離散數(shù)學(xué)242442

1、 第二章 謂詞邏輯問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出：(即命題邏輯的局限性) 在第一章, 一個(gè)原子命題只用一個(gè)字母表示，而不再對(duì)命題中的句子成分細(xì)分。這樣有一些邏輯問(wèn)題無(wú)法解決。請(qǐng)看下面的例子。例1.令：小張是大學(xué)生。 ：小李是大學(xué)生。從符號(hào)、中不能歸納出他們都是大學(xué)生的共性。我們希望從所使用的符號(hào)那里帶給我們更多的信息，比如可以看出他們的共性。這種想法在第一章是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。例2.令 ：所有自然數(shù)都是整數(shù)。 ：是自然數(shù)。 ：是整數(shù)。這是著名的三段論推理，A是大前提，B是小前提，C是結(jié)論。顯然，由和可以推出結(jié)論。這個(gè)推理是有效的，但是這個(gè)推理在第一章也是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。分析：命題與中的謂語(yǔ)是相同的(是大學(xué)生),只

2、是主語(yǔ)不同。命題、之間在主語(yǔ)謂語(yǔ)方面也是有聯(lián)系的，靠這種聯(lián)系才能由、推出。而從這三個(gè)符號(hào)上看不出此種聯(lián)系。 所以就要另外考慮表示命題的方法另外考慮表示命題的方法。解決這個(gè)問(wèn)題的方法：在表示命題時(shí)，既表示出主語(yǔ)，也表示出謂語(yǔ)，在表示命題時(shí)，既表示出主語(yǔ)，也表示出謂語(yǔ)，就可以解決上述問(wèn)題。這就提出了就可以解決上述問(wèn)題。這就提出了謂詞謂詞的概念。的概念。令令S(x)S(x)表示表示x x是大學(xué)生，是大學(xué)生，a:a:小張，小張，b:b:小李小李 命題命題P P表示成表示成S(a):S(a):小張是大學(xué)生。小張是大學(xué)生。 命題命題Q Q表示成表示成S(b):S(b):小李是大學(xué)生。小李是大學(xué)生。從符號(hào)從

3、符號(hào)S(a)S(a)、S(b)S(b)可看出小張和小李都是大學(xué)生的共性可看出小張和小李都是大學(xué)生的共性. .令令N(x):xN(x):x是自然數(shù)。是自然數(shù)。I(x):xI(x):x是整數(shù)。是整數(shù)。 表示所有的。表示所有的。 A: x(N(x)I(x)(N(x)I(x) B :N(8) :N(8) C :I(8):I(8)N(8)I(8)N(8)I(8)N(8)N(8) I(8) I(8)符號(hào)符號(hào) S(x)S(x)、N(x)N(x)、I(x)I(x)就是所謂的謂詞就是所謂的謂詞。推理如此實(shí)現(xiàn)：推理如此實(shí)現(xiàn)：2-1 2-1 基本概念基本概念2-1.1 2-1.1 客體與客體變?cè)腕w與客體變?cè)?定義

4、定義：能夠獨(dú)立存在的事物，稱之為客體，也稱之為個(gè)體。它可以是具體的，也可以是抽象的事物。通常用小寫英文字母a、b、c、.表示。例如，小張、小李、8、a、沈陽(yáng)、社會(huì)主義等等都是客體。 定義定義：用小寫英文字母x、y、z.表示任何客體，則稱這些字母為客體變?cè)?注意：客體變?cè)旧聿皇强腕w。2-1.2 2-1.2 謂詞謂詞 定義定義：一個(gè)大寫英文字母后邊有括號(hào)，括號(hào)內(nèi)是若干個(gè)客體變?cè)?，用以表示客體的屬性或者客體之間的關(guān)系，稱之為謂詞。如果括號(hào)內(nèi)有n個(gè)客體變?cè)?，稱該謂詞為n元謂詞。 例如 S(x):表示x是大學(xué)生。 一元謂詞 G(x,y)：表示 xy。 二元謂詞 B(x,y,z)：表示x在y與z之間。

5、三元謂詞一般地 P(x1,x2,xn) 是n元謂詞。2-1.3 2-1.3 命題函數(shù)命題函數(shù) 謂詞本身并不是命題，只有謂詞的括號(hào)內(nèi)填入足夠的客體，才變成命題。 例如， a表示小張，b表示小李，則 S(a):小張是大學(xué)生。 S(b):小李是大學(xué)生。 (7,3)表示:。 如果c表示錦州，d表示沈陽(yáng)，e表示山海關(guān)，則B(c,d,e)表示：錦州在沈陽(yáng)與山海關(guān)之間。這時(shí)S(a)、S(b)、G(7,3)、B(c,d,e)才是命題。令謂詞S(x):x是大學(xué)生，括號(hào)內(nèi)填入不同的人名，就得到不同的命題，故謂詞S(x)相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)，稱之為命題函數(shù)。定義定義：n元謂詞P(x1,x2,xn)稱之為簡(jiǎn)單命題函數(shù)。規(guī)定

6、：當(dāng)命題函數(shù)P(x1,x2,xn)中 n=0 時(shí)，即0元謂詞，表示不含有客體變?cè)闹^詞，它本身就是一個(gè)命題變?cè)}變?cè)?。定義定義：將若干個(gè)簡(jiǎn)單命題函數(shù)用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)起來(lái)，構(gòu)成的表達(dá)式，稱之為復(fù)合命題函數(shù)。簡(jiǎn)單命題函數(shù)與復(fù)合命題函數(shù)統(tǒng)稱為命題函數(shù)。 例如 給定簡(jiǎn)單命題函數(shù)： A(x)：x身體好， B(x)：x學(xué)習(xí)好， C(x)：x工作好， 復(fù)合命題函數(shù) A(x)(B(x)C(x) 表示如果x身體不好，則x的學(xué)習(xí)與工作都不會(huì)好。2-1.4 2-1.4 論域論域( (個(gè)體域個(gè)體域) ) 定義定義：在命題函數(shù)中客體變?cè)娜≈捣秶?，稱之為論域，也稱之為個(gè)體域。 例如 S(x):x是大學(xué)生，論域是:人類

7、。 G(x,y)：xy， 論域是:實(shí)數(shù)。 論域是一個(gè)集合。 定義定義：由所有客體構(gòu)成的論域，稱之為全總個(gè)體域。它是個(gè)“最大”的論域。 約定:對(duì)于一個(gè)命題函數(shù)，如果沒(méi)有給定論域，則假定該論域是全總個(gè)體域。2-1.5 2-1.5 量詞量詞 例如：有些人是大學(xué)生。 所有事物都是發(fā)展變化的。“有些”,“所有的”,就是對(duì)客體量化的詞。 定義定義：在命題中表示對(duì)客體數(shù)量化的詞，稱之為量詞。 定義了兩種量詞： (1).存在量詞：記作 ，表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一個(gè)”等。 (2).全稱量詞：記作 ，表示“每個(gè)”、“任何一個(gè)”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等。 定義定義：量詞后邊要

