興義天賦中學(xué)數(shù)學(xué)必修二教案排列組合和二項(xiàng)式定理小結(jié)與復(fù)習(xí)

1、興義市天賦中學(xué)數(shù)學(xué)必修二教案：第十章排列組合和二項(xiàng)式定理小結(jié)與復(fù)習(xí)(1)教學(xué)目的：1 .使學(xué)生掌握兩個(gè)原理以及排列組合的概念、計(jì)算等內(nèi)容，并能比較熟練地運(yùn)用.2 通過問題形成過程和解決方法的分析，提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力.3 引導(dǎo)養(yǎng)成學(xué)生分析過程、深刻思考、靈活運(yùn)用的習(xí)慣和態(tài)度教學(xué)過程：一、知識(shí)點(diǎn)：1 .分類計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有 n類辦法，在第一類辦法中有 m種不同的方法，在第 二類辦法中有 m2種不同的方法，在第 n類辦法中有 mn種不同的方法那么完成這件事共有 N mi m2 Lmn種不同的方法2. 分步計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有 m,

2、種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N 葉 m? L g 種不同的方法.3 排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取 m ( m n )個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定. 的順序排成一列，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列*4排列數(shù)的定義： 從n個(gè)不同元素中，任取 m ( m n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aj表示，5排列數(shù)公式：Aj n(n 1)(n 2)L (n m 1) ( m, n N ,m n)6階乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘+規(guī)定0! 1 7 排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公

3、式：aJ= J(n m)!8 .組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出 m m n個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中 取出m個(gè)元素的一個(gè)組合+9.組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出 m m n個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)cn"表示.10.組合數(shù)公式:Amm n_CnAn(n 1)(n 2)L (n m 1)m!n!m!( n m)!(n, m N ,且m n)”11. 組合數(shù)的性質(zhì)1 : cm C； m 規(guī)定：Cn01 ；12. 組合數(shù)的性質(zhì)2: c：1 = cj+c,1 二、解題思路：解排列組合問題，首先要弄清一件事是“分類”還是“

4、分步”完成，對(duì)于元素之間的關(guān)系，還要考慮“是有序”的還是“無序的”，也就是會(huì)正確使用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理、排列定義和組合定義， 其次，對(duì)一些復(fù)雜的帶有附加條件的問題，需掌握以下幾種常用的解題方法：特殊優(yōu)先法.對(duì)于存在特殊元素或者特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些特殊的東西入手， 先解決特殊元素或特殊位置，再去解決其它元素或位置，這種解法叫做特殊優(yōu)先法.例如：用0、1、2、3、4這5個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有 個(gè).（答案：30個(gè)）科學(xué)分類法.對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題，由于情況繁多，因此要對(duì)各種不同情況，進(jìn)行科學(xué)分類，以便有條不紊地進(jìn)行解答， 避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象發(fā)生例

5、如：從6臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和5臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任取 5臺(tái)， 其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái)，則不同的選取法有 種.（答案：350）插空法+解決一些不相鄰問題時(shí)，可以先排一些元素然后插入其余元素，使問題得以解決+例如：7人站成一行，如果甲乙兩人不相鄰，則不同排法種數(shù)是 .（答案：3600）捆綁法+相鄰元素的排列，可以采用“整體到局部”的排法，即將相鄰的元素當(dāng)成“一個(gè)”元素進(jìn)行排 列，然后再局部排列*例如：6名同學(xué)坐成一排，其中甲、乙必須坐在一起的不同坐法是 種.（答案：240）排除法+從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法b、排列組合應(yīng)用題往往和代數(shù)、三角、立體幾何、平面解析幾何的某些

6、知識(shí)聯(lián)系，從而增加了問題的綜 合性，解答這類應(yīng)用題時(shí)，要注意使用相關(guān)知識(shí)對(duì)答案進(jìn)行取舍.例如：從集合0,1, 2, 3，5，7，11中任取3個(gè)元素分別作為直線方程 Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線有 條.（答案：30）三、講解范例：例1由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)*（1 ）求三個(gè)偶數(shù)必相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)；（2）求三個(gè)偶數(shù)互不相鄰的七位數(shù)的個(gè)數(shù)解（1）:因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)2、4、6必須相鄰，所以要得到一個(gè)符合條件的七位數(shù)可以分為如下三步：第一步將1、3、5、7四個(gè)數(shù)字排好有P：種不同的排法；第二步將2、4、6三個(gè)數(shù)字“捆綁”在一起有P33種不同的“捆

