§7.5 曲線與方程ppt課件

1、 定義定義(教材教材P68)：在直角坐標系中，：在直角坐標系中，如果某曲線如果某曲線C上的點與一個二元方程上的點與一個二元方程f(x，y) = 0的實數(shù)解建立了如下關(guān)系：的實數(shù)解建立了如下關(guān)系： (1) 曲線上的點的坐標都是這個方曲線上的點的坐標都是這個方程的解；程的解；(點不比解多點不比解多) (純粹性純粹性) (2) 以這個方程的解為坐標的點都以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點是曲線上的點 (解不比點多解不比點多) (完備性完備性) 那么，這個方程叫做曲線的方程；那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線這條曲線叫做方程的曲線(圖形圖形) 在笛卡爾以前，人們對代數(shù)方程在笛卡爾

2、以前，人們對代數(shù)方程已經(jīng)有了一定的研究，但是對于二元已經(jīng)有了一定的研究，但是對于二元方程的研究較少，因為大家認識到二方程的研究較少，因為大家認識到二元方程元方程f(x，y) = 0的解都是不確定的解都是不確定的對于這種的對于這種“不定方程不定方程f(x，y) = 0”，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外，大多數(shù)人都認為研究它是沒有意義的，大多數(shù)人都認為研究它是沒有意義的，是不必要的笛卡爾卻對這個是不必要的笛卡爾卻對這個“沒有沒有意義的課題賦予了新的生命，意義的課題賦予了新的生命，1坐標法坐標法 他沒有把他沒有把x，y看成是未知數(shù)，而看成是未知數(shù)，而是創(chuàng)造性地把是創(chuàng)造

3、性地把x看成是變量看成是變量(從此，變從此，變量引入了數(shù)學(xué)量引入了數(shù)學(xué))，讓，讓x連續(xù)地變，則對連續(xù)地變，則對每一個確定的每一個確定的x值，一般來說都可以值，一般來說都可以從方程從方程f(x，y) = 0算出相應(yīng)的算出相應(yīng)的y值值(這這就是函數(shù)思想的萌芽就是函數(shù)思想的萌芽)然后，他把然后，他把這些點的集合構(gòu)成了一條曲線這些點的集合構(gòu)成了一條曲線C由由這樣得出的曲線這樣得出的曲線C和方程和方程f(x，y) = 0有有非常密切的關(guān)系：非常密切的關(guān)系： 1坐標法坐標法 曲線上每一個點的一對坐標都是曲線上每一個點的一對坐標都是方程的一個實數(shù)解；反之，方程的每方程的一個實數(shù)解；反之，方程的每一個實數(shù)解對

4、應(yīng)的點都在曲線上這一個實數(shù)解對應(yīng)的點都在曲線上這就是說，曲線上的點集和方程的實數(shù)就是說，曲線上的點集和方程的實數(shù)解集具有一一對應(yīng)的關(guān)系這個解集具有一一對應(yīng)的關(guān)系這個“一一一對應(yīng)的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也一對應(yīng)的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也可以轉(zhuǎn)化成對曲線方程的研究可以轉(zhuǎn)化成對曲線方程的研究1坐標法坐標法 這種通過研究方程的性質(zhì)，間接這種通過研究方程的性質(zhì)，間接地來研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標法地來研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標法(就是借助于坐標系研究幾何圖形的就是借助于坐標系研究幾何圖形的方法方法) 根據(jù)幾何圖形的特點，可以建立根據(jù)幾何圖形的特點，可以建立不同的坐標系最常用的坐標系是直不同的坐標系最常用的坐

5、標系是直角坐標系和極坐標系在目前的中學(xué)角坐標系和極坐標系在目前的中學(xué)階段只采用了直角坐標系階段只采用了直角坐標系1坐標法坐標法 在數(shù)學(xué)中，用坐標法研究幾何圖在數(shù)學(xué)中，用坐標法研究幾何圖形的知識形成的一門學(xué)科，叫解析幾形的知識形成的一門學(xué)科，叫解析幾何它是一門用代數(shù)方法研究幾何問何它是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)學(xué)科，產(chǎn)生于十七世紀初題的數(shù)學(xué)學(xué)科，產(chǎn)生于十七世紀初期期 法國數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的法國數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的奠基人另一位法國數(shù)學(xué)家費馬也是奠基人另一位法國數(shù)學(xué)家費馬也是解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者2解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題 他們創(chuàng)立解