8、有一個(gè)客體變?cè)?，指明?duì)哪個(gè)客體變?cè)炕Q此客體變?cè)橇吭~后的指導(dǎo)變?cè)?。例?x(讀作“任意x”)， x(讀作“存在x”)，其中的x就是量詞后的指導(dǎo)變?cè)?。例題.所有的自然數(shù)都是整數(shù)。 設(shè) N(x)：x是自然數(shù)。I(x)：x是整數(shù)。此命題可以寫成 x(N(x)I(x)例題.有些自然數(shù)是偶數(shù)。 設(shè) E(x)：x是偶數(shù)。 此命題可以寫成 x(N(x)E(x) 例題3. 每個(gè)人都有一個(gè)生母。 設(shè) P(x):x是個(gè)人。M(x,y):y是x的生母。此命題可以寫成 x(P(x)y(P(y)M(x,y)2-2 2-2 謂詞公式及命題符號(hào)化謂詞公式及命題符號(hào)化 命題邏輯中有命題公式，類似地，在謂詞邏輯中，要研究

9、謂詞公式。2-2.1 2-2.1 客體函數(shù)客體函數(shù) 有些命題中，可能有若干個(gè)客體，其中有些客體之間有函數(shù)關(guān)系，例如例題1. 如果x是奇數(shù)，則2x是偶數(shù)。其中客體x與客體2x之間就有函數(shù)關(guān)系，可以設(shè)客體函數(shù) g(x)=2x，謂詞 O(x)：x是奇數(shù)， E(x)：x是偶數(shù)，則此命題可以表示為： x(O(x)E(g(x) 例題2 小王的父親是個(gè)醫(yī)生。 設(shè)函數(shù)f(x)=x的父親，謂詞D(x):x是個(gè)醫(yī)生，a:小王，此命題可以表示為D(f(a). 例題3 如果x和y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)。 設(shè) h(x,y)=x+y ，此命題可以表示為: xy(O(x)O(y)E(h(x,y) 像上述的g(x)、f(x

10、)、h(x,y)就是客體函數(shù)，一般地用小寫的英文字母f,g,h.表示客體函數(shù)。 注意:客體函數(shù)與謂詞是不同的，不可混淆.要注意區(qū)分客體函數(shù)與謂詞間的區(qū)別： 設(shè)例題1的論域是自然數(shù)集合N。 客體函數(shù)中的客體變?cè)每腕w帶入后的結(jié)果依然是個(gè)客體(3N,g(3)=6，所以g(3)N)。 謂詞中的客體變?cè)么_定的客體帶入后就變成了命題，其真值為或者為(3N, O()是個(gè)命題,真值為T)。 把它們都看成“映射”的話，則 客體函數(shù)是論域到論域的映射，g:NN，如果指定的客體aN，則g(a)N。 而謂詞是從論域到T,F的映射，即謂詞E(x)可以看成映射E:NT,F，如果指定客體aN，則E(a)的真值T,F。2

11、-2.2 2-2.2 原子謂詞公式原子謂詞公式 定義定義：稱n元謂詞P(x1,x2,.,xn)為原子謂詞公式。 例如 P、Q(x) 、 A(x,f(x)、B(x,y,a) 都是原子謂詞公式。2-2.3 2-2.3 謂詞合式公式謂詞合式公式( (WFF)WFF) (Well Formed formulas) (Well Formed formulas) 定義定義：謂詞合式公式遞歸定義如下： 1.原子謂詞公式是合式公式。 2.如果A是合式公式，則A也是合式公式。 3.如果A、B是合式公式，則(AB)、(AB)、(AB)、(AB)都是合式公式。 4.如果A是合式公式，x是中的任何客體變?cè)?，則x和x也

12、是合式公式。 5.只有有限次地按規(guī)則(1)至(4)求得的公式才是合式公式。 謂詞合式公式也叫謂詞公式，簡(jiǎn)稱公式。 下面都是合式公式： P、(PQ)、(Q(x)P)、x(A(x)B(x)、xC(x) 而下面都不是合式公式： xyP(x) 、P(x)Q(x)x 為了方便，最外層括號(hào)可以省略，但是若量詞后邊有括號(hào)，則此括號(hào)不能省。 注意：注意：公式x( (A(x)B(x) )中x后邊的括號(hào)不是最外層括號(hào)，所以不可以省略。2-2.4 2-2.4 量詞的作用域量詞的作用域( (轄域轄域) ) 定義定義：在謂詞公式中，量詞的作用范圍稱之為量詞的作用域，也叫量詞的轄域。 例如 xA(x)中x的轄域?yàn)锳(x)

13、. x(P(x)Q(x)yR(x,y)中 x的轄域是(P(x)Q(x)yR(x,y) y的轄域?yàn)镽(x,y)。 xyz(A(x,y)B(x,y,z)C(t) x x的轄域的轄域 z z的轄域的轄域 y y的轄域的轄域一般地， 如果量詞后邊只是一個(gè)原子謂詞公式時(shí)，該量詞的轄域就是此原子謂詞公式。 如果量詞后邊是括號(hào)，則此括號(hào)所表示的區(qū)域就是該量詞的轄域。 如果多個(gè)量詞緊挨著出現(xiàn)，則后邊的量詞及其轄域就是前邊量詞的轄域。2-2.5 2-2.5 自由變?cè)c約束變?cè)杂勺冊(cè)c約束變?cè)?在謂詞公式中的客體變?cè)梢苑殖蓛煞N，一種是受到量詞約束的，一種是不受量詞約束的。請(qǐng)看下面公式： x(F(x,y)yP(

14、y)Q(z) (x,y)中的x在x的轄域內(nèi)，受到x的約束，而其中的y不受x的約束。 P(y)中的y在y的轄域內(nèi)，受y的約束。 Q(z)中的z不受量詞約束。 定義定義：如果客體變?cè)獂在x或者x的轄域內(nèi)，則稱x在此轄域內(nèi)約束出現(xiàn)，并稱x在此轄域內(nèi)是約束變?cè)?。否則x是自由出現(xiàn)，并稱x是自由變?cè)?上例中 x(F(x,y)yP(y)Q(z) F(x,y)中的x和P(y)中的y是約束變?cè)?。而F(x,y)中的y和Q(z)中的z是自由變?cè)?對(duì)約束變?cè)妥杂勺冊(cè)腥缦聨c(diǎn)說(shuō)明：(1).對(duì)約束變?cè)檬裁捶?hào)表示無(wú)關(guān)緊要。就是說(shuō)xA(x)與yA(y)是一樣的。這類似于計(jì)算積分與積分變?cè)獰o(wú)關(guān)，即積分f(x)dx

