。 第37頁/共42頁第三十八頁，共42頁。 現(xiàn)簡介其法如下：在直尺邊緣上添加一點(diǎn)現(xiàn)簡介其法如下：在直尺邊緣上添加一點(diǎn)，命尺端為。設(shè)所要三等分的角是，命尺端為。設(shè)所要三等分的角是，以為圓心，為半徑，以為圓心，為半徑(bnjng)(bnjng)作

18、半圓作半圓交角邊于，；使點(diǎn)在延線上移動，交角邊于，；使點(diǎn)在延線上移動，點(diǎn)在圓周上移動，當(dāng)尺通過時，聯(lián)點(diǎn)在圓周上移動，當(dāng)尺通過時，聯(lián)（見圖）。由于，所以（見圖）。由于，所以。這里使用的工具已不限。這里使用的工具已不限于標(biāo)尺，而且作圖方法也與公設(shè)不合。于標(biāo)尺，而且作圖方法也與公設(shè)不合。 第38頁/共42頁第三十九頁，共42頁。3 3、化圓為方、化圓為方 Squaring the circle Squaring the circle窮竭窮竭(qingji)(qingji)法法求一正方形，其面積求一正方形，其面積(min j)和一已知圓的面積和一已知圓的面積(min j)相同相同第39頁/共42頁第四十頁，共42頁。 在在1882年證明年證明為超越數(shù)，因此也證實(shí)該為超越數(shù)，因此也證實(shí)該問題僅用尺規(guī)是無法完成的。因為可用尺規(guī)作問題僅用尺規(guī)是無法完成的。因為