7、綁”方法 ；第三步將第二步“捆綁”的這個(gè)整體“插入”到第一步所排的四個(gè)不同數(shù)字的五個(gè)“間隙”（包括兩端的兩個(gè)位置 ）中的其中一個(gè)位置上 ，有P?種不同的“插入”方法 +根據(jù)乘法原理共有 P44 ? P33 ? P5 = 720種不同的排法所以共有720個(gè)符合條件的七位數(shù)解（2）：因?yàn)槿齻€(gè)偶數(shù)2、4、6互不相鄰，所以要得到符合條件的七位數(shù)可以分為如下兩步：第一步將1、3、5、7四個(gè)數(shù)字排好，有P44種不同的排法；第二步將2、4、6分別“插入”到第一步排的四個(gè)數(shù)字的五個(gè)“間隙”（包括兩端的兩個(gè)位置）中的三個(gè)位置上，有P53種“插入”方法+根據(jù)乘法原理共有 P：?P； = 1440種不同的排法所以共

8、有1440個(gè)符合條件的七位數(shù)例2 將A、E、C、D、E、F分成三組，共有多少種不同的分法？解：要將A、E、C、D、E、F分成三組，可以分為三類辦法：（1 14）分法、 （1 2 3 ）分法、 （2 2 2 ）分法 ，下面分別計(jì)算每一類的方法數(shù)：第一類（1 14）分法，這是一類整體不等分局部等分的問題，可以采用兩種解法+解法一：從六個(gè)元素中取出四個(gè)不同的元素構(gòu)成一個(gè)組，余下的兩個(gè)元素各作為一個(gè)組，有c66種不同的分法.解法二：從六個(gè)元素中先取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有cl種選法，再從余下的五個(gè)元素中取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有 C；種選法，最后余下的四個(gè)元素自然作為一個(gè)組，由于第一步和第二步各選取 出一

9、個(gè)元素分別作為一個(gè)組有先后之分，產(chǎn)生了重復(fù)計(jì)算，應(yīng)除以P21c1 ?c1所以共有 C6 -2C5 = 15種不同的分組方法+p;第二類（1 2 3）分法，這是一類整體和局部均不等分的問題，首先從六個(gè)不同的元素中選 取出一個(gè)元素作為一個(gè)組有c6種不同的選法， 再從余下的五個(gè)不同元素中選取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有 c5種不同的選法，余下的最后三個(gè)元素自然作為一個(gè)組，根據(jù)乘法原理共有c6?c5 =60種不同的分組方法+由于三組等分存在先后選取的不同的順序,第三類（2 2 2 ）分法，這是一類整體“等分”的問題，首先從六個(gè)不同元素中選取出兩個(gè) 不同元素作為一個(gè)組有 d 種不同的取法， 再從余下的四

10、個(gè)元素中取出兩個(gè)不同的元素作為一個(gè)組有c;種不同的取法，最后余下的兩個(gè)元素自然作為一個(gè)組所以應(yīng)除以p33，因此共有P33=15種不同的分組方法根據(jù)加法原理，將A、E、C、D、E、F六個(gè)元素分成三組共有：15 + 60 + 15 = 90種不同的方法”例3 排九個(gè)坐位有六個(gè)人坐，若每個(gè)空位兩邊都坐有人，共有多少種不同的坐法？解：九個(gè)坐位六個(gè)人坐，空了三個(gè)坐位，每個(gè)空位兩邊都有人，等價(jià)于三個(gè)空位互不相鄰，可以看做將六個(gè)人先依次坐好有P66種不同的坐法，再將三個(gè)空坐位“插入”到坐好的六個(gè)人之間的五個(gè)“間隙”（不包括兩端）之中的三個(gè)不同的位置上有C；種不同的“插入”方法 .根據(jù)乘法原理共有P6?C；

11、= 7200種不同的坐法.四、課堂練習(xí)：1. 從1、2、3、4、20中任選3個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列最多有（）90 個(gè) （B） 180 個(gè)（c） 200 個(gè) （D 120 個(gè)2. 男女學(xué)生共有8人，從男生中選取2人，且從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有（）2人或3人（B） 3人或4人（c） 3人（D） 4人3. 從編號(hào)分別為1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11的11個(gè)球中，取出5個(gè)小球，使這5個(gè)小球的編號(hào)之和為奇數(shù)，其方法總數(shù)為（）（A） 200（ B） 230（ c） 236（ D） 2064. 蘭州某車隊(duì)有裝有 A, B

12、, C, D, E, F六種貨物的卡車各一輛，把這些貨物運(yùn)到西安，要求裝A種貨物，B種貨物與E種貨物的車，到達(dá)西安的順序必須是 A, B, E （可以不相鄰，且先發(fā)的車先到），則這六輛車 發(fā)車的順序有幾種不同的方案（）（A）80（ B）120（C）240（D）3605. 用0, 1, 2, 3, 4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)夾在兩個(gè)奇數(shù)之間的五位數(shù) 的個(gè)數(shù)是（）（A） 48（ B） 36（C） 28（ D） 12 6.某藥品研究所研制了 5種消炎藥a1,a2,a3,a4,a5,4種退燒藥b1,b2,b3,b4,現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時(shí)使用進(jìn)行療效實(shí)驗(yàn)，但又知