15、與f(y)dy 相同。(2).一個(gè)謂詞公式如果無(wú)自由變?cè)?，它就表示一個(gè)命題。 例如 A(x)表示x是個(gè)大學(xué)生。xA(x)或者xA(x)就是個(gè)命題了，因?yàn)樗鼈兎謩e表示命題“有些人是大學(xué)生”和“所有人都是大學(xué)生”。(3).(3).一個(gè)一個(gè)n n元謂詞元謂詞P(xP(x1 1,x,x2 2, ,x,xn n) )，若在前邊添加，若在前邊添加k k個(gè)量詞，使其中的個(gè)量詞，使其中的 k k個(gè)客體變?cè)兂杉s束變個(gè)客體變?cè)兂杉s束變?cè)?，則此元，則此 n n元謂詞就變成了元謂詞就變成了n-kn-k元謂詞。元謂詞。 例如例如P(x,y,z)P(x,y,z)表示表示x+y=zx+y=z，假設(shè)論域是整數(shù)集。，假設(shè)論

16、域是整數(shù)集。 x x yPyP(x,y,z)(x,y,z)表示表示“任意給定的整數(shù)任意給定的整數(shù)x x，都可，都可以找到整數(shù)以找到整數(shù)y y，使得，使得x+y=z” x+y=z” 。 如果令如果令 z=1z=1，則，則 x x yPyP(x,y,1)(x,y,1)就變成了命題就變成了命題“任意給定的整數(shù)任意給定的整數(shù)x x，都可以找到整數(shù)，都可以找到整數(shù)y y，使得，使得x+y=1”,x+y=1”,。 可見(jiàn)每當(dāng)給可見(jiàn)每當(dāng)給z z指定個(gè)整數(shù)指定個(gè)整數(shù)a a后，后， x x yPyP(x,y,a)(x,y,a)就變成了一個(gè)命題。所以謂詞公式就變成了一個(gè)命題。所以謂詞公式 x x yPyP(x,y,

17、z)(x,y,z)就相當(dāng)于只含有客體變?cè)拖喈?dāng)于只含有客體變?cè)?z z的的一元謂詞了。一元謂詞了。 在一個(gè)謂詞公式中，如果某個(gè)客體變?cè)纫约s束變?cè)问匠霈F(xiàn)，又以自由變?cè)问匠霈F(xiàn)，就容易產(chǎn)生混淆。為了避免此現(xiàn)象發(fā)生，可以對(duì)客體變?cè)拿Q。 如 x(F(x,y)yP(y)Q(z) 約束變?cè)母拿?guī)則：(1).對(duì)約束變?cè)梢愿拿Q，改名的范圍是：量詞后的指導(dǎo)變?cè)约霸摿吭~的轄域內(nèi)此客體變?cè)霈F(xiàn)的各處同時(shí)換名。(2).改名后用的客體變?cè)Q，不能與該量詞的轄域內(nèi)的其它變?cè)Q相同。 例如例如 x(P(x)Q(x,y)(R(x)A(x) x(P(x)Q(x,y)(R(x)A(x) 此式中的此式中的x

18、 x 就是以兩種形式出現(xiàn)?？梢詫?duì)就是以兩種形式出現(xiàn)。可以對(duì)x x改名改名成成 z(P(z)Q(z,y)(R(x)A(x) z(P(z)Q(z,y)(R(x)A(x) 對(duì)自由變?cè)部梢該Q名字，此換名叫代入。對(duì)自由變?cè)部梢該Q名字，此換名叫代入。對(duì)對(duì)自由變?cè)拇胍?guī)則自由變?cè)拇胍?guī)則：(1).(1).對(duì)謂詞公式中的自由變?cè)梢宰鞔搿４雽?duì)謂詞公式中的自由變?cè)梢宰鞔?。代入時(shí)需要對(duì)公式中出現(xiàn)該變?cè)拿恳惶帲瑫r(shí)作時(shí)需要對(duì)公式中出現(xiàn)該變?cè)拿恳惶?，同時(shí)作代入。代入。(2).(2).代入后的變?cè)Q要與公式中的其它變?cè)牒蟮淖冊(cè)Q要與公式中的其它變?cè)Q不同稱不同上例也可以對(duì)自由變?cè)侠部?/p>

19、以對(duì)自由變?cè)獂 x作代入，改成作代入，改成 x(P(x)Q(x,y)(R(z)A(z) x(P(x)Q(x,y)(R(z)A(z) 2-2.6 2-2.6 命題的符號(hào)化命題的符號(hào)化在謂詞演算中，命題的符號(hào)化比較復(fù)雜，命題的符號(hào)表達(dá)式與論域有關(guān)系。例如1.每個(gè)自然數(shù)都是整數(shù)。(1).如果論域是自然數(shù)集合N，令 I(x)：x是整數(shù)，則命題的表達(dá)式為 xI(x) (2).如果論域擴(kuò)大為全總個(gè)體域時(shí)，上述表達(dá)式xI(x)表示“所有客體都是整數(shù)”，顯然這是假的命題，此表達(dá)式已經(jīng)不能表達(dá)原命題了。因此需要添加謂詞N(x)：x是自然數(shù)，用于表明x的特性，于是命題的符號(hào)表達(dá)式為 x(N(x)I(x)2.有些大

20、學(xué)生吸煙。(1).如果論域是大學(xué)生集合S，令A(yù)(x)：x吸煙，則命題的表達(dá)式為 xA(x) (2).如果論域擴(kuò)大為全總個(gè)體域時(shí)，上述表達(dá)式xA(x)表示“有些客體吸煙”，就不是表示此命題了，故需要添加謂詞 S(x)：x是大學(xué)生，用于表明x的特性，于是命題的表達(dá)式為 x(S(x)A(x) 從上述兩個(gè)例子可以看出，命題的符號(hào)表達(dá)式與論域有關(guān)。當(dāng)論域擴(kuò)大時(shí)，需要添加用來(lái)表示客體特性的謂詞，稱此謂詞為特性謂詞。特特性謂詞性謂詞往往就是給定命題中量詞后邊的那個(gè)名詞。如上面兩個(gè)例子中的“所有自然數(shù)”、“有些大學(xué)生”。 如何添加特性謂詞，這是個(gè)十分重要的問(wèn)題，這與前邊的量詞有關(guān)。 特性謂詞的添加方法如下：

