-微分運(yùn)算法則ppt課件

1、l 第一節(jié) 預(yù)備知識 l 第二節(jié) 極限與連續(xù) l 第三節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 l 第四節(jié) 微分運(yùn)算法則 l 第五節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 l 第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用l 第七節(jié) 多元函數(shù)的Taylor公式與極值 l*第八節(jié) n元m維向量值函數(shù)的微分法 l 第九節(jié) 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù) 第五章第五章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用),(vufz 在在) ,(vu處處可可微微， 證證明明：xx 以以增增量量給給， , , vuvu 得得相相應(yīng)應(yīng)的的增增量量則則， 從從而而),(vufz 有有全全增增量量) ,() ,(vufvvuufz ， 4.1 復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法（一

2、中間變量均為一元函數(shù)（一中間變量均為一元函數(shù) )( ovvzuuzz，其其中中22)()(vu 。 xoxvvzxuuzxz )( )(xu 、)(xv 都都可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn) x， )(xu 、)(xv 都都必必連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) x， 即即當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，0 u，0 v，從從而而0lim0 x。 而而xoxoxx )(lim)(lim00 )()(lim)(lim2200 xvxuoxx 簡簡言言之之“按按線線相相乘乘，分分線線相相加加” 。 dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz 。 例例如如：),(wvufz ，而而)( , )( ),(xwwxvvxuu ，則則 )(),(),(x

3、wxvxufz ， xoxvvzxuuzxzxxxx )(lim)(lim)(limlim0000， 即即xdvdvzxduduzdxzd 。 全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式可可形形象象地地表表示示為為 zuvxxzuvxwxxdtdztvtuvezu求設(shè)cos,sin,2sin)sin(2cos2cos2sin:tvetvedtdvvzdtduuzdtdzuu解ttettttesinsin)cos2cos(sin2cos2sincos.,arctan,),(dtdztveuvufzt求設(shè)vutftfedtdvvzdtduuzdtdz211:解例1例2解解法法 2 2： xxezxarctancos ，

4、 211)sin(cosxxxedxdzx 。 zuvxxx211)sin(xxuvex .11)sin(cos2xxxex zuvxyxyxvvzxuuzxz yvvzyuuzyz （ 二中間變量均為多元函數(shù)二中間變量均為多元函數(shù)zxyxyuvtxy若若) ,(tvufz ，而而),(),(),(yxttyxvvyxuu ， 則則),(, ),(, ),(yxtyxvyxufz ， xttzxvvzxuuzxz yttzyvvzyuuzyz 例如：設(shè)例如：設(shè)),(vufz ，)(),(xvyxu 和和， 則則)(),(xyxfz ， 在復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)過程中，如果出現(xiàn)某一函數(shù)的中間在復(fù)合函數(shù)的

5、求導(dǎo)過程中，如果出現(xiàn)某一函數(shù)的中間 變量是一元函數(shù)，則涉及它的偏導(dǎo)數(shù)的記號應(yīng)改為一元變量是一元函數(shù)，則涉及它的偏導(dǎo)數(shù)的記號應(yīng)改為一元 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記號。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)記號。 zuvxyxxdvdvzxuuzxz yuuzyz 注注意意： 這這里里xz 與與xf 是是不不同同的的，xz 是是把把復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù) yyxyxfz , ),(中中的的 看看作作不不變變而而對對的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) x， , ),( yuyxufxf中中的的是是把把 看看作作不不變變而而對對的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) x。 zuxyxy解解：xvvzxuuzxz )cossin(22cos2sinvxvyexveyveuuu )cos()

6、sin(2222yxxyxyexy ； yvvzyuuzyz )cossin2(cos2sinvvxevexveuuu )cos()sin(2222yxyxxexy 。 zuvxyxy 解解：xzzfxfxu 求求xu 和和yu 。 yxzexezyxzyxsin222222222 ).sin21(222sin2422yxxeyxyx yzzfyfyu yxzeyezyxzyxcos222222222 )cossin(24sin2422yyxyeyxyx . zuxyxyvuvufyfxvfxufxz2 ， 解解：設(shè)設(shè)yxu ，2xyv ， ),( vufz 則則xfyxffyfxxzvuvu

