數(shù)學(xué)在物理中的運(yùn)用

1、16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)物理中的數(shù)學(xué)方法物理中的數(shù)學(xué)方法南京市中華中學(xué) 王高 數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，其思想、方法和知識(shí)始終滲透、貫穿于整個(gè)物理學(xué)習(xí)和研究的過程中，為物理概念、定律的表述提供簡(jiǎn)潔、精確的數(shù)學(xué)語言，為學(xué)生進(jìn)行抽象思維和邏輯推理提供有效的方法，為物理學(xué)中的數(shù)量分析和計(jì)算提供有力的工具高考物理試題的解答離不開數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的應(yīng)用，借助物理知識(shí)考查數(shù)學(xué)方法應(yīng)用能力是高考命題的永恒主題 16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí) 在物理考試大綱中明確提出:“能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論、必要

2、時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析。能進(jìn)行正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算”.16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)2009年江蘇高考物理科目考試說明中的能力要求4.應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力 能夠根據(jù)具體問題找出物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)、規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)、求解和合理外推，并根據(jù)結(jié)果作出物理判斷、進(jìn)行物理解釋或得出物理結(jié)論。 能根據(jù)物理問題的實(shí)際情況和所給條件，恰當(dāng)運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像等形式和方法進(jìn)行分析、表達(dá)。能夠從所給圖像通過分析找出其所表示的物理內(nèi)容和解決物理問題。16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí) 所謂數(shù)學(xué)方法，就是要把客觀事物的狀態(tài)、關(guān)系

3、和過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，并進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)測(cè)可以說，任何物理試題的求解過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題再經(jīng)過求解還原為物理結(jié)論的過程 處理中學(xué)物理問題，常用的數(shù)學(xué)方法有極值法、幾何法、圖象法、歸納法、微元法、 數(shù)列法等詳見下表： 16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí) 極值問題解題的基本思路是根據(jù)實(shí)際問題設(shè)想一個(gè)合理的、簡(jiǎn)單化的物理模型，找出描述其狀態(tài)的有關(guān)物理量，然后根據(jù)問題所描述的物理現(xiàn)象，應(yīng)用有關(guān)的物理概

4、念和規(guī)律，列出有關(guān)物理量之間的函數(shù)關(guān)系式，采用一種簡(jiǎn)便的求極值的數(shù)學(xué)方法，求出物理量的極大值或極小值.1.極值法極值法16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)例1（08年四川卷）如圖，一半徑為R的光滑絕緣半球面開口向下，固定在水平面上。整個(gè)空間存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向豎直向下。一電荷量為q（q0）、質(zhì)量為m的小球P在球面上做水平的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心為O。球心O到該圓周上任一點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為（090）。為了使小球能夠在該圓周上運(yùn)動(dòng)，求磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值及小球P相應(yīng)的速率。重力加速度為g。16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)此時(shí)，帶電小

5、球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速率為：22sinsin0cosqBRgRvvm22sin4sin0cosqBRgRm 2cosmgBqRcos2minRgqmBsincosgRv 16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)解析解析:據(jù)題意，小球據(jù)題意，小球P受到向下的重力受到向下的重力mg、球面對(duì)它沿、球面對(duì)它沿OP方向的支持力方向的支持力N和磁場(chǎng)的洛侖茲力：和磁場(chǎng)的洛侖茲力：fqvB ,f的方的方向指向向指向O。根據(jù)牛頓第二定律：。根據(jù)牛頓第二定律：Ncosmg =0，fNsin=ma聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：由于由于v是實(shí)數(shù)，必須滿足是實(shí)數(shù)，必須滿足由此得由此得:可見，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小

6、值為可見，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的最小值為方法指導(dǎo)物理問題運(yùn)用物理規(guī)律數(shù)學(xué)方程數(shù)學(xué)方法得到結(jié)果檢驗(yàn)16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)2.2.幾何法幾何法 常用的幾何知識(shí)有：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、直角三角形的邊角關(guān)系、圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑等幾何性質(zhì)及正弦定理、余弦定理等。16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)例2 如圖所示，軸右方有方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)質(zhì)量為m，電量為的質(zhì)子以速度v水平向右通過軸上P點(diǎn)，最后從軸上的M點(diǎn)射出磁場(chǎng)已知M點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離為H，質(zhì)子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向與軸負(fù)方向夾角30，求：(1)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向(2)適當(dāng)時(shí)候，在