21、如果前邊是全稱量詞，特性謂詞后邊是蘊(yùn)含聯(lián)結(jié)詞“”；如果前邊是存在量詞，特性謂詞后邊是合取聯(lián)結(jié)詞“”。 為什么必須這樣添加特性謂詞？ 分析一下特性謂詞和原謂詞所表示的概念之間的關(guān)系，得出下面的圖，從此圖可以得出如此添加特性謂詞的正確性。 令N:自然數(shù)集合，I:整數(shù)集合， S:大學(xué)生集合，A:煙民的集合。 INSA吸煙大學(xué)生 I包含Nx(N(x)I(x)吸煙大學(xué)生是S與A的交集 x(S(x)A(x)3.3.所有大學(xué)生都喜歡一些歌星。所有大學(xué)生都喜歡一些歌星。 令令S(x)S(x)：x x是大學(xué)生，是大學(xué)生，X(x)X(x)：x x是歌星，是歌星， L(x,y)L(x,y)：x x喜歡喜歡y y。

22、則命題的表達(dá)式為則命題的表達(dá)式為 x(S(x)x(S(x) y(X(y)L(x,y) y(X(y)L(x,y) 4.4.沒(méi)有不犯錯(cuò)誤的人。沒(méi)有不犯錯(cuò)誤的人。 此話就是此話就是“沒(méi)有人不犯錯(cuò)誤沒(méi)有人不犯錯(cuò)誤”，“沒(méi)有沒(méi)有”就是就是“不存不存在在”之意。令之意。令P(x)P(x)：x x是人，是人，F(xiàn)(x)F(x)：x x犯錯(cuò)誤，犯錯(cuò)誤， 此命題的表達(dá)式為此命題的表達(dá)式為 x(P(x)x(P(x) F(x)F(x)或者或者 x(P(x)F(x)x(P(x)F(x)5.5.不是所有的自然數(shù)都是偶數(shù)。不是所有的自然數(shù)都是偶數(shù)。 令令N(x)N(x)：x x是自然數(shù)，是自然數(shù)，E(x)E(x)：x x是

23、偶數(shù)，是偶數(shù)， 命題的表達(dá)式為命題的表達(dá)式為: : x(N(x)E(x)x(N(x)E(x)或者或者 x(N(x)x(N(x) E(x)E(x)6.6.如果一個(gè)人只是說(shuō)謊話，那么他所說(shuō)的每句話沒(méi)有如果一個(gè)人只是說(shuō)謊話，那么他所說(shuō)的每句話沒(méi)有一句是可以相信的。一句是可以相信的。 令令A(yù)(x)A(x)：x x是人，是人，B(x,y)B(x,y)：y y是是x x說(shuō)的話，說(shuō)的話， C(x):xC(x):x是謊話，是謊話，D(x)D(x)：x x是可以相信的是可以相信的 命題的表達(dá)式為命題的表達(dá)式為: : x(A(x)(x(A(x)( y(B(x,y)C(y)y(B(x,y)C(y) z(B(x,z)

24、D(z)z(B(x,z)D(z) 或者或者 x(A(x)x(A(x) y(B(x,y)C(y)y(B(x,y)C(y)D(y)D(y) 7. 7.每個(gè)自然數(shù)都有唯一的后繼數(shù)。每個(gè)自然數(shù)都有唯一的后繼數(shù)。 令令N(x)N(x)：x x是自然數(shù)，是自然數(shù)，A(x,y)A(x,y)：y y是是x x的后繼數(shù)，的后繼數(shù)， E(x,y)E(x,y)：x=y x=y 則命題的表達(dá)式為則命題的表達(dá)式為 x(N(x)x(N(x) y(N(y)A(x,y)y(N(y)A(x,y) z(N(z)A(x,z)E(y,z)z(N(z)A(x,z)E(y,z) 有一個(gè)后繼數(shù)后繼數(shù)的唯一性下面請(qǐng)同學(xué)們自己做練習(xí)第下面請(qǐng)同

25、學(xué)們自己做練習(xí)第6060頁(yè)頁(yè)(2)(2)練習(xí)P60(2) a) x(J(x)L(x) b) x(L(x)S(x) c) x(J(x)O(x)V(x) d) J(j)O(j)V(j) e) x(L(x)J(x) 或者 x(L(x)J(x) f) x(S(x)L(x)C(x) g) x(C(x)V(x) 或者 x(C(x)V(x) h) x(C(x)O(x)L(x) i) x(W(x)C(x)H(x) j) x(W(x)J(x)C(x) k) x(L(x)y(J(y)A(x,y) l) x(S(x)y(L(y)A(x,y)小結(jié)小結(jié)1.1.命題的符號(hào)表達(dá)式形式與論域有關(guān)系。命題的符號(hào)表達(dá)式形式與論域

26、有關(guān)系。 論域擴(kuò)大需要用特性謂詞對(duì)客體進(jìn)行說(shuō)明論域擴(kuò)大需要用特性謂詞對(duì)客體進(jìn)行說(shuō)明. .注意如何添注意如何添加特性謂詞加特性謂詞( (即要注意特性謂詞后邊是什么聯(lián)結(jié)詞即要注意特性謂詞后邊是什么聯(lián)結(jié)詞) )。2.2.如果量詞前有否定符號(hào)，如如果量詞前有否定符號(hào)，如“沒(méi)有沒(méi)有.”“.”“不是所有不是所有的的.”.”等，可以按照字面直譯。如等，可以按照字面直譯。如“x” “x.”3.3.命題的符號(hào)表達(dá)式中所有客體變?cè)仨毝际羌s束變?cè)?，命題的符號(hào)表達(dá)式中所有客體變?cè)仨毝际羌s束變?cè)?，才表示命題。有時(shí)給定命題中有些量詞沒(méi)有明確給出，才表示命題。有時(shí)給定命題中有些量詞沒(méi)有明確給出，要仔細(xì)分析并寫出這隱含的

27、量詞。要仔細(xì)分析并寫出這隱含的量詞。 例如例如 a) a) 金子閃光，但閃光的不一定都是金子。金子閃光，但閃光的不一定都是金子。G(x),F(x)G(x),F(x) x(G(x)F(x)x(F(x) G(x) b) 沒(méi)有大學(xué)生不懂外語(yǔ)。沒(méi)有大學(xué)生不懂外語(yǔ)。S(x),K(x,y),F(x)S(x),K(x,y),F(x) x(S(x)y(F(y)K(x,y) 作業(yè) 60頁(yè) (2) 62頁(yè) (2), (3) b), c), (5) b) (6) 65頁(yè) (4) b) (5) a)2-3謂詞演算的等價(jià)式與蘊(yùn)涵式 在命題邏輯中，我們是通過(guò)對(duì)公式的命題變?cè)x值來(lái)討論永真式、永真蘊(yùn)含式及等價(jià)公式的。 在謂

