評價數(shù)據(jù)離散程度的指標(biāo)

1、標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），也稱均方差（mean square error），是各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的距離的平均數(shù)，它是離均差平方和平均后的方根，用表示。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根。標(biāo)準(zhǔn)差能反映一個數(shù)據(jù)集的離散程度。平均數(shù)相同的，標(biāo)準(zhǔn)差未必相同。標(biāo)準(zhǔn)差（Standard Deviation），在概率統(tǒng)計中最常使用作為統(tǒng)計分布程度（statistical dispersion）上的測量。標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差的算術(shù)平方根，反映組內(nèi)個體間的離散程度。測量到分布程度的結(jié)果，原則上具有兩種性質(zhì)： 為非負(fù)數(shù)值， 與測量資料具有相同單位。 一個總量的標(biāo)準(zhǔn)差或一個隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，及一個子集

2、合樣品數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差之間，有所差別。標(biāo)準(zhǔn)計算公式 假設(shè)有一組數(shù)值X1,X2,X3,.Xn（皆為實數(shù)），其平均值為，公式如圖1. 圖1 標(biāo)準(zhǔn)差也被稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，或者實驗標(biāo)準(zhǔn)差，公式如圖2。 圖2 簡單來說，標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。 例如，兩組數(shù)的集合 0, 5, 9, 14 和 5, 6, 8, 9 其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標(biāo)準(zhǔn)差。 標(biāo)準(zhǔn)差可以當(dāng)作不確定性的一種測量。例如在物理科學(xué)中，做重復(fù)性測量時，測量數(shù)值集合的標(biāo)準(zhǔn)差代表這些測量的精確度。當(dāng)要決定測量值是否符合預(yù)測值

3、，測量值的標(biāo)準(zhǔn)差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預(yù)測值相差太遠(yuǎn)（同時與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值做比較），則認(rèn)為測量值與預(yù)測值互相矛盾。這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數(shù)值范圍之外，可以合理推論預(yù)測值是否正確。標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)用于投資上，可作為量度回報穩(wěn)定性的指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越大，代表回報遠(yuǎn)離過去平均數(shù)值，回報較不穩(wěn)定故風(fēng)險越高。相反，標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值越細(xì)，代表回報較為穩(wěn)定，風(fēng)險亦較小。 例如，A、B兩組各有6位學(xué)生參加同一次語文測驗，A組的分?jǐn)?shù)為95、85、75、65、55、45，B組的分?jǐn)?shù)為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數(shù)都是70，但A組的標(biāo)準(zhǔn)差為17.078分，B組的標(biāo)準(zhǔn)差為2.16分（此

4、數(shù)據(jù)是在R統(tǒng)計軟件中運行獲得），說明A組學(xué)生之間的差距要比B組學(xué)生之間的差距大得多。如是總體，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號內(nèi)N=n，如是樣本，標(biāo)準(zhǔn)差公式根號內(nèi)N=（n-1)，因為我們大量接觸的是樣本，所以普遍使用根號內(nèi)除以（n-1)。公式意義 所有數(shù)減去其平均值的平方和，所得結(jié)果除以該組數(shù)之個數(shù)（或個數(shù)減一，即變異數(shù))，再把所得值開根號，所得之?dāng)?shù)就是這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。 深藍(lán)區(qū)域是距平均值小于一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)的數(shù)值范圍。在正態(tài)分布中，此范圍所占比率為全部數(shù)值之68%。根據(jù)正態(tài)分布，兩個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)（深藍(lán)，藍(lán)）的比率合起來為95%。根據(jù)正態(tài)分布，三個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)（深藍(lán)，藍(lán)，淺藍(lán)）的比率合起來為99%。正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差的

5、意義標(biāo)準(zhǔn)計算公式 假設(shè)有一組數(shù)值（皆為實數(shù)），其平均值為： 此組數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)差為： 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 在真實世界中，除非在某些特殊情況下，找到一個總體的真實的標(biāo)準(zhǔn)差是不現(xiàn)實的。大多數(shù)情況下，總體標(biāo)準(zhǔn)差是通過隨機(jī)抽取一定量的樣本并計算樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計的。 從一大組數(shù)值當(dāng)中取出一樣本數(shù)值組合 ，常定義其樣本標(biāo)準(zhǔn)差： 樣本方差s是對總體方差的無偏估計。 s中分母為 n- 1 是因為樣本的自由度為n-1 ，這是由于存在約束條件 。 這里示范如何計算一組數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。例如一群兒童年齡的數(shù)值為 5, 6, 8, 9 ： 第一步，計算平均值 第二步，計算標(biāo)準(zhǔn)差 = 此為標(biāo)準(zhǔn)差離散度標(biāo)準(zhǔn)差是反應(yīng)一組數(shù)據(jù)離散程度最常用的一