6、析幾何，在數(shù)學(xué)史上他們創(chuàng)立解析幾何，在數(shù)學(xué)史上具有劃時代的意義：具有劃時代的意義： 一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來概念，二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來了了 解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開端解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開端的標志，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開辟了廣闊的的標志，為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開辟了廣闊的領(lǐng)域領(lǐng)域2解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題 (1) 根據(jù)已知條件求出表示平面根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程；曲線的方程； (2) 通過方程，研究平面曲線的通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)性質(zhì) 本節(jié)主要通過例題的形式學(xué)習(xí)第本節(jié)主要通過例題的形式

7、學(xué)習(xí)第一個問題，即如何求曲線的方程一個問題，即如何求曲線的方程 3平面解析幾何研究的主要問題平面解析幾何研究的主要問題 (1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)嵔⑦m當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點數(shù)對表示曲線上任意一點M的坐標；的坐標； (2)寫出適合條件寫出適合條件P的點的點M的集合；的集合； (3)用坐標表示條件用坐標表示條件P(M)，列出方，列出方程程f(x，y) = 0； (4)化方程化方程f(x，y) = 0為最簡形式；為最簡形式； (5)證明以化簡后的方程的解為坐證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點標的點都是曲線上的點4求簡單曲線方程的一般步驟：求簡單曲線方程的一般步

8、驟： 例例1設(shè)設(shè)A、B兩點的坐標是兩點的坐標是(1，0)、( 1，0)，若，若kMA kMB = 1，求動點求動點M的軌跡方程的軌跡方程x2 + y2 = 1 (x 1) 闡明：所求的方程闡明：所求的方程x2 + y2 = 1后面應(yīng)加上條件后面應(yīng)加上條件x 1 例例2點點M到兩條互相垂直的直線的到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點距離相等，求點M的軌跡方程的軌跡方程 解：取已知兩條解：取已知兩條互相垂直的直線為互相垂直的直線為坐標軸，建立直角坐標軸，建立直角坐標系如圖所示坐標系如圖所示設(shè)點設(shè)點M的坐標為的坐標為(x，y)，點，點M的軌跡的軌跡就是到坐標軸的距離相等的點的集合就是到坐標軸的距離相

9、等的點的集合RMQxOyP = M | |MR| = |MQ|， 例例2點點M到兩條互相垂直的直線的到兩條互相垂直的直線的距離相等，求點距離相等，求點M的軌跡方程的軌跡方程 其中其中Q、R分別是分別是點點M到到x軸、軸、y軸的垂線軸的垂線的垂足的垂足RMQxOyP = M | |MR| = |MQ|， 因為點因為點M到到x軸、軸、y軸的距離分別軸的距離分別是它的縱坐標和橫坐標的絕對值，所是它的縱坐標和橫坐標的絕對值，所以條件以條件|MR| = |MQ|可寫成可寫成| x | = | y |，即即x y = 0 (1) 由求方程的過程可知，曲線上由求方程的過程可知，曲線上的點的坐標都是方程的解；

10、的點的坐標都是方程的解；下面證明是所求軌跡的方程下面證明是所求軌跡的方程 (2) 設(shè)點設(shè)點M1的坐標的坐標(x1，y1)是方程是方程的解，那么的解，那么x1 y1 = 0，即，即即即x y = 0 | x1| = | y1|，而，而| x1|、| y1|正是點正是點M1到縱軸、橫軸的距離，因此點到縱軸、橫軸的距離，因此點M1到這兩條直線的距離相等，點到這兩條直線的距離相等，點M1是是曲線上的點曲線上的點 由由(1)(2)可知，可知，方程是所求軌跡方程是所求軌跡的方程，圖形如圖的方程，圖形如圖所示所示 點評：建立適當?shù)淖鴺讼?，能使點評：建立適當?shù)淖鴺讼担苁骨筌壽E方程的過程較簡單所求方程求軌跡方

11、程的過程較簡單所求方程的形式較的形式較“整齊整齊”x y = 0 RMQxOy練習(xí)練習(xí) 1. 點點P到點到點F(4，0)的距離比它到的距離比它到直線直線x + 5 = 0的距離小的距離小1，求點，求點P的軌的軌跡方程跡方程y2 = 16x 2. 過點過點P(2，4)作互相垂直的直線作互相垂直的直線l1，l2，若，若l1交交x軸于軸于A，l2交交y軸于軸于B，求線段求線段AB中點中點M的軌跡方程的軌跡方程x + 2y 5 = 0PBMA xOy (1)建立適當?shù)淖鴺讼担糜行驅(qū)嵔⑦m當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對表示曲線上任意一點數(shù)對表示曲線上任意一點M的坐標；的坐標； (2)寫出適合條件寫出適合條件P的點的點M的集合；的集合； (3)用坐標表示條件用坐標表示條件P(M)，列出方，列出方程程f(x，y) = 0； (4)化方程化方程f(x，y) = 0為最簡形式；為最簡形式； (