28、詞演算中，也要討論一些重要的謂詞公式。但是由于謂詞公式中可能有命題變?cè)?、客體變?cè)?。?duì)命題變?cè)x值比較容易，因?yàn)橹挥袃蓚€(gè)值可賦。而對(duì)客體變?cè)髦概蓞s不那么簡(jiǎn)單，因?yàn)檎撚蛑械目腕w可能有無(wú)限個(gè)。另外謂詞公式的真值還與論域有關(guān)。2-3.1 對(duì)謂詞公式賦值 定義定義：若將給定的謂詞公式中的命題變?cè)?，用確定的命題代替，對(duì)公式中的客體變?cè)谜撚蛑械目腕w代替，這個(gè)過(guò)程就稱之為對(duì)謂詞公式作指派，或者稱之 為對(duì)謂詞公式賦值。 例如公式 PN(x)，N(x)：x是自然數(shù)，論域?yàn)閷?shí)數(shù)集合R， 令P：21，x=4 時(shí)，此公式變成PN(4)，它的真值就是“真”。2-3.2 謂詞公式的永真式定義 定義定義：給定謂詞公式A，

29、E是其論域，如果不論對(duì)公式A作任何賦值，都使得A的真值為真，則稱公式A在論域E上是永真式。如果不論對(duì)什么論域E，都使得公式A為永真式，則稱A為永真式。 例如，I(x)：x是整數(shù)，論域E為自然數(shù)集合，公式I(x)在E上就是永真式。 而公式 I(x)I(x)就是與論域無(wú)關(guān)的永真式。2-3.3 謂詞公式的等價(jià)公式定義 定義定義：給定謂詞公式A、B，E是它們的論域，如果不論對(duì)公式A、B作任何賦值，都使得A與B的真值相同(或者說(shuō)AB是永真式)，則稱公式A與B在論域E上是等價(jià)的。如果不論對(duì)什么論域E，都使得公式A與B等價(jià)，則稱A與B等價(jià)，記作AB。 例如，I(x)：表示x是整數(shù)，N(x)：表示x是自然數(shù)，

30、假設(shè)論域E是自然數(shù)集合，公式I(x)與N(x)在E上是等價(jià)的。 而公式N(x)I(x) 與N(x)I(x)就是與論域無(wú)關(guān)的等價(jià)的公式，即 N(x)I(x)N(x)I(x)。2-3.4 謂詞公式的永真蘊(yùn)含式定義 定義定義：給定謂詞公式A、B，E是它們的論域，如果不論對(duì)公式A、B作任何賦值，都使得AB為永真式，則稱在論域E上公式A永真蘊(yùn)含B。如果不論對(duì)什么論域E，都使得公式AB為永真式，則稱A永真蘊(yùn)含B，記作AB。 例如，G(x)：表示x大于5，N(x)：表示x是自然數(shù)，論域E=-1,-2,6,7,8,9,.， 在E上公式G(x)N(x)是永真式。 而公式(G(x)N(x)N(x)就是與論域無(wú)關(guān)的

31、永真式，所以(G(x)N(x)N(x)。2-3.5. 重要公式 下面討論重要的謂詞等價(jià)公式和永真蘊(yùn)含式。下面討論重要的謂詞等價(jià)公式和永真蘊(yùn)含式。一一. .由命題公式推廣出的公式由命題公式推廣出的公式因一個(gè)不含自由變?cè)闹^詞公式本身如因一個(gè)不含自由變?cè)闹^詞公式本身如 xA(x)xA(x)、 xBxB(x)(x)就是命題就是命題。一個(gè)含有。一個(gè)含有n n個(gè)自由變?cè)闹^詞公式，賦予論域個(gè)自由變?cè)闹^詞公式，賦予論域中的中的n n個(gè)指定客體后就變成命題個(gè)指定客體后就變成命題( (例如例如S(a)S(a)、G(3,1)G(3,1)等等) )。因此可以把此公式因此可以把此公式看成一個(gè)命題變?cè)闯梢粋€(gè)命題

32、變?cè)?。所以在命題演算。所以在命題演算的永真式中，將其中的同一個(gè)命題變?cè)猛粋€(gè)謂詞的永真式中，將其中的同一個(gè)命題變?cè)?，用同一個(gè)謂詞公式代替，所得到的公式也是永真式。這樣就可以將命公式代替，所得到的公式也是永真式。這樣就可以將命題演算中的等價(jià)公式和永真蘊(yùn)含式推廣到謂詞演算中使題演算中的等價(jià)公式和永真蘊(yùn)含式推廣到謂詞演算中使用。例如用。例如A(x)A(x)A(x)B(x) A(x)B(x) P PPQPQ x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)x(x( A(x)B(x) A(x)B(x) PQPQP PQ Q ( ( xA(x)xA(x) xBxB(x)(x)xA(x)xA(x)xBxB(x)

33、 (x) 摩根定律摩根定律二二. .帶量詞的公式在論域內(nèi)的展開(kāi)式帶量詞的公式在論域內(nèi)的展開(kāi)式 先看一個(gè)例子，令A(yù)(x)：表示x是整數(shù)，B(x)：表示x是奇數(shù)，設(shè)論域是1,2,3,4,5，謂詞公式 xA(x)表示論域內(nèi)所有的客體都是整數(shù)，顯然公式 xA(x)的真值為真，因?yàn)锳(1)、A(2)、A(3)、A(4)、A(5)都為真，于是有 xA(x)A(1)A(2)A(3)A(4)A(5) 類似地，謂詞公式xB(x)表示論域內(nèi)有些客體是奇數(shù)，顯然公式xB(x)的真值也為真，因?yàn)锽(1)、B(3)、B(5)的真值為真，于是有 xB(x)B(1)B(2)B(3)B(4)B(5) 一般地，設(shè)論域?yàn)閍1,a

34、2,.,an，則 1. 1. xA(x)xA(x)A(aA(a1 1)A(a)A(a2 2).A(a).A(an n) ) 2. 2. xBxB(x)(x)B(aB(a1 1)B(a)B(a2 2).B(a).B(an n) )三三. .量詞否定公式量詞否定公式 我們還是先用一個(gè)例子說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。令(x)表示x是優(yōu)等生，論域是某班級(jí)的學(xué)生集合。 xA(x)表示：不是所有人都是優(yōu)等生。 xA(x)表示：有些人不是優(yōu)等生。 xA(x)表示：沒(méi)有人是優(yōu)等生。 xA(x)表示：所有人都不是優(yōu)等生。 從這個(gè)例子可以看出 “不是所有人都是優(yōu)等生。”與“有些人不是優(yōu)等生?！笔堑葍r(jià)的。 “沒(méi)有人是優(yōu)等生?！迸c

