收斂數(shù)列的性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1收斂數(shù)列收斂數(shù)列(shli)的性質(zhì)的性質(zhì)第一頁，共30頁。1.唯一唯一性性 定理定理 每個收斂的數(shù)列只有每個收斂的數(shù)列只有(zhyu)(zhyu)一個極限一個極限. .若數(shù)列(shli) na收斂(shulin)，則它只有一個極限。一、數(shù)列極限的性質(zhì)一、數(shù)列極限的性質(zhì)第1頁/共30頁第二頁，共30頁。證證,lim,limbaaannnn又設(shè)使得對于., 021NN;21aaNnn時恒有當(dāng);22baNnn時恒有當(dāng) ,max21NNN 取取時有時有則當(dāng)則當(dāng)Nn 2axn22baaabann即.:ba 的任意性由故極限故極限(jxin)唯一唯一.2bxn由定義由定義(dngy),第2頁/共3

2、0頁第三頁，共30頁。2.有界性有界性定理定理(dngl)2.3 (dngl)2.3 收斂的數(shù)列必收斂的數(shù)列必定有界定有界. . 第3頁/共30頁第四頁，共30頁。證證,limaann設(shè)由定義由定義(dngy), 1 取取, 1,aaNnNn時恒有使得當(dāng)則. 11aaan即有,1, 1,max1aaaaMN記,Mann皆有則對一切自然數(shù) .有界故na注意：有界性是數(shù)列注意：有界性是數(shù)列收斂收斂(shulin)的必的必要條件要條件.推論推論 無界數(shù)列無界數(shù)列(shli)(shli)必定必定發(fā)散發(fā)散. .第4頁/共30頁第五頁，共30頁。3.保號保號性性 定理定理(dngl)2.4若lim0nna

3、a（或0a ），則對任何(rnh)(0, )aa（或( ,0)aa），存在(cnzi)正數(shù)，使nN時有naa（或naa）。得當(dāng)?shù)?頁/共30頁第六頁，共30頁。aaaaaaNnNaaaaaannnn情形類似可證即有時使得當(dāng)存在則對設(shè)證明00,)0 ,(, 0, 0lim第6頁/共30頁第七頁，共30頁。4.保不等性保不等性定理定理(dngl)2.5設(shè)數(shù)列(shli) na與 nb均收斂，若存在(cnzi)正數(shù)0N使得當(dāng)0nN時有nnab，則limlimnnnnab。，第7頁/共30頁第八頁，共30頁。，bbaaNnNNNNbabbbbNnbaaaaaNn，NNbababbaannnnnnnnn

4、n與條件相矛盾時當(dāng)取即時即時使當(dāng)正整數(shù)則對若設(shè)證明)(21,max);(21;,);(21;,;, 0)(21,;lim,lim:2102121第8頁/共30頁第九頁，共30頁。.lim,lim:),2,1(01aaaanannnnn則若證明設(shè)例思考思考(sko)：如果把條件：如果把條件“nnab”換成“nnab把結(jié)論(jiln)換成”，那么(n me)能否limlimnnnnab？21,1nn例考慮數(shù)列第9頁/共30頁第十頁，共30頁。.limaann故,limaann, 0aaNnNNn恒有時使得當(dāng)aaaaaannn從而有aaana 證證第10頁/共30頁第十一頁，共30頁。5.夾逼準(zhǔn)則夾

5、逼準(zhǔn)則(zhnz)本定理既給出了判別數(shù)列(shli)收斂的方法；又提供了一個計算數(shù)列(shli)極限的方法。設(shè)收斂(shulin)數(shù)列 na、 nb都以a為極限，數(shù)列 nc滿足：存在正數(shù)0N，當(dāng)0nN時有nnnacb則數(shù)列 nc收斂，且limnnca .定理定理2.6第11頁/共30頁第十二頁，共30頁。,1aaNnn時恒有當(dāng),max21NNN 取取恒有恒有時時當(dāng)當(dāng),Nn ,aaan即,2abNnn時恒有當(dāng),aban上兩式同時上兩式同時(tngsh)成立成立,abcaannn,成立即acn.limacnn證證,lim,limabaannnn使得使得, 0, 0, 021 NN 時當(dāng)Nn 第12