6、種量化形式，是表示精確度的重要指標(biāo)。說起標(biāo)準(zhǔn)差首先得搞清楚它出現(xiàn)的目的。我們使用方法去檢測它，但檢測方法總是有誤差的，所以檢測值并不是其真實值。檢測值與真實值之間的差距就是評價檢測方法最有決定性的指標(biāo)。但是真實值是多少，不得而知。因此怎樣量化檢測方法的準(zhǔn)確性就成了難題。這也是臨床工作質(zhì)控的目的：保證每批實驗結(jié)果的準(zhǔn)確可靠。 雖然樣本的真實值是不可能知道的，但是每個樣本總是會有一個真實值的，不管它究竟是多少。可以想象，一個好的檢測方法，其檢測值應(yīng)該很緊密的分散在真實值周圍。如果不緊密，與真實值的距離就會大，準(zhǔn)確性當(dāng)然也就不好了，不可能想象離散度大的方法，會測出準(zhǔn)確的結(jié)果。因此，離散度是評價方法的

7、好壞的最重要也是最基本的指標(biāo)。 一組數(shù)據(jù)怎樣去評價和量化它的離散度呢?人們使用了很多種方法： 1. 極差最直接也是最簡單的方法，即最大值最小值（也就是極差）來評價一組數(shù)據(jù)的離散度。這一方法在日常生活中最為常見，比如比賽中去掉最高最低分就是極差的具體應(yīng)用。 2. 離均差的平方和由于誤差的不可控性，因此只由兩個數(shù)據(jù)來評判一組數(shù)據(jù)是不科學(xué)的。所以人們在要求更高的領(lǐng)域不使用極差來評判。其實，離散度就是數(shù)據(jù)偏離平均值的程度。因此將數(shù)據(jù)與均值之差（我們叫它離均差）加起來就能反映出一個準(zhǔn)確的離散程度。和越大離散度也就越大。 但是由于偶然誤差是成正態(tài)分布的，離均差有正有負(fù)，對于大樣本離均差的代數(shù)和為零的。為了

8、避免正負(fù)問題，在數(shù)學(xué)有上有兩種方法：一種是取絕對值，也就是常說的離均差絕對值之和。而為了避免符號問題，數(shù)學(xué)上最常用的是另一種方法平方，這樣就都成了非負(fù)數(shù)。因此，離均差的平方和成了評價離散度 一個指標(biāo)。 3. 方差（S2）由于離均差的平方和與樣本個數(shù)有關(guān)，只能反應(yīng)相同樣本的離散度，而實際工作中做比較很難做到相同的樣本，因此為了消除樣本個數(shù)的影響，增加可比性，將標(biāo)準(zhǔn)差求平均值，這就是我們所說的方差成了評價離散度的較好指標(biāo)。 樣本量越大越能反映真實的情況，而算數(shù)均值卻完全忽略了這個問題，對此統(tǒng)計學(xué)上早有考慮，在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1)，它的意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個

9、時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。 4. 標(biāo)準(zhǔn)差（SD）由于方差是數(shù)據(jù)的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來這就是我們要說的標(biāo)準(zhǔn)差。 在統(tǒng)計學(xué)中樣本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是樣本能自由選擇的程度。當(dāng)選到只剩一個時，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。 5. 變異系數(shù)（CV）標(biāo)準(zhǔn)差能很客觀準(zhǔn)確的反映一組數(shù)據(jù)的離散程度，但是對于不同的檢目，或同一項目不同的樣本，標(biāo)準(zhǔn)差就缺乏可比性了，因此對于方法學(xué)評價來說又引入了變異系數(shù)CV。 一組數(shù)據(jù)的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差常常同時做為參考的依據(jù)。在直覺上，如果數(shù)值的中心以平均值來考慮，則標(biāo)準(zhǔn)差為統(tǒng)計分

10、布之一“自然”的測量。 定義公式：其中N應(yīng)為n-1，即自由度 1. 變異系數(shù)（CV）在描述波動情況的統(tǒng)計量時有一個變異系數(shù)CV=S/(X的平均)，是用于不同數(shù)據(jù)的離散程度的比較 變異系數(shù)就是幾個數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比值。 求標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)是STDEV 求均值的函數(shù)是AVERAGE 比如你的數(shù)據(jù)分別在A1,A2,A3 選中B1，輸入=STDEV(A1:A3)然后回車 再選中C1，輸入=AVERAGE(A1:A3)回車 再選中D1，輸入=B1/C1回車 這樣D1就是數(shù)據(jù)A1,A2,A3的變異系數(shù)了。 一般變異系數(shù)用百分?jǐn)?shù)表示異系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的變異指標(biāo)與其平均指標(biāo)之比，它是一個相對變異指標(biāo)。 變異系數(shù)

11、有全距系數(shù)、平均差系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)等。常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，用CV(Coefficient of Variance)表示。 CV(Coefficient of Variance):標(biāo)準(zhǔn)差與均值的比率。 用公式表示為：CV/ 作用：反映單位均值上的離散程度，常用在兩個總體均值不等的離散程度的比較上。若兩個總體的均值相等，則比較標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)與比較標(biāo)準(zhǔn)差是等價的。 變異系數(shù)又稱離散系數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差與平均值定義公式1、方差s2=(x1-x)2+(x2-x)2+.(xn-x)2/(n) （x為平均數(shù)） 2、標(biāo)準(zhǔn)差=方差的算術(shù)平方根 error bar。在實驗中單次測量總是難免會產(chǎn)生誤差，為此我們經(jīng)常測量多次，然