13、a1,a2,兩種藥必須同時(shí)使用，且 a3,b4兩種藥不能同時(shí)使用，則不同的實(shí)驗(yàn)方案有（）（A） 27 種（B） 26 種（C） 16 種（D） 14 種7.某池塘有A, B, C三只小船，A船可乘3人，B船可乘2人，C船可乘1人，今天3個(gè)成人和2個(gè)兒童 分乘這些船只，為安全起見，兒童必須由成人陪同方能乘船，他們分乘這些船只的方法共有（）120 種（B） 81 種（C） 72 種（D） 27 種8.梯形的兩條對(duì)角線把梯形分成四部分，有五種不同的顏色給這四部種顏色，任何相鄰(具有公共邊)的兩部分涂不同的顏色，則不同180 種(B)240 種(C) 260 種(D) 320 種9將1，2，3，4，5

14、，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)排成三橫三縱的方陣， 數(shù)從前到后都是由從小到大排列，則不同的排法種數(shù)是_分涂色，每一部分涂一的涂色方法有()要求每一豎列的三個(gè)10.10個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子的球數(shù)不小于它的編號(hào)數(shù)，則不同的放法共有種，11. 過正方體的每三個(gè)頂點(diǎn)都可確定一個(gè)平面，其中能與這個(gè)正方體的12條棱所成的角都相等的不同平面的個(gè)數(shù)為 個(gè)*12. 從單詞“equation ”中選取5個(gè)不同的字母排成一排，含有"qu”(其中“ qu”相連且順序不變)的不同的排列共有()120 個(gè)(B) 480 個(gè)(C) 720 個(gè)(D) 840 個(gè)13.將5枚相同的紀(jì)念

15、郵票和 8張相同的明信片作為禮品送給甲、乙兩名學(xué)生，全部分完且每人至少有 件禮品，不同的分法是( )(A) 52( B) 40( C) 38( D) 11參考答案：1.(B). 2.(A). 3.(C). 4.(B). 5.(C). 6.(D). 7.(D). 8.(C). 9.1680. 10.15.11.8. 12.(B). 13.(A),五、小結(jié)：m個(gè)不同的元素必須相鄰，有Pmm種“捆綁”方法+m個(gè)不同元素互不相鄰，分別“插入”至山個(gè)“間隙”中的m個(gè)位置有 方法*m個(gè)相同的元素互不相鄰，分別“插入”到n個(gè)“間隙”中的m個(gè)位置，有Pnm種不同的“插入”cm種不同的“插若干個(gè)不同的元素“等分

16、”為m個(gè)組，要將選取出每一個(gè)組的組合數(shù)的乘積除以p +六、課后作業(yè)：1.有1元、2元、5元、50元、100元的人民幣各一張，取其中的一張或幾張，能組成多少種不同的幣值 ？7個(gè)電阻串聯(lián)在一起連成一串，中間只要有一個(gè)壞了 ，這串電阻就失效，因電阻損壞而失效的可能性 種數(shù)是多少？解： c6 c(2C(6 26 1 63種仿照，共有127種.2在(2x 3y)10的展開式中，求：二項(xiàng)式系數(shù)的和；各項(xiàng)系數(shù)的和；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和；x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與x的偶次項(xiàng)系數(shù)和.分析：因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)特指組合數(shù),故在，中只需求組合數(shù)的和，而與二項(xiàng)式2x 3y中的系數(shù)無

17、關(guān).101098210解：設(shè)(2x 3y)a°xax y a2x yay (*),各項(xiàng)系數(shù)和即為a0a1a10 ,奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為比a2L 昕，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a3a9 , x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為aia3a5a9 , x的偶次項(xiàng)系數(shù)和aio.由于(*)是恒等式，故可用"賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和210令x y 1,各項(xiàng)系數(shù)和為(23)10 (1)10 1奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C10C0Cw29偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為C；0C30C1029設(shè)(2x 3y)10 a0x109aM ya2x8y2a10y令x y 1,得到a0a1a2a101 -(1),令 x 1, y1 (或 x1,y 1)得 a。a1a2a3(1)+(2)得 2(a。 a2a10 )1 510,10奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為c：015102二項(xiàng)式系數(shù)和為C00 c；0aio 510 (2)-得2佝 a3a9)1510偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1 510-2x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為a1a3a5a915102-X的偶次項(xiàng)系數(shù)和為a0 a2 a4aio15102點(diǎn)評(píng)：要把“二項(xiàng)式系數(shù)的和”與“各項(xiàng)系數(shù)和”，“奇(偶)數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與奇(偶)次項(xiàng)系數(shù)和”區(qū)別開來，“賦值法”是求系數(shù)和的常規(guī)方法之一3已知(3 xx2)2n的展開式的系數(shù)和比(3x 1)n的展開式的系數(shù)和大992,求