7、軸右方再加一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)就可以使質(zhì)子最終能沿軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)從質(zhì)子經(jīng)過P點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，再經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)?電場(chǎng)強(qiáng)度多大?方向如何?16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)解析：(1)先找圓心過M點(diǎn)和P點(diǎn)的切線作垂線，其交點(diǎn)即為粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心，則由幾何關(guān)系，有：cos60，得2/3又由 ，得 ，方向垂直于紙面向里qvBrvm232mvBHq16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)(2)沿y軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，說明v0應(yīng)沿y方向，由左手定則，F(xiàn)洛水平向左(沿x方向)則qE應(yīng)水平向右(沿x方向)這樣y方向不受力，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，滿足

8、qEqBv，所以應(yīng)從P點(diǎn)經(jīng)1/4T時(shí)加這個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)，其場(chǎng)強(qiáng)E：3Htv232mvEHq16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí) 本題的解題應(yīng)用了幾何法。求解過程由兩部分組成:其一，得出必要的幾何形狀，其二，利用粒子在磁場(chǎng)中的周期公式和半徑公式建立方程。解決此類題目的關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)，即先作幾何圖形然后再利用物理知識(shí)求解。通常的解題思路為:(1）畫帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡；(2)找圓心，由幾何關(guān)系求半徑，利用周期公式求時(shí)間;(3)結(jié)合其他物理規(guī)律求解其它未知量。方法指導(dǎo)16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí) 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用大致可

9、分為兩種情況：一是借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，二是借助于形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系.圖象法解題便是常見的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。 有關(guān)以圖象及其運(yùn)用為背景的試題，成為歷屆高考考查的熱點(diǎn)，它要求考生能做到三會(huì)：（1）識(shí)圖：從圖象中獲取信息；（2）作圖：從提供的物理情境畫出相對(duì)應(yīng)的圖象且能對(duì)圖象變形或轉(zhuǎn)換；（3）用圖：根據(jù)圖象展現(xiàn)的物理情境進(jìn)行物理分析與計(jì)算。 3.3.圖象法圖象法16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)例3.用鐵錘將木樁打入泥土中，如果泥土對(duì)樁的阻力與樁進(jìn)入泥土中的深度成正比，在鐵錘打擊第一次時(shí)，木樁進(jìn)入的深度為10cm，若鐵錘仍以第一次相同的速

10、度打擊木樁，問能把樁再打進(jìn)多深?16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)解析:樁所受的摩擦力f與進(jìn)入泥土深度x成正比，則f=-kx，則得圖中陰影部分面積表示樁進(jìn)入過程中摩擦力做的功。10+x10foDCBxE1121WW11BCEDOBCSS21ODEOBCSS22)10(10 xSSODEOBC可得x=4.1 cm即為樁第一次打入的深度。16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)依題意:兩次打樁后，樁進(jìn)入泥土過程中初、末速度相同，由動(dòng)能定理可知摩擦力在兩段過程中所做的功相等。例4. 在如圖所示的電路中，R1和R2為定值電阻，在滑動(dòng)變阻器R的滑動(dòng)片P從下端

11、a逐漸滑到上端b的過程中，電阻R1消耗的電功率（ ）A 一定是逐漸減小 B 有可能是逐漸減小C 有可能是先變小而后變大 D 一定是先變小而后增大16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)解析：電阻R1消耗的電功率P1=I2Rl，因Rl為定值，所以Pl隨I的變化而變化。要確定I的變化情況需要畫出等效電路。根據(jù)閉合電路歐姆定律，通過R1的電流bpRrREI122221)(xxxxxxbpRRRRRRRRRRRRR16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)當(dāng)Rx變小時(shí)，Rbp逐漸變小，I逐漸變大，P1就逐漸變大。當(dāng)Rx變小時(shí)，Rbp是先增大后減小，I是先減小后增大