12、后用測量值的平均值表示測量的量，并用誤差條來表征數(shù)據(jù)的分布，其中誤差條的高度為±標(biāo)準(zhǔn)誤。這里即標(biāo)準(zhǔn)差standard deviation和標(biāo)準(zhǔn)誤standard error 的計算公式分別為 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)誤解釋從幾何學(xué)的角度出發(fā)，標(biāo)準(zhǔn)差可以理解為一個從n維空間的一個點到一條直線的距離的函數(shù)。舉一個簡單的例子，一組數(shù)據(jù)中有3個值，X1,X2,X3。它們可以在3維空間中確定一個點 P = (X1,X2,X3)。想像一條通過原點的直線 。如果這組數(shù)據(jù)中的3個值都相等，則點 P 就是直線 L 上的一個點，P 到 L 的距離為0, 所以標(biāo)準(zhǔn)差也為0。若這3個值不都相等，過點 P 作垂線 PR 垂

13、直于 L，PR 交 L 于點 R，則 R 的坐標(biāo)為這3個值的平均數(shù)： （公式）運用一些代數(shù)知識，不難發(fā)現(xiàn)點P與點R之間的距離(也就是點 P 到直線 L 的距離)是。在 n 維空間中，這個規(guī)律同樣適用，把3換成 n 就可以了。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)誤都是心理統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)容，兩者不但在字面上比較相近，而且兩者都是表示距離某一個標(biāo)準(zhǔn)值或中間值的離散程度，即都表示變異程度，但是兩者是有著較大的區(qū)別的。 首先要從統(tǒng)計抽樣的方面說起。現(xiàn)實生活或者調(diào)查研究中，我們常常無法對某類欲進(jìn)行調(diào)查的目標(biāo)群體的所有成員都加以施測，而只能夠在所有成員（即樣本）中抽取一些成員出來進(jìn)行調(diào)查，然后利用統(tǒng)計原理和方法對所

14、得數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析出來的數(shù)據(jù)結(jié)果就是樣本的結(jié)果，然后用樣本結(jié)果推斷總體的情況。一個總體可以抽取出多個樣本，所抽取的樣本越多，其樣本均值就越接近總體數(shù)據(jù)的平均值。 表示的就是樣本數(shù)據(jù)的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差就是樣本平均數(shù)方差的開平方，標(biāo)準(zhǔn)差通常是相對于樣本數(shù)據(jù)的平均值而定的，通常用M±SD來表示，表示樣本某個數(shù)據(jù)觀察值相距平均值有多遠(yuǎn)。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)差受到極值的影響。標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明數(shù)據(jù)越聚集；標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)越離散。標(biāo)準(zhǔn)差的大小因測驗而定，如果一個測驗是學(xué)術(shù)測驗，標(biāo)準(zhǔn)差大，表示學(xué)生分?jǐn)?shù)的離散程度大，更能夠測量出學(xué)生的學(xué)業(yè)水平；如果一個測驗測量的是某種心理品質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)差小，表明所編

15、寫的題目是同質(zhì)的，這時候的標(biāo)準(zhǔn)差小的更好。標(biāo)準(zhǔn)差與正態(tài)分布有密切聯(lián)系：在正態(tài)分布中，1個標(biāo)準(zhǔn)差等于正態(tài)分布下曲線的68.26%的面積，1.96個標(biāo)準(zhǔn)差等于95%的面積。這在測驗分?jǐn)?shù)等值上有重要作用。 標(biāo)準(zhǔn)誤 表示的是抽樣的誤差。因為從一個總體中可以抽取出無數(shù)多種樣本，每一個樣本的數(shù)據(jù)都是對總體的數(shù)據(jù)的估計。標(biāo)準(zhǔn)誤代表的就是當(dāng)前的樣本對總體數(shù)據(jù)的估計，標(biāo)準(zhǔn)誤代表的就是樣本均數(shù)與總體均數(shù)的相對誤差。標(biāo)準(zhǔn)誤是由樣本的標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的開平方來計算的。從這里可以看到，標(biāo)準(zhǔn)誤更大的是受到樣本容量的影響。樣本容量越大，標(biāo)準(zhǔn)誤越小，那么抽樣誤差就越小，就表明所抽取的樣本能夠較好地代表總體。 Excel函數(shù) Excel中有STDEV、STDEVP、STDEVA、STDEVPA四個函數(shù)，分別表示樣本標(biāo)準(zhǔn)差、總體標(biāo)準(zhǔn)差；包含邏輯值運算的樣本標(biāo)準(zhǔn)差、包含邏輯值運算的總體標(biāo)準(zhǔn)差（excel用的是“標(biāo)準(zhǔn)偏差”字樣）。 在計算方法上的差異是：樣本標(biāo)準(zhǔn)差=（樣本方差/(數(shù)據(jù)個數(shù)-1)2；總體