空間直線平面位置關(guān)系

1、第7模塊 第3節(jié)知能演練一、選擇題1已知a，b是異面直線，直線c直線a，則c與b()A一定是異面直線 B一定是相交直線C不可能是平行直線 D不可能是相交直線解析：a，b是異面直線，直線c直線a.因而cb，否則，若cb，則ab與已知矛盾，因而cb.答案：C2四面體每相對(duì)兩棱中點(diǎn)連一直線，則此三條直線()A互不相交 B至多有兩條直線相交C三線相交于一點(diǎn) D兩兩相交有三個(gè)交點(diǎn)解析：利用三角形的中位線定理可知三線交于一點(diǎn)答案：C3若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C過點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D過點(diǎn)P有且僅有

2、一條直線與l、m都異面解析：對(duì)于選項(xiàng)A，若過點(diǎn)P有直線n與l，m都平行，則lm，這與l，m異面矛盾；對(duì)于選項(xiàng)B，過點(diǎn)P與l、m都垂直的直線，即過P且與l、m的公垂線段平行的那一條直線；對(duì)于選項(xiàng)C，過點(diǎn)P與l、m都相交的直線有一條或零條；對(duì)于選項(xiàng)D，過點(diǎn)P與l、m都異面的直線可能有無數(shù)條答案：B4正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.B.C.D.解析：連接D1C，AC，易證A1BD1C，AD1C即為異面直線A1B與AD1所成的角設(shè)AB1，則AA12，AD1D1C，AC，cosAD1C.異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.答案：D二、

3、填空題5如圖所示，在三棱錐CABD中，E、F分別是AC和BD的中點(diǎn)，若CD2AB4，EFAB，則EF與CD所成的角是_解析：取CB中點(diǎn)G，連接EG、FG，EGAB，F(xiàn)GCD.EF與CD所成的角為EFG.又EFAB，EFEG.在RtEFG中，EGAB1，F(xiàn)GCD2，sinEFG，EFG30.EF與CD所成的角為30.答案：306在正方體上任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下各種幾何體的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何體是_(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))矩形不是矩形的平行四邊形有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體每個(gè)面都是等邊三角形的四面體每個(gè)面都是直角三角形的四面體解析：分兩種情況：4個(gè)頂點(diǎn)共面時(shí)，

4、幾何體一定是矩形；4個(gè)頂點(diǎn)不共面時(shí)，都有可能答案：三、解答題7有一矩形紙片ABCD，AB5，BC2，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，且BECF1，如下圖(1)現(xiàn)在把紙片沿EF折成圖(2)形狀，且CFD90.(1)求BD的距離；(2)求證：AC，BD交于一點(diǎn)且被該點(diǎn)平分(1)解：將平面BF折起后，補(bǔ)成長(zhǎng)方體AEFDA1BCD1，則BD恰好是長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線因?yàn)锳E，EF，EB兩兩垂直，所以BD恰好是以AE、EF、EB為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體的對(duì)角線所以BD.(2)證明：因?yàn)锳D綊EF，EF綊BC，所以AD綊BC.所以點(diǎn)A、C、B、D在同一平面內(nèi)，且四邊形ABCD為平行四邊形所以AC、BD交于一點(diǎn)且被

5、該點(diǎn)平分8如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60，并加以證明解：設(shè)APx(0x2)，利用PF與BC所成的角是60來構(gòu)建以x為元的方程，再解x就確定了點(diǎn)P的位置如下圖，ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形，AC2.設(shè)APx(0x2)，作PQAB交AB于Q，則PQBC，相交直線PF與PQ所成的角是異面直線PF與BC所成的角平面ABCD平面ACEF，AFAC，AF平面ABCD，AFPQ.ABAFA，PQ平面ABF，PQFQ.要使PF與BC所成角是60，只需使FPQ60，即只需使PF2PQ，PQAPx，只需使PFx.又在RtAP

6、F中，PF，x.x1.當(dāng)P點(diǎn)是線段AC的中點(diǎn)時(shí)PF與BC所成的角為60.高考模擬預(yù)測(cè)1(2009湖南高考)正方體ABCDA1B1C1D1的棱上到異面直線AB，CC1的距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A2 B3C4 D5解析：由下圖觀察可知，正方體棱上到異面直線AB、CC1的距離相等的點(diǎn)為點(diǎn)D，B1，線段BC的中點(diǎn)E，線段A1D1中點(diǎn)F，總共4個(gè)，故選C.答案：C2(2009全國)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A.B.C.D.解析：設(shè)棱長(zhǎng)為2，BC的中點(diǎn)為D，由題意，得AD.在RtA1AD中，A1D1

7、.在RtA1BD中，A1B.AA1CC1，AB與AA1所成的角A1AB即為AB與CC1所成的角在A1AB中，由余弦定理，得cosA1AB.答案：D3(2009全國)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A.B.C.D.解析：如下圖所示，連接A1B，因A1D1綊BC，所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以A1BD1C，則異面直線BE與CD1所成的角即為BE與BA1所成的角不妨設(shè)AB1，則AA12，設(shè)ABE，ABA1，則sin，cos，sin，cos.cos()coscossinsin.故選C.答案：C4(2007上海高考

8、)在平面上，兩條直線的位置關(guān)系有相交，平行，重合三種，已知，是兩個(gè)相交平面，空間兩條直線l1，l2在上的射影是直線s1，s2；l1，l2在上的射影是直線t1，t2，利用s1與s2，t1與t2的位置關(guān)系寫出一個(gè)總能確定l1，l2是異面直線的充分條件_解析：當(dāng)s1s2且t1與t2相交時(shí)，可推得l1與l2總是異面直線，當(dāng)l1，l2在內(nèi)的射影s1，s2平行時(shí)，我們可斷定l1與l2一定不相交，同理當(dāng)l1，l2在內(nèi)的射影t1，t2相交時(shí)，也可推得l1，l2一定不平行，故l1與l2一定是異面直線同理當(dāng)t1t2且s1與s2相交時(shí)，也符合題意答案：s1s2，且t1與t2相交；(t1t2，且s1與s2相交)5空間四邊形ABCD中，各邊長(zhǎng)均為1，若BD1，則AC的取值范圍是_解析：如下圖所示，ABD與BCD均為邊長(zhǎng)為1的正三角形，當(dāng)ABD與CBD重合時(shí)，AC0，將ABD以BD為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，到A，B，C，D四點(diǎn)再共面時(shí)，AC，如下圖，故AC的取值范圍是0AC.答案：(0，)6在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的面A1C1上有一點(diǎn)P(如圖所示，其中P點(diǎn)不在對(duì)角線B1D1上)(1)過P點(diǎn)在空間中作一直線l，使l直線BD，應(yīng)該如何作圖？并說明理由；(2)過P點(diǎn)在平面A1C1內(nèi)作一直線m，使m與直線BD成角，其中(0，這樣的直線有幾條，應(yīng)該如何作圖？解：(1)連接B1D1，在平面A1C1內(nèi)過P作直線l，使lB1D1，