7、 2222)( )(2xvfxufyxvfxufvvvuuvuu )(222vvvuuvuufyfyfyf vvuvuufyfyf422 。 uxyfvxyuxyufvxyuxyvfvxy 為為了了書書寫寫簡簡單單起起見見，可可不不設(shè)設(shè)yxu ，2xyv ，而而 把把2 , xyyx 分分別別簡簡記記為為 1 1，2 2，則則有有1ffu ，2ffv， 11ffuu ， 12ffuv ，22ffvv 。 vvuvuyfyfyyffyfyyxz2)(222 vvvvuuvuuyfyvfyufyyvfyuf22 vvvuvuuyffxyfyxyf22)2(32 。 vvvvuuvuuyfxyffy

8、xyff22)1(22 uxyufvxyuxyvfvxy 設(shè)設(shè)) ,(vufz 可可微微， （1 1）若若vu ,是是自自變變量量，則則dvvzduuzdz 。 （2 2）若若vu ,是是中中間間變變量量， 即即) ,(vufz ，),(yxu ，),(yxv ， 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)) ,(), ,(yxyxfz 的的全全微微分分為為 dyyzdxxzdz dyyvvzyuuzdxxvvzxuuz)()( )()(dyyvdxxvvzdyyudxxuuz dvvzduuz 。 l 一階全微分的形式不變性一階全微分的形式不變性 由由此此可可見見，無無論論的的函函數(shù)數(shù)或或中中間間變變量量是是自自

9、變變量量 , vuz 的的函函數(shù)數(shù) , vu，它它的的全全微微分分形形式式是是一一樣樣的的，此此性性質(zhì)質(zhì)稱稱為為 全全微微分分形形式式不不變變性性。 yzxz 和和求求 。 )()2(ydxxdyedzexyz ， 解解：0)2( zxyezed， 02)( dzedzxydezxy， 4.2 4.2 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法 設(shè)設(shè)二元二元函數(shù)函數(shù)),(yxF滿足下列條件：滿足下列條件： （1 1）),( ),(yxFyxFyx在點(diǎn)在點(diǎn)),(yxP的某一鄰域內(nèi)連續(xù)；的某一鄰域內(nèi)連續(xù)； （2 2）0),( yxF； （； （3 3）0),( yxFy， 則方程則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(

10、yxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一的某一鄰域內(nèi)恒能唯一 確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ， 它滿足它滿足)(xfy ，并有，并有 yxFFdxdy 。 兩兩端端對對x求求導(dǎo)導(dǎo)，得得0 dxdyFFyx， 定定理理的的證證明明從從略略，僅僅就就公公式式作作如如下下推推導(dǎo)導(dǎo)： 把把)(xfy 代代入入方方程程0),( yxF，得得0)(, xfxF， yF連連續(xù)續(xù)，且且0),( yxFy， 存存在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域，在在這這個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)0 yF， yxFFdxdy 。 Fxyx解：設(shè)解：設(shè)1),(22 yxyxF，則，則xFx2 ，

11、yFy2 處處連續(xù)，處處連續(xù)， 時(shí)時(shí)，方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn)) ,(yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能確確定定唯唯一一 的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xyy ，且且 yxyxFFdxdyyx 22。 方程方程01),(22 yxyxF 表示單位圓。從圖中直觀地可表示單位圓。從圖中直觀地可 見，只要見，只要)0 , 1() ,( yx，則，則 在在) ,(yx附近的一段圓弧的方附近的一段圓弧的方 程就可用唯一的程就可用唯一的)(xfy 表示表示 （21 xy 或或21 xy ） 。） 。 21 xy 21 xy oxy)0 , 1()0 , 1( )0 , 1(但但在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1( 的的任任一一鄰