12、，所以P1是先變小后增大。當(dāng)Rx變小時(shí)，Rbp一直減小，I一直增大，所以P1是逐漸增大的。16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)(1) R=R2(2) RR2(3)R ECx ，A項(xiàng)正確；同理可知O點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)最小，電荷在該點(diǎn)受到的電場(chǎng)力最小，C項(xiàng)錯(cuò)誤；沿電場(chǎng)方向電勢(shì)降低，在O點(diǎn)左側(cè)， EBx 的方向沿x軸負(fù)方向，在O點(diǎn)右側(cè)， ECx的方向沿x軸正方向，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確。 xE16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)微元法同樣可以用來分析處理圖象問題。其實(shí)，在x圖象中的某點(diǎn)取一距離元x，即可得到該點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度 。當(dāng)x0 時(shí)， 反映的是該點(diǎn)的斜率，所以x圖

13、象中斜率的大小反映了電場(chǎng)的強(qiáng)弱，斜率的正負(fù)反映了場(chǎng)強(qiáng)的方向相反。 xEx方法指導(dǎo)16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí) 例7(09年江蘇第15題)如圖所示，兩平行的光滑金屬導(dǎo)軌安裝在一光滑絕緣斜面上，導(dǎo)軌間距為l、足夠長(zhǎng)且電阻忽略不計(jì)，導(dǎo)軌平面的傾角為，條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向與導(dǎo)軌平面垂直。長(zhǎng)度為2d的絕緣桿將導(dǎo)體棒和正方形的單匝線框連接在一起組成“ ”型裝置，總質(zhì)量為m，置于導(dǎo)軌上。導(dǎo)體棒中通以大小恒為I的電流（由外接恒流源產(chǎn)生，圖中未畫出）。線框的邊長(zhǎng)為d（d l），電阻為R，下邊與磁場(chǎng)區(qū)域上邊界重合。將裝置由靜止釋放，導(dǎo)體棒恰好運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)區(qū)

14、域下邊界處返回，導(dǎo)體棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直。重力加速度為g。求： 16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)（1）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中）裝置從釋放到開始返回的過程中，線框中產(chǎn)生的焦耳熱產(chǎn)生的焦耳熱Q；（2）線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間）線框第一次穿越磁場(chǎng)區(qū)域所需的時(shí)間t1 ；（3）經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域）經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊與磁場(chǎng)區(qū)域下邊界的最大距離下邊界的最大距離xm 。16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí) BIldmgdQsin4212102sinmvBIlddmgRvdBmgFmgF22sinsi

15、n安tmFvxmRdBtgtvmRdBtgtmRvdBgv222222sinsin)sin(解析: (1)裝置由靜止釋放到導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)下邊界的過程中， 由能量守恒得 16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)（2）設(shè)線框剛離開磁場(chǎng)下邊界時(shí)的速度為v1，則接著向下運(yùn)動(dòng)2d 由動(dòng)能定理線框在磁場(chǎng)中以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的合力由于v是變化的，所以F是變力。線框的運(yùn)動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)。在t到t+t時(shí)間內(nèi)，由牛頓第二定律有則有解得 mRdBgtv32112sinsin2)sin2(2321mgRdBmgdBIldmRt0)(sindxBIlxmgmmsinmgBIlBIldxm（3）經(jīng)過足夠長(zhǎng)時(shí)間后，線框上邊在磁場(chǎng)下邊界與最大距離xm之間往復(fù)運(yùn)動(dòng)16物理中的數(shù)學(xué)方法人教版高三物理總復(fù)習(xí)人教版高三物理總復(fù)習(xí)解得由動(dòng)能定理線框在磁場(chǎng)中做變加速運(yùn)動(dòng)，要求其運(yùn)動(dòng)時(shí)間，一般都采用微元法。關(guān)鍵是如何選取合適的微元，本題中是選取了時(shí)間元t,然后巧妙地進(jìn)行了換元，即利