35、“所有人都不是優(yōu)等生。”是等價(jià)的。于是有： 1. 1. xA(x)xA(x)x x A(x)A(x)2. 2. xA(x)xA(x)x x A(x)A(x)對(duì)這兩個(gè)公式可以證明如下：證明：證明：設(shè)論域?yàn)閍1,a2,.,an，則 xA(x)(A(a1)A(a2).A(an)A(a1)A(a2).A(an)xA(x)類似可以證明另一個(gè)公式。從這兩個(gè)公式，可以總結(jié)出如下規(guī)律：將量詞前的“”移到量詞的后邊，或者將量詞后的“”移到量詞的前邊時(shí)，量詞也隨著改變，如果原來(lái)是全稱量詞改成存在量詞，如果原來(lái)是存在量詞改成全稱量詞。所以我們也把這兩個(gè)公式稱為量詞轉(zhuǎn)換公式。四.量詞轄域的擴(kuò)充公式如果是個(gè)不含客體變?cè)?/p>

36、x的謂詞公式，且不在 x和x的轄域內(nèi)，可以將放入 x和x的轄域內(nèi)。即得如下公式： 1. 1. xA(x)BxA(x)Bx(A(x)B)x(A(x)B) 2. 2. xA(x)BxA(x)Bx(A(x)B)x(A(x)B) 3. 3. xA(x)BxA(x)Bx(A(x)B)x(A(x)B) 4. 4. xA(x)BxA(x)Bx(x( (x)B)x)B) 5. B 5. B xA(x)xA(x)x(BA(x)x(BA(x) 6. B 6. B xA(x)xA(x)x(BA(x)x(BA(x) 7 7. . xA(x)BxA(x)B x(A(x)B)x(A(x)B) 8 8. . xA(x)Bx

37、A(x)B x(A(x)B)x(A(x)B)上述公式我們只證明三個(gè)。上述公式我們只證明三個(gè)。 證明：證明：設(shè)論域?yàn)樵O(shè)論域?yàn)?a a1 1,a,a2 2,.,a,.,an n ， xA(x)BxA(x)B(A(a(A(a1 1)A(a)A(a2 2).A(a).A(an n)B)B(A(a(A(a1 1)B)(A(a)B)(A(a2 2)B).(A(a)B).(A(an n)B)B)x(x(x)(x) )BB xA(x)xA(x)BB xA(x)xA(x)x(x( BA(x)BA(x)x(BA(x)x(BA(x) xA(x)BxA(x)BxA(x)BxA(x)Bx x A(x)BA(x)B x(

38、x( A(x)B)A(x)B)x(A(x)B)x(A(x)B) 在使用公式在使用公式7.7.、8.8.時(shí)，要特別注意，量詞的轄時(shí)，要特別注意，量詞的轄域擴(kuò)充后，量詞發(fā)生了變化域擴(kuò)充后，量詞發(fā)生了變化。五五. .量詞分配公式量詞分配公式1. 1. x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)xA(x)xA(x) xBxB(x)(x)2. 2. x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)xA(x)xA(x) xBxB(x)(x)3. 3. x(A(x)B(x)x(A(x)B(x) xA(x)xA(x) xBxB(x)(x)4. 4. xA(x)xA(x) xBxB(x)(x) x(A(x)B(x)x(A

39、(x)B(x)證明證明：設(shè)論域?yàn)椋涸O(shè)論域?yàn)?a a1 1,a,a2 2,.,a,.,an n ， x(A(x)B(x) x(A(x)B(x) (A(a(A(a1 1)B(a)B(a1 1)(A(a)(A(a2 2)B(a)B(a2 2) (A(a (A(an n)B(a)B(an n)(A(a(A(a1 1)A(a)A(a2 2).A(a).A(an n) (B(a (B(a1 1)B(a)B(a2 2).B(a).B(an n)xA(x)xA(x) xBxB(x)(x) 注意公式3.和4.不是等價(jià)公式，而是永真蘊(yùn)含式。例如公式3.由xA(x)xB(x)不能推出x(A(x)B(x)， 我們可以

40、舉一個(gè)反例，設(shè)A(x)和B(x)分別表示“x是奇數(shù)”和“x是偶數(shù)”，顯然命題xA(x)xB(x)為真。而x(A(x)B(x)是表示命題“存在一些數(shù)既是奇數(shù)，也是偶數(shù)”，顯然不為真。 所以說(shuō)由xA(x)xB(x)不能推出 x(A(x)B(x). 證明公式證明公式3.3. x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)xA(x)xA(x)xBxB(x)(x) 證明證明：假設(shè)前件：假設(shè)前件x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)為真，為真， 則論域中至少有一個(gè)客體則論域中至少有一個(gè)客體a a，使得，使得 A(a)B(a)A(a)B(a)為真，于是為真，于是A(a)A(a)和和B(a)B(a)都為都為 真，

41、所以有真，所以有xA(x)xA(x)以及以及xBxB(x)(x)為真，進(jìn)為真，進(jìn)而得而得xA(x)xA(x)xBxB(x)(x)為真。于是有為真。于是有 x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)xA(x)xA(x)xBxB(x)(x) 下面利用公式下面利用公式3.3.證明公式證明公式4.4.。證明證明：因?yàn)楣剑阂驗(yàn)楣?.3.中的中的A(x)A(x)和和B(x)B(x)是任意是任意的謂詞公式，不妨用的謂詞公式，不妨用 A(x)A(x)和和 B(x)B(x)分別分別代替公式代替公式3.3.中的中的A(x)A(x)和和B(x)B(x)得得 x(x( A(x)A(x) B(x)B(x)x x A(

42、x)A(x) x x B(x)B(x) x x (A(x)B(x)(A(x)B(x)xA(x)xA(x)xBxB(x)(x) x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)( ( xA(x)xA(x) xBxB(x) (x) 應(yīng)用公式應(yīng)用公式 P PQ QQ Q P P 得得 xA(x)xA(x) xBxB(x)(x)x(A(x)B(x)x(A(x)B(x)公式公式4.4.得證。得證。在使用公式在使用公式4.4.的時(shí)候，的時(shí)候，特別要注意蘊(yùn)含式特別要注意蘊(yùn)含式的方向，不要搞錯(cuò)。的方向，不要搞錯(cuò)。六其它公式1. x(A(x)B(x)xA(x)xB(x) 2. xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)證

43、明證明1. 1. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x) 證明證明2. 2. xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) x(A(x)B(x)七兩個(gè)量詞的公式 在A(x,y)前有兩個(gè)量詞，如果兩個(gè)量詞是相同的，它們的次序是無(wú)關(guān)緊要，但是如果是不同的，它們的次序就不可以隨便交換。例如設(shè) A(x,y)表示“x+y=0”,論域?yàn)椋簩?shí)數(shù)集合， x x yAyA(x,y)(x,y)表示“對(duì)于任意給定的一個(gè)實(shí)數(shù)x,可以找到一個(gè)y,使得x+y=0”,這是一個(gè)為“真”的命題。而交換量詞后 y y

