數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)：第一章 一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)3

1、內(nèi)容回顧數(shù)學(xué)物理方程的建立過程n確定所研究的物理量n用數(shù)學(xué)中的“微元法”從所研究的系統(tǒng)中分割出一小部分，再根據(jù)相應(yīng)的物理規(guī)律分析鄰近部分與該部分的作用（抓主要作用），這種相互作用在一個短的時間間隔內(nèi)如何影響物理量。n把這種關(guān)系用微分方程表達出來，經(jīng)過化簡整理，得到數(shù)學(xué)物理方程。桿的縱振動方程n研究對象：桿上各點的縱向位移n以桿上一小段（x，xx）為研究對象n應(yīng)用胡克定律，x點在t時刻的應(yīng)力與x點處的應(yīng)變成正比，比值為楊氏模量En小段的相對伸長為 ，在x點處為 在（x x）處為l小段所受的力為：ux( , )u x tx(, )u xx tx22(, )( , )(, )( , )()FF xx

2、 tF x tu xx tu x tuESESdxxxx( , )u x txxx (, )F xx t( , )F x tn根據(jù)牛頓第二定律：22222222AFmuuESdxSdxxtuEutx2a三類典型的數(shù)學(xué)物理方程n波動方程（雙曲型方程）物理現(xiàn)象：振動過程，關(guān)于連續(xù)介質(zhì)(弦、桿、膜、氣體等），以及關(guān)于電流傳輸、電磁振蕩等。方程：內(nèi)容回顧三類典型的數(shù)學(xué)物理方程n輸運方程（拋物型方程）物理現(xiàn)象：描述輸運過程，如熱傳導(dǎo)、擴散、粘性液體流動等， 長海峽中潮汐波的運動，土壤力學(xué)中的滲透方程。方程：內(nèi)容回顧三類典型的數(shù)學(xué)物理方程n穩(wěn)定場方程（橢圓型方程）物理現(xiàn)象：描述穩(wěn)恒（不隨時間改變）過程，如

3、固定電場和磁場（靜電學(xué)、靜磁學(xué)、直流電場），不可壓縮液體的位流、穩(wěn)定熱場等等。方程：222222uuufxyz內(nèi)容回顧1.2 初始條件與邊界條件n初始條件：用以說明物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。n邊界條件：用以說明邊界上的約束情況的條件。（1 1）初始條件波動問題第一章第一章 一些典型方程和定解問題的推導(dǎo)一些典型方程和定解問題的推導(dǎo)舉例n例1：長為l的兩端固定的弦，中間處撥開距離h，然后放手任其振動，如下圖所示。寫出初始條件。hut 0hulx 2/( )( )xu02llh lxxllhlx xlhut2l ),(220 ,20正確寫法正確寫法初始條件輸運問題舉例例2 長為l的細桿導(dǎo)熱問題，設(shè)其初

4、始溫度均勻，為u0，寫出初始條件n穩(wěn)定場問題無初始條件初始條件 不同類型的方程，相應(yīng)初值條件的個數(shù)不同。 初始條件給出的應(yīng)是整個系統(tǒng)的初始狀態(tài)，而非 系統(tǒng)中個別點的初始狀態(tài)。注意注意注意注意波動問題的邊界條件：n第一類邊界條件：給出所研究的物理量在邊界上滿足的條件 如一根長為a的弦，兩個端點的位移已知，分別為 則其邊界條件為固定端點的情形固定端點的情形：1.2 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件（2）邊界條件12( ),( )tt12(0, )( ),( , )( )uttu a tt第二類邊界條件給出所研究的物理量沿外界外法向?qū)?shù)在邊界上應(yīng)滿足的條件。n自由端點的情形：自由端點的情形：弦的

5、端點沿垂直于x軸的方向自由滑動，并受到一個沿位移方向作用的已知外力，則邊界條件形式為12(0, )( ),( , )( )xxuttu a tt弦振動問題弦振動問題：弦的一端（如：弦的一端（如 x = a）可以在垂直）可以在垂直 x 軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的軸的直線上自由的上下滑動，且不受垂直方向的外力，我們稱這種端點為外力，我們稱這種端點為“自由端自由端”。sintanx auTTTxux0l在這一端點，邊界上的張力沿垂直于在這一端點，邊界上的張力沿垂直于x軸的方向的軸的方向的分量為分量為0 0，因此在方程的推導(dǎo)中知，因此在方程的推導(dǎo)中知 0 xauTx n端點處為彈性支撐

6、端的情形根據(jù)Hooke 定律邊界條件這里=k/T，k為彈性系數(shù)。1.2 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件胡克的彈性定律指出：在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力T和彈簧的長度u成正比，即T= -ku。k是物質(zhì)的彈性系數(shù)，它由材料的性質(zhì)所決定，負號表示彈簧所產(chǎn)生的彈力與其伸長（或壓縮）的方向相反。第三類邊界條件給出所研究的物理量及其沿外界外法向?qū)?shù)在邊界上應(yīng)滿足線性組合值。輸運問題的邊界條件物體邊界S的溫度為已知函數(shù)f(x,y,z,t) ：1.2 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件例：長為l 的均質(zhì)細桿，側(cè)面絕熱，一端放在0的水中，另一端按已知規(guī)律 變化。寫出邊界條件( )f t物體邊界面各點在時刻t