12、鄰域域內(nèi)內(nèi)的的圓圓弧弧，總總是是由由21 xy 與與21 xy 的的一一小小段段組組成成, ,說說明明在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 1( 的的任任一一 鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，方方程程0122 yx都都不不能能確確定定唯唯一一的的隱隱函函數(shù)數(shù)。 2222222222)()(11yxyxyxyyxxxyxyyxxFx ， 解解：設(shè)設(shè)xyyxyxFarctan)ln(21),(22 ， 2222222221)(11yxxyyxxyxyxxyyxyFy ， yxyxFFdxdyyx 。 設(shè)（設(shè)（1 1）函數(shù)）函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(zyxP的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)zyxFFF,；

13、 （2 2）0),( zyxF； （； （3 3）0),( zyxFz； 則方程則方程0),( zyxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯的某一鄰域內(nèi)恒能唯 一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ， 它滿足條件它滿足條件),(yxfz ，并有，并有 zxFFxz ， zyFFyz 0 xzFFzx， 0 xzFFzy， 0),(, yxfyxF， 定定理理的的證證明明從從略略，僅僅就就公公式式作作如如下下推推導(dǎo)導(dǎo)： zF連連續(xù)續(xù)，且且0),( zyxFz， 存存在在點(diǎn)點(diǎn)),(zyx的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域，在在這這個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)0

14、zF， zxFFxz ，zyFFyz 。 將將),(yxfz 代代入入0),( zyxF， FxyzxyxFx2 ，yFy4 ，zFz6 ， zxzxFFxzzx362 ， zyzyFFyzzy3264 。 解解法法 1 1：令令432),(222 zyxzyxF， 解解法法 2 2：432222 zyx， 0642 zdzydyxdx， zxxz3 ， zyyz32 。 dyzydxzxdz323 ， 322292 )32(3)1(3)(zxyzyzxyzzxxzyyxz 。 解解：設(shè)設(shè)),(),(bzyazxFzyx ，則則 1Fx ，2Fy ， 21bFaFz ， 211bFaFFxzz

15、x ， 212bFaFFyzzy ， 故故1212211 bFaFbFbFaFaFyzbxza。 以以 0),(0),(vuyxGvuyxF為例。為例。 定定理理的的證證明明從從略略，僅僅就就公公式式作作如如下下推推導(dǎo)導(dǎo)： 則則由由方方程程組組 0),(0),(vuyxGvuyxF在在點(diǎn)點(diǎn) P 的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能確確定定 一一組組單單值值連連續(xù)續(xù)且且具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的函函數(shù)數(shù) ),( ),( yxvvyxuu 滿滿足足),( ),( yxvvyxuu 且且 ),(),(1 ,),(),(1xuGFJxvvxGFJxu ),(),(1 ,),(),(1yuGFJy

16、vvyGFJyu 由由于于, 0),( ),( , ,(0),( ),( , ,( yxvyxuyxGyxvyxuyxF兩兩邊邊對對求求導(dǎo)導(dǎo) x， ,00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux在在點(diǎn)點(diǎn)),(vuyxP的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)0 vuvuGGFFJ， ),(),(1 ,),(),(1xuGFJxvvxGFJxu 。 同同理理可可得得),(),(1 ,),(),(1yuGFJyvvyGFJyu 。 分析分析：所求偏導(dǎo)數(shù)表明所求偏導(dǎo)數(shù)表明為為因因變變量量 ,vu，yx ,為自變量，為自變量， 故故),(yxuu ，),(yxvv 。 .,yvyuxvxu 用用Cramer法法則則解解之之，得得 解解法法 1：將將方方程程組組兩兩邊邊對對求求導(dǎo)導(dǎo) x，得得 00 xvxvxuyxvyxuxu， 即即 vxvxxuyuxvyxux， 22yxyvxuxyyxxvyuxu ；22yxxvyuxyyxvyuxxv 。 將將方方程程組組兩兩邊邊對對求求導(dǎo)導(dǎo) y，得得 00yvxyuyuyvyvyux，即即 uyvxyuyvyvyyux， 22yxyuxvxyyxxuyvyu ；22