44、xA(x,y)xA(x,y) 表示“存在一個(gè)實(shí)數(shù)y,與任意給定的一個(gè)實(shí)數(shù)x之和都等于0”,這是一個(gè)為“假”的命題。 有如下一些公式：1. 1. x x yAyA(x,y)(x,y)y y xA(x,y)xA(x,y)2. 2. x x yAyA(x,y)(x,y)y y xA(x,y)xA(x,y)3. 3. y y xA(x,y)xA(x,y)x x yAyA(x,y)(x,y)4. 4. x x yAyA(x,y)(x,y)x x yAyA(x,y)(x,y)5. 5. y y xA(x,y)xA(x,y)x x yAyA(x,y)(x,y)6. 6. x x yAyA(x,y)(x,y)

45、y y xA(x,y)xA(x,y)7. 7. y y xA(x,y)xA(x,y)x x yAyA(x,y)(x,y)8. 8. x x yAyA(x,y)(x,y)y y xA(x,y)xA(x,y)注意：下面式子不成立注意：下面式子不成立 x x yAyA(x,y)(x,y)y y xA(x,y)xA(x,y) 為了便于記憶，用下面圖形表示上面八個(gè)公式。 x x yAyA(x,y)(x,y) y y xA(x,y)xA(x,y) x x yAyA(x,y)(x,y) y y xA(x,y)xA(x,y) x x yAyA(x,y)(x,y) y y xA(x,y)xA(x,y) y y

46、xA(x,y)xA(x,y) x x yAyA(x,y)(x,y) 實(shí)際上，根據(jù)實(shí)際上，根據(jù)具有傳遞性，還可以派生出一些公式。具有傳遞性，還可以派生出一些公式。下面我們只證明一個(gè)等價(jià)公式。用謂詞邏輯推理方法很下面我們只證明一個(gè)等價(jià)公式。用謂詞邏輯推理方法很容易證明上面那些永真蘊(yùn)涵式，在此就不證明了。下面容易證明上面那些永真蘊(yùn)涵式，在此就不證明了。下面證明公式證明公式1.1.。 證明：證明：設(shè)論域?yàn)樵O(shè)論域?yàn)?a a1 1,a,a2 2,.,a,.,an n ，則，則 x x yAyA(x,y)(x,y) yAyA(a(a1 1,y),y) yAyA(a(a2 2,y),y) yAyA(a(an

47、n,y),y) (A(a(A(a1 1,a,a1 1)A(a)A(a1 1,a,a2 2)A(aA(a1 1,a,an n) (A(a (A(a2 2,a,a1 1)A(a)A(a2 2,a,a2 2)A(aA(a2 2,a,an n) (A(a (A(an n,a,a1 1)A(a)A(an n,a,a2 2)A(aA(an n,a,an n) (A(a(A(a1 1,a,a1 1)A(a)A(a2 2,a,a1 1)A(aA(an n,a,a1 1) (A(a (A(a1 1,a,a2 2)A(a)A(a2 2,a,a2 2)A(aA(an n,a,a2 2) (A(a (A(a1 1,a

48、,an n)(A(a)(A(a2 2,a,an n)A(aA(an n,a,an n) xA(x,axA(x,a1 1) xA(x,axA(x,a2 2) xA(x,axA(x,an n) ) y y xA(x,y)xA(x,y) 本節(jié)小結(jié)： 熟練掌握謂詞等價(jià)公式和永真蘊(yùn)涵式的證明方法及應(yīng)用。 作業(yè)題： P66 (3) b) P71 (2) d), (6) 面作做個(gè)練習(xí)P71(1) c)練習(xí)練習(xí)P71(1) c) .論域論域D=1,2 a=1 b=2 f(1)=2 f(2)=1 P(1,1)=T P(1,2)=T P(2 ,1)=F P(2,2)=F求求 x y(P(x,y)P(f(x),f(

49、y) y(P(1,y) P(f(1),f(y) ) y(P(2,y) P(f(2),f(y) )( (P(1,1) P(f(1),f(1) (P(1,2) P(f(1),f(2) ) ( (P(2,1) P(f(2),f(1) (P(2,2) P(f(2),f(2) ) ( (P(1,1) P(2,2) (P(1,2) P(2,1) ) ( (P(2,1) P(1,2) (P(2,2) P(1,1) )( (T F ) (T F) ) ( (F T) (F T) )( (F F) ) ( (T T) )F T F2-42-4前束范式前束范式 與命題公式的范式類似，謂詞公式也有規(guī)范形式。這與命題

50、公式的范式類似，謂詞公式也有規(guī)范形式。這里主要介紹前束范式里主要介紹前束范式-所有量詞都在公式前邊約束變?cè)辛吭~都在公式前邊約束變?cè)?.1.前束范式定義：前束范式定義： 如果一個(gè)謂詞公式符合下面條件，它就是如果一個(gè)謂詞公式符合下面條件，它就是前束范式前束范式： 所有量詞前面都沒(méi)有聯(lián)接詞；所有量詞前面都沒(méi)有聯(lián)接詞； 所有量詞都在公式的左面；所有量詞都在公式的左面； 所有量詞的轄域都延伸到公式的末尾。所有量詞的轄域都延伸到公式的末尾。 例如例如 y y x x z z( (A(x)(B(x,y)C(x,y,z)A(x)(B(x,y)C(x,y,z) ) x x( ( (x)B(x)x)B(x)

51、 ) 就是前束范式，而就是前束范式，而 xA(x)xA(x) y yB B(y)(y) x x y(A(x)(B(x,y)y(A(x)(B(x,y) zCzC(z)(z) xA(x)B(x) xA(x)B(x) 這三個(gè)就不是前束范式。這三個(gè)就不是前束范式。 2.前束范式的寫法法給定一個(gè)帶有量詞的謂詞公式，1)消去公式中的聯(lián)接詞和(為了便于量詞轄域的擴(kuò)充)；2)如果量詞前有“ ”，則用量詞否定公式將“ ”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，將“ ”后移到原子謂詞公式之前。3)用約束變?cè)母拿?guī)則或自由變?cè)拇胍?guī)則對(duì)變?cè)獡Q名(為量詞轄域擴(kuò)充作準(zhǔn)備)4)用量詞轄域擴(kuò)充公式提取量詞，使之成為前束范

52、式形式。 例1. xA(x)xB(x) xA(x)xA(x)xB B(x)(x) x x A(x)A(x)xB B(x)(x) x x A(x)A(x)yB B(y) (y) (換元換元) ) x(x( A(x)A(x)yB B(y) (y) (量詞轄域擴(kuò)充量詞轄域擴(kuò)充) ) x xy( ( A(x)B(y)A(x)B(y) 另一個(gè)方法：xA(x)xB(x) xA(x)xA(x)xB B(x)(x) x x A(x)A(x)xB B(x)(x) x(x( A(x)B(x) A(x)B(x) ( (量詞分配公式量詞分配公式) ) 例例2.2. x x( (P(x)R(x)(P(x)R(x)(xP