6、頁/共30頁第十三頁，共30頁。注意注意(zh y):(zh y):.,的極限是容易求的與并且與鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnbaba例例2 求數(shù)列求數(shù)列(shli) 的極限。的極限。nn上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以(ky)推廣到函數(shù)的極限推廣到函數(shù)的極限第13頁/共30頁第十四頁，共30頁。例例3 3 ).12111(lim222nnnnn 求求解：解： 記記 ， 這里這里 ，則有：，則有：左右兩邊左右兩邊(lingbin)的極限均為的極限均為1， 故由夾逼準(zhǔn)則本例得證故由夾逼準(zhǔn)則本例得證。nnnhna 1)1(0 nhn12111 nhann第14頁/共30

7、頁第十五頁，共30頁。解解,11112222 nnnnnnnn1111limlim2nnnnnn又1111lim1lim22nnnnn. 1)12111(lim222 nnnnn由夾逼定理由夾逼定理(dngl)得得第15頁/共30頁第十六頁，共30頁。. 0,lim) 3(;lim)2(;)(lim) 1 (,lim,lim7 . 2BBAbaBAbaBAbaBbAannnnnnnnnnnnn其中則設(shè)定理cAcacAcacbnnnnn)(lim)(lim:時有為常數(shù)注第16頁/共30頁第十七頁，共30頁。nnnnn113lim例：求BbBBbBbAbBbabAaABbaBbAaBAbababa

8、babannnnnnnnnnnnnnnnnnnnn2211)()(1),(:分析第17頁/共30頁第十八頁，共30頁。解：由于(yuy), 3)13(lim13limnnnnn1)11 (lim1limnnnnn 所以(suy)313113limnnnnn例：求65214lim22nnnn第18頁/共30頁第十九頁，共30頁。200204)652(lim)14(lim65214lim65214lim222222nnnnnnnnnnnnn解：0,lim00110110babnbnbananakkkmmmn例例4 求求第19頁/共30頁第二十頁，共30頁。解解: : 為非負(fù)整數(shù)時有和當(dāng)kmba,

9、0, 000, 0,11111limlim001010110110mkmkmkbanbnbbnanaanbnbnbananakkmmmknkkkmmmn當(dāng)當(dāng)當(dāng), 1,1lim4aaannnn其中求例第20頁/共30頁第二十一頁，共30頁。解：若1a 則 211limnnnaa 若1a，則由 0limnna有 01001limlim1limnnnnnnnaaaa 若1a1011)1(11lim1limnnnnnaaa，則lim(1)nnnn 例例5求第21頁/共30頁第二十二頁，共30頁。 解：由于(yuy) 11111)1(nnnnnnn1)11 (limnn故 111limnn從而(cng

10、r)211111111lim)1(limnnnnnn第22頁/共30頁第二十三頁，共30頁。二二 數(shù)列數(shù)列(shli)的子列的子列子列的定義(dngy)定義定義(dngy) 設(shè)設(shè) na kn為正整數(shù)集N的無限123knnnn12,knnnaaa稱為數(shù)列 na的一個子列，簡記為kna.子集，且注注1 na的子列kna的各項都來自 na且保持這些項在 na中的的先后次序, 為數(shù)列，則數(shù)列knk故總有第23頁/共30頁第二十四頁，共30頁。注注2 子列kna中的kn表示(biosh)kna是 na中的第kn項，k表示(biosh) kna是kna中的第k項 注注3 數(shù)列數(shù)列(shli) na本身以及

11、 na去掉有限項以后得到的子列，稱為 na的平凡子列；不是平凡子列的子列，稱為 na平凡子列。的非數(shù)列數(shù)列 na 與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散，與它的任一平凡子列同為收斂或發(fā)散， 時有相同的極限時有相同的極限。 且在收斂且在收斂第24頁/共30頁第二十五頁，共30頁。定理定理(dngl)2.8 數(shù)列數(shù)列 na收斂(shulin) na 的任何(rnh)非平凡子列都收斂。 第25頁/共30頁第二十六頁，共30頁。aaaaNnNkknaaNnN，aaaakkknknkknnnnnlim, 0 ,lim即從而也有時更有故當(dāng)由于有時當(dāng)正數(shù)則的任一子列是設(shè)必要性證明第26頁/共30頁第二十七頁，共30頁。. , 7limlimlimlimlim,limlimlim,;,12233612312363623263122收斂從而由上節(jié)例故同樣可得的子列又是既是由于故由必要性的子列又是既是由于則由假設(shè)它們都收斂的非平凡子列考慮充分性證明nkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkknaaaaaaaaaaaaaaaaaaa第27頁/共30頁第二十八頁，共30頁。若數(shù)列(shli) 有一個(y )子列發(fā)散，或有兩個子列收斂而 na注注 極限不相等(xingdng)，則數(shù)列 一定發(fā)散。 na如 收斂于是1, ) 1