7、所流過的熱量已知：sun絕熱時p包圍物體的介質(zhì)溫度已知，物體內(nèi)部通過其邊界S與周圍介質(zhì)進行熱量交換：在S上任取一小塊dS,用u1表示與物體接觸處的介質(zhì)溫度，dQ表示dt時間內(nèi)流過dS的熱量，根據(jù)牛頓冷卻定律，我們有 k1為兩個介質(zhì)之間的熱交換系數(shù)。在物體內(nèi)部任取一個無限貼近邊界S的封閉曲面，由于在S內(nèi)側(cè)熱量不能積累，所以在上的熱量流速應(yīng)該等于邊界S上的熱量流速。而在上的熱量流速為1.2 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件=k1/k為常數(shù)1.2 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件穩(wěn)定場問題的邊界條件n直接給出所研究的物理量在邊界面上的變化規(guī)律000( , , )(,)u x y zxyz狄氏

8、條件n給出所研究的物理量沿邊界面外法向的變化率000( , , )(,)u x y zxyzn牛曼條件n給出所研究的物理量及其沿邊界面外法向的變化率洛平條件000( , , )( , , )(,)u x y zhu x y zxyzn邊界條件的分類以S 表示物體的邊界，則有：n第一類邊界條件n第二類邊界條件n第三類邊界條件 如果邊界條件中的f=0，則稱其為齊次邊界條件，否則稱為非齊次邊界條件。1.2 初始條件與邊界條件初始條件與邊界條件Suufn1.3 定解問題的提法二階線性偏微分方程方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階是二階的、對于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)來說都是線性的。線性方程示例：n一維波

9、動方程：n二維熱傳導(dǎo)方程：第一章第一章 一些典型方程和定解問題的推導(dǎo)一些典型方程和定解問題的推導(dǎo)n解（古典解）n定解條件：邊界條件與初始條件的總稱n定解問題：將某個偏微分方程和相應(yīng)的定解條件合在一起，就構(gòu)成了一個定解問題。始值問題（Cauchy問題）邊值問題混合問題解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性(定解問題是否符合實際）1.3 定解問題的提法定解問題的提法 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 弦振動的Cauchy問題 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 只包含初值條件的定解問題稱為初邊值問題初邊值問題（Cauchy Cauchy 問題）問題） )

10、, ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 包含初值條件和邊界條件的定解問題稱為混合問題混合問題 (初邊值問題初邊值問題) )熱傳導(dǎo)方程的混合問題熱傳導(dǎo)方程的混合問題波動方程的混合問題波動方程的混合問題 0, 0)0( )(),()0,0( 0002lxxxtttxxttuulxxuxutlxuau 只附加邊界條件的定解問題稱為邊值問題邊值問題. 初值條件、邊界條件統(tǒng)稱為定解條件定解條件初值問題、邊值問題、混合問題統(tǒng)稱為定解問題定解問題. .n微分方程的適定性定解問題的存在性、唯一性和穩(wěn)定性統(tǒng)稱為定解問題的適定性。如果定解問

11、題的解是存在的、唯一的、并且是穩(wěn)定的，我們就稱這個問題是適定的。注：本課程所討論的定解問題都是古典的（定解問題的解是古典解），并且假定其適定性都是經(jīng)過數(shù)學(xué)證明了的。1.3 定解問題的提法定解問題的提法nN個自變量的二階線性偏微分方程的一般形式 其中Aik，Bi，C，f 都是x1,x2,xn的已知函數(shù)。 舉例：2個自變量的二階線性偏微分方程的一般形式1.3 定解問題的提法定解問題的提法二階線性偏微分方程的性質(zhì)n設(shè)u1和u2都是齊次方程L(u)=0的解，則c1u1+c2u2也是齊次方程的解n若ui（i=1,2,3,)是方程L(u)=0的解，而且級數(shù) 收斂，并且對自變量能夠逐項微分兩次，其中Ci(i

12、 =1,2,)為任意常數(shù)，則u一定是方程L(u)=0的解。n設(shè)u1是齊次方程L(u)=0的解， u2是非齊次方程L(u)=f的解,則u1+u2也是非齊次方程的L(u)=f解例 非齊次波動方程的Cauchy問題 )(),()0,( ),(002xuxutxtxfuautttxxtt 的解等于問題(I)和問題(II)的解之和 )(),()0,( 0) I (002xuxutxuautttxxtt 0, 0)0,( ),()II(002tttxxttuutxtxfuau疊加原理疊加原理 2 2 若iu滿足線性方程 iifuL ，, 2 , 1 i （或定解條件iiguB , 若函數(shù)級數(shù) 1iiiuc在 內(nèi)收斂，并且L,B 可逐項作用, 則和函數(shù) 滿足方程 1iiifcuL （或定解條件 1iiigcuB）。 1iiiuc u 第一章內(nèi)容小結(jié)：n1.1.偏微分方程建立偏微分方程建立n2.2.初始條件初始條件 邊界條件（三類邊界條件）邊界條件（三類邊界條件）n3.3.定解問題及相關(guān)概