53、(x)Q(x)xP(x)Q(x)x x( (P(x)R(x)(P(x)R(x)(xP(x)Q(x)xP(x)Q(x) ( (去去) )x x ( (P(x)R(x)(P(x)R(x)( x x P(x)Q(xP(x)Q(x) () (量詞轉(zhuǎn)換量詞轉(zhuǎn)換) )x x( ( P(x)P(x) R(x)(R(x)( x x P(x)Q(xP(x)Q(x) () (后移后移 ) )x x( ( P(x)P(x) R(x)(R(x)( y y P(y)Q(zP(y)Q(z) () (換變?cè)獡Q變?cè)? )x x( ( P(x)P(x) R(x)R(x) y(y( P(y)Q(zP(y)Q(z) () (擴(kuò)量詞

54、轄域擴(kuò)量詞轄域) )x x y(y( ( P(x)P(x) R(x)(R(x)( P(y)Q(zP(y)Q(z)()(擴(kuò)量詞轄域擴(kuò)量詞轄域) )3.3.前束析取范式與前束合取范式：前束析取范式與前束合取范式：前束析取范式前束析取范式: :前束范式中量詞后的括號(hào)內(nèi)是析取范式形式。前束范式中量詞后的括號(hào)內(nèi)是析取范式形式。前束合取范式前束合取范式: :前束范式中量詞后的括號(hào)內(nèi)是合取范式形式。前束范式中量詞后的括號(hào)內(nèi)是合取范式形式。上例的前束析取范式為上例的前束析取范式為: : x x y(y( P(x)P(x) R(x)(R(x)( P(y)Q(zP(y)Q(z)上例的前束合取范式為上例的前束合取范

55、式為: : x x y(y( P(x)P(x) R(x)R(x) P(y)(P(y)( P(x)P(x) R(x)Q(zR(x)Q(z) 本節(jié)掌握前束范式的寫法。 作業(yè) P75 (1)b) (2)c)2-5 謂詞演算的推理理論推理方法： 直接推理、條件論證、反證法所用公式：43頁(yè)和70頁(yè)的I1I19，E1E33推理規(guī)則：P、T、CP、US、ES、EG、UG 后四個(gè)規(guī)則，是處理量詞的，因?yàn)橥评頃r(shí)要使用不含量詞的命題公式，所以要去掉量詞，如果結(jié)論有量詞，還要添加量詞。 下面介紹四個(gè)新規(guī)則：一一.全稱特指規(guī)則全稱特指規(guī)則 US (Universal Specialization) 形式： xA(x)

56、A(c) (其中c是論域內(nèi)指定客體) 含義：如果xA(x)為真，則在論域內(nèi)任 何指定客體c，都使得A(c)為真。 作用：去掉全稱量詞。 要求：c不是A(x)中的符號(hào)。二二.存在特指規(guī)則存在特指規(guī)則ES(Existential Specialization) 形式： xA(x)A(c) (其中c是論域內(nèi)指定客體) 含義：如果xA(x)為真，則在論域內(nèi)指定指定客體c， 都使得A(c)為真。 作用：去掉存在量詞。 要求： c不是A(x)中的符號(hào)。 用ES指定的客體c不應(yīng)該是在此之前在此之前用US規(guī)則或者用ES規(guī)則所指定的客體c(即本次用ES特指客體c，不應(yīng)該是以前特指的客體)。請(qǐng)看下面兩個(gè)例子：例1

57、. 令A(yù)(x)表示x是自然數(shù)，B(x)表示x是整數(shù)。 x(A(x)B(x) P A(c)B(c) US 如c=0.1 xA(x) P A(c) ES A(0.1)為F xB(x) P B(c) ES 如c=-1 xA(x) P A(c) ES A(-1)為F三三. .存在推廣規(guī)則存在推廣規(guī)則 EGEG (Existential Generalization) 形式： A(c)xA(x) (其中c是論域內(nèi)指定客體) 含義：如果在論域內(nèi)指定客體c使得 A(c)為真，則xA(x)為真。 作用：添加存在量詞。 要求：x不是A(c)中的符號(hào)。四四. .全稱推廣規(guī)則全稱推廣規(guī)則UGUG (Universa

58、l Generalization) 形式： A(c)xA(x) (其中c是論域內(nèi)任何指定客體) 含義：如果在論域內(nèi)任何指定客體c都使 得A(c)為真，則xA(x)為真。 作用：添加全稱量詞。 要求：x不是A(c)中的符號(hào)。 c一定是任意一定是任意的客體，否則不可全 稱推廣。例1 所有金屬都導(dǎo)電。銅是金屬。 故銅導(dǎo)電。令 M(x):x是金屬。C(x):x導(dǎo)電。a:銅。符號(hào)化為： x(M(x)C(x),M(a) C(a)x(M(x)C(x)P M(a)C(a) US M(a) P C(a) T I11 例2. 所有自然數(shù)都是整數(shù)。有些數(shù)是自然數(shù)。因此有些數(shù)是整數(shù)。令A(yù)(x)表示x是自然數(shù)，B(x)

59、表示x是整數(shù)。x(A(x)B(x)， xA(x) xB(x) xA(x) P A(c) ES x(A(x)B(x) P A(c)B(c) US B(C) T I11 xB(x) EG 例2中，如果按下面方法推理，是否正確？x(A(x)B(x)， xA(x) xB(x) x(A(x)B(x) P A(c)B(c) US xA(x) P A(c) ES B(C) T I11 xB(x) EG 問(wèn)題在哪里？例3 不認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的人，也不能改正錯(cuò)誤。有些誠(chéng)實(shí)的人改正了錯(cuò)誤。所以有些誠(chéng)實(shí)的人是認(rèn)識(shí)了錯(cuò)誤的人。設(shè)A(x):x是認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的人。 B(x):x改正了錯(cuò)誤。C(x):x是誠(chéng)實(shí)的人。符號(hào)化為：x(A(x

60、)B(x)，x(C(x)B(x), x(C(x)A(x)x(A(x)B(x)，x(C(x)B(x), x(C(x)A(x) x(C(x)B(x) P C(c)B(c) ES C(c) T I1 B(c) T I2 x(A(x)B(x)P A(c)B(c) US A(c) T I12 A(c) T E1 C(c)A(c) T I9 x(C(x)A(x) EG 例4 一些病人喜歡所有醫(yī)生。任何病人都不喜歡庸醫(yī)。所以沒(méi)有醫(yī)生是庸醫(yī)。設(shè): P(x):x是病人, D(x):x是醫(yī)生, Q(x):x是庸醫(yī), L(x,y): x喜歡y.符號(hào)化為： x(P(x)y(D(y)L(x,y)， x(P(x)y(Q(